李國(guó)穎，成柏松，張 鵬，李大慶

(1. 北京郵電大學(xué)理學(xué)院 北京 海淀區(qū) 100876; 2. 北京航空航天大學(xué)可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院 北京 海淀區(qū) 100191)

自從小世界特性[1]和無(wú)標(biāo)度特性[2]被提出以來(lái)，國(guó)內(nèi)外掀起一股研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的熱潮。經(jīng)過(guò)十幾年的研究，科學(xué)家們形成了一套行之有效的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，這個(gè)理論已成為研究復(fù)雜系統(tǒng)和復(fù)雜性科學(xué)的重要工具。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，社會(huì)中的很多實(shí)際系統(tǒng)都可以被抽象成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究。如生態(tài)系統(tǒng)[3-4]、交通運(yùn)輸系統(tǒng)[5]、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[6]及經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)[7-8]等。其中，對(duì)關(guān)系到國(guó)計(jì)民生的重要基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)的研究顯得尤為重要，通過(guò)分析這些網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，能夠揭示系統(tǒng)崩潰的條件及規(guī)律，找出預(yù)防基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)崩潰的辦法，使得社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活更加穩(wěn)定。

21世紀(jì)初，已經(jīng)有人從工程學(xué)的角度，分類、建模、分析了基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)間的相互依存關(guān)系，評(píng)估這些系統(tǒng)在遭受突發(fā)狀況或自然災(zāi)害時(shí)的脆弱性。文獻(xiàn)[9]將基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)間的相互依存關(guān)系分為四類：物理依存關(guān)系、網(wǎng)絡(luò)依存關(guān)系、地理依存關(guān)系以及邏輯依存關(guān)系。文獻(xiàn)[10]指出基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)之間的相互依存關(guān)系既是一種契機(jī)，也是導(dǎo)致系統(tǒng)脆弱性的關(guān)鍵所在。在基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)建設(shè)中，通過(guò)分析基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)毀壞的歷史案例，結(jié)合系統(tǒng)脆弱性的指標(biāo)，可以針對(duì)性地減少不利的相互依存關(guān)系。文獻(xiàn)[11]調(diào)查了2001年世界貿(mào)易中心遭受恐怖襲擊后造成的持續(xù)性影響，認(rèn)為不同的相互依存關(guān)系需要不同的風(fēng)險(xiǎn)管理策略。文獻(xiàn)[12]的工作提供了一種管理控制物理依存關(guān)系的可操作手段。文獻(xiàn)[13]量化了脆弱性和可操作性，據(jù)此來(lái)評(píng)估基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)間相互依存關(guān)系。文獻(xiàn)[14]根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能特性，建立相互依存的基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)模型，用以分析系統(tǒng)的脆弱性。文獻(xiàn)[15]基于統(tǒng)一建模語(yǔ)言(UML)建立了基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)的參考模型，用以幫助描述和管理基礎(chǔ)設(shè)施。2010年，相互依存網(wǎng)絡(luò)的理論分析模型被提出，分析了級(jí)聯(lián)失效過(guò)程，開(kāi)啟了人們從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)角度研究相互依存網(wǎng)絡(luò)的新篇章。

對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究是理解復(fù)雜系統(tǒng)性質(zhì)和功能的重要途徑。以往的研究都是單獨(dú)分析某個(gè)網(wǎng)絡(luò)，如互聯(lián)網(wǎng)[16]、航空網(wǎng)[17]、社交網(wǎng)[8,18]等。隨著科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展，系統(tǒng)之間的依賴會(huì)越來(lái)越強(qiáng)。為此，需要將研究目光由單個(gè)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的系統(tǒng)轉(zhuǎn)向更一般的有相互作用的多個(gè)網(wǎng)絡(luò)所組成的系統(tǒng)，進(jìn)而對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的運(yùn)作有更深入全面的了解。相互依存網(wǎng)就是基于此背景提出的。相互依存網(wǎng)(interdependence networks)就是具有相互作用關(guān)系的兩個(gè)或多個(gè)網(wǎng)絡(luò)所組成的一個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[19]，示意圖如圖1所示。

