史滄紅, 吳定平

(成都信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都610225)

0 引言

設(shè)H是實(shí)Hilbert空間,C是H的非空閉凸子集,映射 T:C→C,用記映射的不動(dòng)點(diǎn)集合,如果滿足:

則稱為非擴(kuò)張映射。

設(shè)H是一Hilbert空間,且 C是H的非空閉凸子集,且設(shè) A:C→H是一映射,經(jīng)典的變分不等式定義為IV(A,C),即找到 x*∈C使得:

變分不等式IV(A,C),的解集定義為Ω。A:C→H稱為α-逆-強(qiáng)單調(diào)映射[1-2]如果存在正實(shí)數(shù)α使得:

Yonghong Yao,Jen-Chih Yao[3]引入了一種迭代算法,通過這種迭代找到了實(shí)Hilbert空間一個(gè)非擴(kuò)張映射不動(dòng)點(diǎn)集和α-逆-強(qiáng)單調(diào)映射變分不等式解集的一公共元,從而建立了強(qiáng)收斂定理。

Tomoo Shimizu,Wataru Takahashi[4]引入了Hilbert空間中非擴(kuò)張映射族的一種迭代算法,證明了這個(gè)迭代強(qiáng)收斂于非擴(kuò)張映射族的公共不動(dòng)點(diǎn);首先,他們考慮了有限交換非擴(kuò)張映射族的迭代算法,并且證明了這個(gè)迭代強(qiáng)收斂到這族映射的公共不動(dòng)點(diǎn);進(jìn)而,他們考慮到了非擴(kuò)張映射半群的迭代算法,并且這個(gè)迭代序列強(qiáng)收斂于非擴(kuò)張映射半群的一公共不動(dòng)點(diǎn)。

文中,基于文 Yonghong Yao,Jen-Chih Yao和Tomoo Shimizu,Wataru Takahashi,提出兩種新的迭代算法(7),(17),證明了其強(qiáng)收斂性,改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[3-10]等人的相應(yīng)結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)H是一實(shí)Hilbert空間,且 C是H的一非空閉凸子集,對(duì)每 x∈H,在C中存在唯一的最近點(diǎn),定義為PCx,滿足:

PC:H→C稱為度量投射。易見

(1)PC:H→C是非擴(kuò)張映射且滿足:

(2)對(duì)每個(gè) x,y∈H,PCx∈C有下面的性質(zhì):

(3)對(duì)?x∈H,y∈C,?u∈C,滿足:

引理1[11]設(shè)E是一內(nèi)積空間,那么對(duì)所有的 x,y,z∈E和有:

‖α x+βy+γ z‖=α‖x‖2+β ‖y‖2+γ‖z‖2-α β ‖x-y‖2-α γ‖x-z‖2-βγ‖y-z‖2.

引理2[12]設(shè)是Banach空間中的有界序列，1,假設(shè)對(duì)所有的且那么limn→∞‖yn-xn‖=0。

引理3[13]設(shè)是一非負(fù)實(shí)數(shù)序列滿足:

那么limn→∞an=0。

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)C是實(shí)Hilbert空間H的閉凸子集,設(shè) A:C→H是一α-逆-強(qiáng)單調(diào)映射,設(shè)S,T:C→C是兩個(gè)非擴(kuò)張映射滿足ST=TS且F非空,假設(shè)由下列迭代給出:

(ⅰ)αn+βn+γn=1,

(ⅱ)limn→∞αn=0,∑∞n=1αn=∞,

(ⅲ)0＜lim infn→∞βn≤lim supn→∞βn＜1,

證明 ?x,y∈C,n≥1,有

因此I-λnA是非擴(kuò)張映射。設(shè)那么

而且

從而

合并式(11)和式(12),有

再從(ⅱ)和(ⅳ),有

因此

因?yàn)?αn→0和從式(14),有

從式(3),有

所以

因此

從而

因?yàn)?αn→0和且從式(15),有‖xn-yn‖→因?yàn)?/p>

由式(4),有

因此

從而

由此可見,定理1和定理2的結(jié)論改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[3-4]等的相應(yīng)結(jié)果。

致謝:感謝成都信息工程學(xué)院科研項(xiàng)目(KYTZ201004)對(duì)本文的資助

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