皮金鑫, 周鈺謙, 劉世杰

(成都信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都610225)

0 引言

非線性方程的精確解對(duì)于理解非線性模型的物理意義起到很重要的作用,所以求解非線性方程的精確解在非線性問題中越來越重要。最近,對(duì)求解非線性方程的精確解提出了許多新的方法:如齊次平衡法[1],Backlund變換方法[2],雙曲正切函數(shù)展開法[3],截?cái)嗟腜ainleve展開法[4],Jacobi橢圓函數(shù)展開法[5],tanh函數(shù)展開方法及其推廣方法[6-9]等。特別是王明亮提出的展開法[10],是一種更為簡(jiǎn)潔高效求得非線性方程精確解的方法。

研究的修正的Benjamin-Bona-Mahoney(BBM)方程[11]

其中參數(shù)α為非零的實(shí)數(shù)。該方程是許多不同物理系統(tǒng)中出現(xiàn)的弱非線性色散介質(zhì)中長(zhǎng)波單向傳播的一個(gè)重要模型方程[12]。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮非線性發(fā)展方程

其中,x,t為自變量,F為u及u的各階偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式。為了得到方程(2)的行波解,考慮一般的行波變換u(x,t)=U(ξ),ξ=x+ct,則方程可化為

設(shè)方程(3)的解具有以下形式

其中,G(ξ)滿足二階常微分方程

由方程(5)易得,當(dāng) G′(ξ)≠0時(shí),

首先,對(duì)方程(1)作行波變換

令 u(x,t)=U(ξ),則方程(1)可化作

平衡方程(7)中的最高倒數(shù)項(xiàng)U?和非線性項(xiàng)U2U′,得到平衡系數(shù)n=1,由方程(4),則取

將解(8)帶入方程(7)中,得到方程(7)中的各項(xiàng)為

利用Maple軟件求解方程(11)～(15),得到關(guān)于 a0,a1,c,λ,μ的一組解:

為了更好的理解 λ2-4μ＞0時(shí)得到的這組孤子解,考慮到相關(guān)條件a1≠0,不妨取a1=1,α=,則作出解的數(shù)值模擬圖如圖1所示。

(ⅱ)當(dāng) λ2-4μ=時(shí),

與(1)一樣,用同樣的方法對(duì)此解作數(shù)值模擬圖。取a1=1,α=1,λ=1,C1=1,C2=1,則,作出解的數(shù)值模擬圖如圖2所示。

圖1 λ2-4μ＞0

圖2 λ2-4μ＜0

圖3 λ2-4μ＜0

3 結(jié)束語

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