圖1 相互依存網(wǎng)絡(luò)示意圖

圖1中，白色節(jié)點(diǎn)和黑色節(jié)點(diǎn)分別代表兩個(gè)不同網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，實(shí)線代表網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的連接關(guān)系，虛線代表網(wǎng)絡(luò)間的依存關(guān)系，這就構(gòu)成了一個(gè)相互依存網(wǎng)。實(shí)際生活中存在很多這樣的相互依存網(wǎng)，如電力-計(jì)算機(jī)網(wǎng)[19]，電站間互相傳輸電力，計(jì)算機(jī)之間互相傳輸信息，電站間進(jìn)行電力傳輸需要計(jì)算機(jī)進(jìn)行控制，而計(jì)算機(jī)之間互相通訊又依賴于電站供給必需的電力。近幾年來(lái)，相互依存網(wǎng)的研究已逐漸成為國(guó)內(nèi)外的一個(gè)熱點(diǎn)話題。就目前的了解而言，關(guān)于相互依存網(wǎng)的研究主要集中在相互依存網(wǎng)的魯棒性方面。本文將從以下四個(gè)方面分別介紹相互依存網(wǎng)的魯棒性研究：一對(duì)一連接關(guān)系的相互依存網(wǎng)的魯棒性；多對(duì)多連接關(guān)系的相互依存網(wǎng)的魯棒性；多個(gè)網(wǎng)絡(luò)組成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的魯棒性；無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的相互依存網(wǎng)的魯棒性。

1 雙層相互依存網(wǎng)的魯棒性研究

現(xiàn)代社會(huì)中，為社會(huì)生產(chǎn)和居民生活提供公共服務(wù)的基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)，包括交通、通訊、水電、能源等系統(tǒng)之間的關(guān)系越來(lái)越緊密，對(duì)某個(gè)基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)的破壞會(huì)給人們的生產(chǎn)生活帶來(lái)極大的損失，所以研究并量化這些基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性顯得尤為重要。網(wǎng)絡(luò)的魯棒性是指在移走部分節(jié)點(diǎn)后網(wǎng)絡(luò)中的絕大部分節(jié)點(diǎn)仍是連通的，那么就稱該網(wǎng)絡(luò)對(duì)節(jié)點(diǎn)故障具有魯棒性[20]。以往的研究中，采用了兩種方法來(lái)模擬實(shí)際系統(tǒng)的故障模式，一種是隨機(jī)故障模式，即隨機(jī)地移除網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)；二是蓄意攻擊模式，比如移除那些網(wǎng)絡(luò)中度較高或者介數(shù)較高的節(jié)點(diǎn)。研究表明，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)對(duì)隨機(jī)故障具有脆弱性，對(duì)蓄意攻擊具有很高的魯棒性，而無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)隨機(jī)故障具有高度的魯棒性，對(duì)蓄意攻擊又具有脆弱性[20]。

在很多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，一個(gè)或幾個(gè)節(jié)點(diǎn)的故障，會(huì)通過(guò)節(jié)點(diǎn)之間的耦合關(guān)系引發(fā)其他節(jié)點(diǎn)的故障，產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，最終導(dǎo)致相當(dāng)一部分節(jié)點(diǎn)故障甚至是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的崩潰，這就是級(jí)聯(lián)失效的過(guò)程。

衡量網(wǎng)絡(luò)的魯棒性一般有兩個(gè)參量：級(jí)聯(lián)失效過(guò)程中的最大連通子團(tuán)大小以及滲流閾值。第一個(gè)參量的值越大，則網(wǎng)絡(luò)的魯棒性就越好，這是比較直觀的。在網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效過(guò)程中，網(wǎng)絡(luò)整體的連通性會(huì)隨之改變，當(dāng)故障節(jié)點(diǎn)達(dá)到一定比例時(shí)，網(wǎng)絡(luò)完全破碎，發(fā)生由完全連通態(tài)(有序)到完全分裂態(tài)(無(wú)序)的一個(gè)非連續(xù)或者連續(xù)的相變過(guò)程。此時(shí)的故障節(jié)點(diǎn)比例閾值就是滲流閾值，這個(gè)參量間接地反映了網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。通過(guò)以往的研究發(fā)現(xiàn)，在單層網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效呈現(xiàn)出滲流中的連續(xù)的二級(jí)相變的現(xiàn)象，這很類似于水在發(fā)生氣液相變時(shí)的臨界現(xiàn)象。然而，在相互依存網(wǎng)絡(luò)中，由于兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)之間存在相互依存關(guān)系，網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效表現(xiàn)為一級(jí)相變，這時(shí)存在一個(gè)滲流閾值，滲流閾值越小，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越高。最近，一些研究致力于建模分析相互依存網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效過(guò)程[10-15,21-22]。然而，這些工作都沒(méi)能給出一個(gè)系統(tǒng)的理論模型。

1.1 一對(duì)一連接關(guān)系的相互依存網(wǎng)的魯棒性

文獻(xiàn)[19]在2010年提出一個(gè)相互依存網(wǎng)的理論分析模型，描述了具有雙向依賴關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)特征。這個(gè)模型考慮了兩個(gè)有相同節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的網(wǎng)絡(luò)A和B，A網(wǎng)絡(luò)上的節(jié)點(diǎn)Ai與B網(wǎng)絡(luò)上的節(jié)點(diǎn)Bi存在相互依存關(guān)系，如果節(jié)點(diǎn)Ai失效，則節(jié)點(diǎn)Bi也會(huì)失效。同樣地，如果節(jié)點(diǎn)Bi失效也會(huì)引起節(jié)點(diǎn)Ai失效。該模型假定只有屬于網(wǎng)絡(luò)A或網(wǎng)絡(luò)B的最大連通子團(tuán)中的節(jié)點(diǎn)能夠保持功能，而屬于其他子團(tuán)的節(jié)點(diǎn)會(huì)失去功能。該模型的級(jí)聯(lián)失效過(guò)程如圖2所示，假設(shè)A網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)失效并被移除(如圖2a)，則A網(wǎng)絡(luò)中所有與其相連的邊均失效且移除，這時(shí)網(wǎng)絡(luò)A分裂為3個(gè)子團(tuán)a11、a12和a13(如圖2b)，不屬于A網(wǎng)絡(luò)的最大連通子團(tuán)的節(jié)點(diǎn)也失效；A網(wǎng)絡(luò)中的失效節(jié)點(diǎn)也會(huì)導(dǎo)致B網(wǎng)絡(luò)中相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)失效，從而導(dǎo)致B網(wǎng)絡(luò)分裂成4個(gè)子團(tuán)b21、b22、b23、b24(如圖2c所示)，不屬于B網(wǎng)絡(luò)最大連通子團(tuán)的節(jié)點(diǎn)也因此失效；再進(jìn)一步，B網(wǎng)絡(luò)的失效節(jié)點(diǎn)也會(huì)導(dǎo)致A網(wǎng)絡(luò)中相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)失效，如此進(jìn)行下去，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)(如圖2d所示)。文章表明當(dāng)移除節(jié)點(diǎn)比例達(dá)到一個(gè)臨界值(1-pc)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致整個(gè)相互依存網(wǎng)絡(luò)崩潰。

圖2 級(jí)聯(lián)失效過(guò)程模型[19]

上述文章還發(fā)現(xiàn)，相互依存網(wǎng)中的級(jí)聯(lián)失效過(guò)程表現(xiàn)為一級(jí)相變，而以往研究單層網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效過(guò)程為二級(jí)相變，說(shuō)明相互依存網(wǎng)絡(luò)比單層網(wǎng)絡(luò)更脆弱。如：2003年8月14日，美國(guó)東北部、中西部和加拿大東部聯(lián)合電網(wǎng)發(fā)生震驚世界的大停電事故，就是因?yàn)殡娏W(wǎng)跟計(jì)算機(jī)網(wǎng)之間的級(jí)聯(lián)失效導(dǎo)致的。這一案例提醒我們必須增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)中相互依存的關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，這些系統(tǒng)的崩潰會(huì)給人們帶來(lái)巨大損失。這個(gè)問(wèn)題近幾年已開(kāi)始被著手研究。文獻(xiàn)[23]通過(guò)減小相互依存網(wǎng)絡(luò)間的耦合強(qiáng)度，即減少整個(gè)系統(tǒng)中具有相互依存關(guān)系的節(jié)點(diǎn)比例，使?jié)B流相變由一級(jí)相變轉(zhuǎn)變?yōu)槎?jí)相變，從而提高了網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

文獻(xiàn)[19]是基于相互依存網(wǎng)絡(luò)之間的連接關(guān)系是一對(duì)一隨機(jī)連接這個(gè)假設(shè)提出的，但是現(xiàn)實(shí)中也存在其他情況。如，考慮電力-計(jì)算網(wǎng)模型，電站依靠計(jì)算機(jī)網(wǎng)進(jìn)行調(diào)控，而計(jì)算機(jī)網(wǎng)需要電站提供電力支持。這時(shí)，合理的情況是中央通訊節(jié)點(diǎn)依賴于一個(gè)中央電站而非一個(gè)小電站提供電力支持。另外全球航空網(wǎng)絡(luò)和全球港口網(wǎng)絡(luò)中流量大的港口和航空站之間也更傾向于相互作用。通過(guò)以上例子我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)際相互依存網(wǎng)中，網(wǎng)絡(luò)間的依存關(guān)系存在一定的度度相關(guān)性和局部相似性。文獻(xiàn)[24]基于這個(gè)考量，定義了相互依存網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)間相似性(inter-similarity)，并提出兩種高網(wǎng)間相似性的相互依存網(wǎng)構(gòu)建方法，一是將兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中度值大的節(jié)點(diǎn)建立依存關(guān)系，另一種是將兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中聚類系數(shù)大的節(jié)點(diǎn)建立依存關(guān)系，得出通過(guò)增加網(wǎng)絡(luò)間的相似性，能顯著增強(qiáng)相互依存網(wǎng)絡(luò)對(duì)隨機(jī)攻擊的魯棒性的結(jié)論。之后，文獻(xiàn)[25]構(gòu)造了一個(gè)相關(guān)耦合網(wǎng)絡(luò)(correspondently coupled networks, CCNs)模型，在兩個(gè)具有相同度分布的網(wǎng)絡(luò)中，將兩個(gè)度值相等的節(jié)點(diǎn)建立依存關(guān)系。同時(shí)，為了與相關(guān)耦合網(wǎng)絡(luò)作對(duì)比，作者還建立了一個(gè)隨機(jī)耦合網(wǎng)絡(luò)(randomly coupled networks，RCNs)，但并非是將度值相等的節(jié)點(diǎn)建立依存關(guān)系，而是不用考慮兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的度值，隨機(jī)地建立依存關(guān)系。他們發(fā)現(xiàn)，相關(guān)耦合網(wǎng)絡(luò)的滲流臨界閾值pc小于隨機(jī)耦合網(wǎng)絡(luò)的臨界閾值。也就是說(shuō)，在相同度分布情況下，相關(guān)耦合網(wǎng)絡(luò)的魯棒性更高。并且他們還指出，網(wǎng)絡(luò)度分布越寬，相關(guān)耦合網(wǎng)絡(luò)的魯棒性將越高。

1.2 多對(duì)多連接關(guān)系的相互依存網(wǎng)的魯棒性

上述工作有一個(gè)基礎(chǔ)假設(shè)，即網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系是一對(duì)一連接的，然而實(shí)際系統(tǒng)中也存在著多重對(duì)應(yīng)連接。文獻(xiàn)[26]用數(shù)值解析的方法分析了有多重依存關(guān)系的耦合網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效過(guò)程。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)與另一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的多個(gè)節(jié)點(diǎn)有依存關(guān)系，并且只要它的依存節(jié)點(diǎn)中有一個(gè)正常工作，它就能正常工作。如圖3所示，網(wǎng)絡(luò)A中的節(jié)點(diǎn)A2跟網(wǎng)絡(luò)B中節(jié)點(diǎn)B2和B3有依賴關(guān)系，只要B2和B3其中一個(gè)工作，則節(jié)點(diǎn)A2仍繼續(xù)工作。這種多重依存關(guān)系導(dǎo)致了級(jí)聯(lián)失效由一級(jí)相變轉(zhuǎn)化為二級(jí)相變，網(wǎng)絡(luò)魯棒性得到明顯增強(qiáng)。

圖3 具有多重依存關(guān)系的相互依存網(wǎng)示意圖

其他的文獻(xiàn)考慮了定向攻擊和部分耦合，這兩個(gè)因素都會(huì)對(duì)相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性有影響。對(duì)網(wǎng)絡(luò)的定向攻擊和隨機(jī)攻擊唯一的不同在于初始攻擊節(jié)點(diǎn)的選擇，文獻(xiàn)[27]給出將定向攻擊等效為隨機(jī)攻擊的方法，并給出了解析證明。文獻(xiàn)[23]考慮了相互依存網(wǎng)絡(luò)中部分耦合時(shí)的魯棒性問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)通過(guò)減少兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)之間的耦合強(qiáng)度，能顯著提高相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。文獻(xiàn)[28]綜合考慮了上述兩種情況，提出一個(gè)一般化的理論模型，這為高魯棒性網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)提供了參考。

另外，文獻(xiàn)[29]發(fā)現(xiàn)，通過(guò)在網(wǎng)絡(luò)中選擇合適比例的自治節(jié)點(diǎn)，能有效地避免相互依存網(wǎng)的級(jí)聯(lián)失效。所謂自治節(jié)點(diǎn)，就是網(wǎng)絡(luò)中那些不依賴于其他節(jié)點(diǎn)的失效而失效的節(jié)點(diǎn)。作者選擇每個(gè)網(wǎng)絡(luò)中度或者介數(shù)較高的部分節(jié)點(diǎn)為自治節(jié)點(diǎn)，這樣得到的網(wǎng)絡(luò)具有較高的魯棒性。此種方法應(yīng)用在意大利電網(wǎng)與通訊網(wǎng)間時(shí)發(fā)現(xiàn)，只要有意地保護(hù)4個(gè)最高介數(shù)的通訊服務(wù)器，可以顯著提高網(wǎng)絡(luò)魯棒性，減小網(wǎng)絡(luò)崩潰的可能。

1.3 無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的相互依存網(wǎng)的魯棒性

在前文的陳述中，主要依據(jù)網(wǎng)絡(luò)之間的連接關(guān)系以及相互依存的網(wǎng)絡(luò)個(gè)數(shù)來(lái)對(duì)現(xiàn)有工作歸類整理。由于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)規(guī)則網(wǎng)絡(luò)能夠利用生成函數(shù)得到精確的解析解，大多數(shù)工作都選用這兩種網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行研究，但不能因此忽視無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)研究的重要性。上述文章中提到的很多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)都近似呈現(xiàn)冪率分布，如：英特網(wǎng)，航空網(wǎng)，社交網(wǎng)以及科學(xué)家合作網(wǎng)[2,30-31]等。為了能夠很好的突出無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)研究的重要性，特意將相互依存網(wǎng)已有工作中涉及冪率分布的部分重點(diǎn)列出來(lái)，希望對(duì)接下來(lái)的科研工作或者實(shí)際應(yīng)用有所借鑒和指導(dǎo)。

文章[19]中通過(guò)分析相互依賴的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)發(fā)現(xiàn)，隨著網(wǎng)絡(luò)度分布越寬，滲流閾值pc越大，這說(shuō)明度分布較寬的網(wǎng)絡(luò)的魯棒性更高。這種趨勢(shì)跟單層網(wǎng)絡(luò)中的結(jié)論(對(duì)于隨機(jī)攻擊，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的魯棒性要顯著高于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò))不同，這是因?yàn)?，在相互依賴的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中度大的節(jié)點(diǎn)可能會(huì)依賴于另一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中度很小的節(jié)點(diǎn)，這樣的話，度小的節(jié)點(diǎn)失效可能會(huì)導(dǎo)致另外一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中度大的節(jié)點(diǎn)失效，繼而引發(fā)該網(wǎng)絡(luò)大面積的失效，之后又會(huì)影響第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的多個(gè)節(jié)點(diǎn)失效，最終導(dǎo)致整體網(wǎng)絡(luò)崩潰。文獻(xiàn)[25]中的分析證明很好地驗(yàn)證了上述說(shuō)法，即當(dāng)相互依存節(jié)點(diǎn)的度分布相同時(shí)，如果網(wǎng)絡(luò)的度分布越寬，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性就越高，這跟單層無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的魯棒性結(jié)論一致。類似地，文獻(xiàn)[24]也說(shuō)明通過(guò)增加網(wǎng)絡(luò)間的相似性，能顯著增強(qiáng)相互依存網(wǎng)絡(luò)對(duì)隨機(jī)攻擊的魯棒性。另外，文獻(xiàn)[25]還提到，對(duì)于相互依存的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)度分布存在有限二階矩時(shí)，滲流相變呈現(xiàn)出一級(jí)相變的現(xiàn)象。參照文獻(xiàn)[25]的結(jié)論，可以認(rèn)為如果相互依存節(jié)點(diǎn)的度分布不相關(guān)，那么滲流相變都會(huì)表現(xiàn)為一級(jí)相變[19,23-24]。這說(shuō)明研究在依賴性和連通性方面具有相關(guān)性的相互依存網(wǎng)絡(luò)是很有必要的。

2 多個(gè)網(wǎng)絡(luò)組成的相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的魯棒性研究

以上討論都是基于兩個(gè)系統(tǒng)構(gòu)成的相互依存網(wǎng)絡(luò)，沒(méi)有考慮多種設(shè)施之間的相互依賴，如水和食物供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)、通訊網(wǎng)、燃油網(wǎng)、金融交易網(wǎng)或電網(wǎng)等[32-33]，為了更好地把握和理解這種系統(tǒng)的魯棒性，最近的研究開(kāi)始關(guān)注多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。文獻(xiàn)[34]提出了一個(gè)研究n層網(wǎng)絡(luò)滲流問(wèn)題的理論分析模型。

圖4 多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)示意圖[34]

如上圖4所示，每個(gè)節(jié)點(diǎn)(圓圈)代表一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)間的邊表示網(wǎng)絡(luò)間存在依存關(guān)系。這種n層網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的系統(tǒng)也可表示為多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(network of networks, NON)。當(dāng)n=1時(shí)，系統(tǒng)為單層網(wǎng)絡(luò)，相應(yīng)的滲流相變?yōu)槎?jí)相變；當(dāng)n>1時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生級(jí)聯(lián)失效，并且相變轉(zhuǎn)化為一級(jí)相變。這個(gè)結(jié)論說(shuō)明，數(shù)學(xué)和物理中的經(jīng)典滲流理論只是多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)滲流理論在n=1時(shí)的特殊情況。同時(shí)作者還給出了3種不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，并得到了各自相應(yīng)的解析結(jié)果。需要說(shuō)明的是，對(duì)于前兩種情形，網(wǎng)絡(luò)間的依賴關(guān)系是一對(duì)一雙向無(wú)反饋的，而最后一種情形是單向的。

1) 樹(shù)狀多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。作者給出了在級(jí)聯(lián)失效結(jié)束后，網(wǎng)絡(luò)中存在最大互連子團(tuán)的概率為：

該式也適用于星形(如圖4b所示)和線形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[35]。由式(1)可得到，隨著n的增大或k的減小，臨界滲流閾值pc也會(huì)增大。并且，當(dāng)系統(tǒng)中網(wǎng)絡(luò)個(gè)數(shù)n固定時(shí)，若k

2) 星形多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。若移除位于系統(tǒng)中心的網(wǎng)絡(luò)(如圖4b中的網(wǎng)絡(luò)1)中的部分節(jié)點(diǎn)，失效就會(huì)傳播到系統(tǒng)中其他所有的網(wǎng)絡(luò)，然后再反饋到中心網(wǎng)絡(luò)，如此循環(huán)往復(fù)。進(jìn)一步的研究說(shuō)明，式(1)中的P∞還與多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān)。

3) 環(huán)狀多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。假設(shè)系統(tǒng)中每個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均度相同，每個(gè)網(wǎng)絡(luò)都移除相同比例(1?p)的節(jié)點(diǎn)，研究得到：

式中，q為環(huán)狀多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中(如圖4c所示)第i+1個(gè)網(wǎng)絡(luò)依賴于第i個(gè)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)比例。當(dāng)q=1時(shí)，代入式(2)得P∞= 0 ，當(dāng)q=0時(shí)，將會(huì)得到單層網(wǎng)絡(luò)的最大連通子圖大小的形式。作者又給出了介于0和1之間的兩個(gè)不同q值的數(shù)值模擬結(jié)果。綜合式(1)和式(2)可以看出，樹(shù)狀多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的魯棒性跟網(wǎng)絡(luò)個(gè)數(shù)n有關(guān)，而環(huán)狀多層網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)個(gè)數(shù)n無(wú)關(guān)。

3 總結(jié)與展望

本文對(duì)近兩、三年來(lái)關(guān)于相互依存網(wǎng)魯棒性的研究進(jìn)行了較為全面的歸納總結(jié)。在相互依存網(wǎng)中，節(jié)點(diǎn)的失效會(huì)傳播到有相互依存關(guān)系的各個(gè)網(wǎng)絡(luò)，導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)失效。文獻(xiàn)[19]提出的分析模型使得能夠很好地追蹤級(jí)聯(lián)失效的物理過(guò)程，并導(dǎo)出最終穩(wěn)定態(tài)的解。對(duì)于相互依存的基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，找到能顯著提高其魯棒性的方法是至關(guān)重要的。目前為止，提高相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性有三種基本方法：1) 增加網(wǎng)絡(luò)中自治節(jié)點(diǎn)的比例[23]，選擇度較高的節(jié)點(diǎn)作為自治節(jié)點(diǎn)[29]；2) 建立相互依賴關(guān)系使節(jié)點(diǎn)間具有相似性[24-25]；3) 保護(hù)那些度高的節(jié)點(diǎn)免受攻擊[29]。希望以后能有更多有效的提高網(wǎng)絡(luò)魯棒性的方法出現(xiàn)，用以保證實(shí)際生活中重要的基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)的穩(wěn)定，維持社會(huì)的安全穩(wěn)定。相互依存網(wǎng)出現(xiàn)在實(shí)際生活的方方面面，如：包括鐵路網(wǎng)、航空網(wǎng)以及其他交通網(wǎng)的交通系統(tǒng)[24,37]。在生理學(xué)領(lǐng)域，人體也可看作由心血管系統(tǒng)、呼吸系統(tǒng)、大腦神經(jīng)元系統(tǒng)以及神經(jīng)系統(tǒng)組成的相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，它們之間的相互作用為人類活動(dòng)提供了基本的保障。在生物學(xué)領(lǐng)域，不同蛋白質(zhì)的功能取決于與其他蛋白質(zhì)的相互作用，這可看作是一種相互依存網(wǎng)絡(luò)，多種不同功能的蛋白質(zhì)之間構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，可以被認(rèn)為是一個(gè)相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，銀行、保險(xiǎn)公司以及商業(yè)公司之間也是一種相互依存的關(guān)系。然而，迄今為止，只有少量實(shí)際相互依存系統(tǒng)用滲流理論進(jìn)行實(shí)證研究分析[24,37-39]，而且研究相互依存網(wǎng)的理論模型依然具有局限性。在將來(lái)的研究中，應(yīng)該把目光集中在對(duì)更多的實(shí)際相互依存網(wǎng)的建模分析上，并且在此過(guò)程中不斷完善理論模型，使之能更好地揭示現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的本質(zhì)屬性。另外，網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為研究也是我們要關(guān)注的，包括網(wǎng)絡(luò)演化模型、演化網(wǎng)絡(luò)博弈和網(wǎng)絡(luò)上的信息傳播等都屬于動(dòng)力學(xué)研究范疇。近幾年來(lái)，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病、謠言以及計(jì)算機(jī)病毒等的傳播研究已經(jīng)取得豐富的成果，這為人類的健康和社會(huì)的安全穩(wěn)定做出極大貢獻(xiàn)。但在網(wǎng)絡(luò)間相互作用關(guān)系日益增強(qiáng)的今天，單層網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)研究存在一定局限性，為了更好地反映實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的演化行為機(jī)制，將這些動(dòng)力學(xué)行為放在相互依存網(wǎng)絡(luò)中研究就顯得尤為重要。除此之外，可以將負(fù)載考慮到相互依存網(wǎng)的級(jí)聯(lián)失效過(guò)程中，研究負(fù)載對(duì)級(jí)聯(lián)失效的影響。再者，深入挖掘網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的信息，探究導(dǎo)致級(jí)聯(lián)失效的關(guān)鍵性結(jié)構(gòu)，從而更好地保護(hù)那些相互依賴的實(shí)際系統(tǒng)，這將是未來(lái)的研究重點(diǎn)。最后，相互依存網(wǎng)絡(luò)的地理位置屬性在前面的研究中并未提及，而這個(gè)因素會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生一定影響，希望能在今后的研究中有所涉及。

[1] WATTS D J, STROGATZ S H. Collective dynamics of small world networks[J]. Nature, 1998(393): 440-442.

[2] BARABáSI A L, ALBERT R. Emergence of scaling in random networks[J]. Science, 1999(286): 509-512.

[3] ALON U. Biological networks: The tinkerer as an engineer[J]. Science, 2003(301): 1866-1867.

[4] KHANIN R, WIT E. How scale-free are biological networks[J]. J Comput Biol, 2006, 13(3): 810-818.

[5] GAO Z Y, ZHAO X M, HUANG H J, et al. Research on problems related to complex networks and urban traffic systems[J]. J Tran Sys Eng & Info Tech, 2006,6(3): 41-47.

[6] FALOUTSOS M, FALOUTSOS P, FALOUTSOS C. On power-law relationships of the internet topology[J]. Comput Commun Rev, 2000(29): 378-382.

[7] BONANNO G, CALDARELLI G, LILLO F, et al. Topology of correlation-based minimal spanning trees in real and model markets[J]. Phys Rev E, 2003(68): 046130.

[8] JACKSON M O, ROGERS B W. Meeting strangers and friends of friends: How random are social networks?[J]. Am Econom Rev, 2007(97): 890-915.

[9] RINALDI S, PEERENBOOM J, KELLY T. Identifying,understanding, and analyzing critical infrastructure interdependencies[J]. IEEE Control Syst Magn, 2001(21):11-25.

[10] ZIMMERMAN R. Decision-making and the vulnerability of interdependent critical infrastructure[J]. 2004 IEEE Int Conf Syst Man Cybern, 2005(5): 4059-4063.

[11] MENDONCA D, LEE II E E, WALLACE W A. Impacts of the 2001 world trade center attack on new york city critical infrastructures [J]. J Infrast Syst, 2006(12): 260-270.

[12] ROBERT B, MORABITO L, CHRISTIE R D. The operational tools for managing physical interdependencies among critical infrastructures[J]. Int J Crit Infrastruct,2008(4): 353-367.

[13] REED D A, KAPUR K C, CHRISTIE R D. Methodology for assessing the resilience of networked infrastructure[J].IEEE Syst J, 2009(3): 174-180.

[14] JOHANSSON J, HASSEL H. An approach for modelling interdependent infrastructures in the context of vulnerability analysis[J]. Reliab Eng Syst Saf, 2010(95):1335-1344.

[15] BAGHERI E, GHORBANI A A. UML-CI: A reference model for profiling critical infrastructure systems[J].Inform Syst Front, 2009(12): 115-139.

[16] WEST B J, GRIGOLINI P. Complex webs: anticipating the improbable[M]. English: Cambridge University Press,2011.

[17] BARABáSI A L, BONABEAU E. Scale-free networks[J].Scientific American, 2003(288): 50-59.

[18] BORGATTI S P, MEHRA A, BRASS D, et al, Network analysis in the social sciences[J]. Science, 2009(323):892-895.

[19] BULDYREV S V, PARSHANI R, STANLEY H E, et al.Catastrophic cascade of failures in interdependent networks[J]. Nature, 2010(464):1025-1028.

[20] 汪小帆, 李翔, 陳關(guān)榮. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2006.WANG Xiao-fan, LI Xiang, CHEN Guan-rong. Complex network theory and applications[M]. Beijing：Tsinghua University Press, 2006.

[21] JOOST R S. Inoperability input_output modeling of disruptions to interdependent economic systems[J]. Syst Eng, 2006(9): 20-34.

[22] MANSSON D, THOTTAPPILLIL R, BACKSTROM M, et al. Methodology for classifying facilities with respect to intentional EMI[J]. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 2009(95): 46-52.

[23] PARSHANI R, BULDYREV S V, HAVLIN S.Interdependent networks: reducing the coupling strength leads to a change from a first to second order percolation transition[J]. Phys Rev Lett, 2010(105): 048701.

[24] PARSHANI R, ROZENBLAT C. Inter-similarity between coupled networks [J]. Europhys Lett, 2010(92): 68002-68006.

[25] BULDYREV S V, SHERE N W, CWILICH G A.Interdependent networks with identical degrees of mutually dependent nodes[J]. Phys Rev E, 2011(83): 016112.

[26] SHAO J, BULDYREV S V, HAVLIN S, et al, Cascade of failures in coupled network systems with multiple supportdependence relations[J]. Phys Rev E, 2011(83): 036116.

[27] HUANG X Q, GAO J X, BULDYREV S V, et al,Robustness of interdependent networks under targeted attack[J]. Phys Rev E, 2011(83): 065101.

[28] DONG G G, GAO J X, TIAN L X, et al, Percolation of partially interdependent networks under targeted attack[DB/OL]. (2011-08-30). http://arxiv.org/abs/1108.5788.

[29] SCHNEIDER C M, ARAúJO N A M, HAVLIN S, et al,Towards designing robust coupled networks[DB/OL].(2011-06-16). http://arxiv.org/abs/1106.3234.

[30] ALBERT R, BARABáSI A L, Statistical mechanics of complex networks[J]. Rev Mod Phys, 2002(74): 47-97.

[31] COLIZZA V, BARRAT A, BARTHELEMY M et al.Prediction and predictability of global epidemics: The role of the airline transportation network[J]. PNAS USA,2006(103): 2015-2020.

[32] PEERENBOOM J, FISCHER R, WHITFIELD R.Recovering from disruptions of interdependent critical infrastructures[C]//presented at the CRIS/DRM/IIT/NSF Workshop on Mitigating the Vulnerability of Critical Infrastructures to Catastrophic Failures. Washington D C:[s.n.], 2001.

[33] RINALDI S, PEERENBOOM J, KELLY T. Identifying,understanding, and analyzing critical infrastructure interdependencies[J]. IEEE Contr Syst Mag, 2001(21):11-25.

[34] GAO J, BULDYREV S V, HAVLIN S, et al. Robustness of a network of networks[J]. Phys Rev Lett, 2011(107):195701.

[35] GAO J X, BULDYREV S V, HAVLIN S, et al. Robustness of a tree-like network of interdependent networks [DB/OL].(2011-08-30). http://arxiv.org/abs/1108.5515.

[36] UM J, MINNHAGEN P, KIM B J. Synchronization in interdependent networks[J]. Chaos, 2011(21): 025106.

[37] GU C G, ZOU S R, XU X L, et al. Onset of cooperation between layered networks[J]. Phys Rev E, 2011(84):026101.

[38] YA G O, QIAN D J, ZHANG J S, et al. Optimal allocation of interconnecting links in cyber-physical systems:Interdependence, cascading failures and robustness[DB/OL]. (2011-03-04). http://www.ece.umd.edu/~oyagan/Journals/Interdependent_Journal.pdf.

[39] GAO J X,BULDYREV S V, STANLY H E, et al. Networks formed from interdependent networks[J]. Nature physics,2012(8): 40-48.