陳 燕, 魏其矯

(成都信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都610225)

“著名的美籍羅馬尼亞數(shù)學(xué)家Florentin Smarandache同時(shí)擁有許多其他身份,如詩(shī)人、作家、多種語(yǔ)言的翻譯家、哲學(xué)家、物理學(xué)家等。他不是一般的作家,在1999年他獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)提名!Smarandache函數(shù)是他在那本很有名或者很有趣的書(shū)《只有問(wèn)題,沒(méi)有解答!》中提出來(lái)的,”各種數(shù)論函數(shù)的性質(zhì)一直是一個(gè)令人感興趣的問(wèn)題.對(duì)于正整數(shù) n,與 φ(n)和 s(n)有關(guān)的函數(shù)方程 φ(n)=s(nt),前人做過(guò)一些研究[1-13],文中討論 t=9時(shí)的情形.

1 定義及引理

定義1[14]Euler函數(shù):表示不大于n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù),記作:φ(n).

定義2[15]Smarandache函數(shù):表示使得的最小的正整數(shù) m,記作s(n),即 s(n)=min{m∈z+

引理1[14]Euler函數(shù)是積性函數(shù),即對(duì)互素的正整數(shù) a和b,φ(ab)=φ(a)φ(b).

引理2[14]如果是n的標(biāo)準(zhǔn)分解式,則

引理3 當(dāng) n＞2時(shí),φ(n)必為偶數(shù).

證明(i)如果n有奇素因數(shù)p,則 p-1是偶數(shù).

(ii)如果沒(méi)有奇素因數(shù),則因 n＞2,故有n=2r,其中 r是大于1的正整數(shù).此時(shí),根據(jù)引理2可知:φ(n)=2r-1也是偶數(shù).

引理4[15]如果是n的標(biāo)準(zhǔn)分解式,則

引理5[15]對(duì)于素?cái)?shù)p和正整數(shù)k,有s(pk)≤kp成立.

如果k＜p,那么s(pk)=kp,其中k為任意給定的正整數(shù).

2 定理及其證明

定理 當(dāng) t=9時(shí),方程

φ(n)=s(nt)

僅有解n=1.

證明 當(dāng) t=9時(shí),方程 φ(n)=s(nt)可寫(xiě)成 φ(n)=s(n9).

接下來(lái),對(duì)這一方程進(jìn)行求解:

(1)當(dāng) n=1時(shí),顯然是方程的解.

(2)當(dāng) n＞1時(shí),根據(jù)引理 4可設(shè):

其中 p是n的素因數(shù),?是p在n中的次數(shù).

此時(shí),根據(jù)引理1可得:

那么,方程 φ(n)=s(n9),可變?yōu)?/p>

p?-1(p-1)φ(n1)=s(p9?)

若存在p使上述等式成立,則驗(yàn)證s(n9)=s(p9?)是否成立.若成立,則 p是方程φ(n)=s(n9)的解.若不成立,則 p不是方程φ(n)=s(n9)的解.

那么 ,有

(i)當(dāng)?=1 時(shí),方程可變?yōu)?p-1)φ(n1)=s(p9),則

若 p=2,那么s(29)=12=φ(n1),則 n1=13,由引理 5易知,該方程無(wú)解.

若 p=3,那么 s(39)=21=2φ(n1),顯然 21=2φ(n1)無(wú)整數(shù)解.

若 p=5,那么 s(59)=40=4φ(n1),則 n1=11,該方程無(wú)解.

若 p=7,那么 s(79)=56=6φ(n1),該方程無(wú)解.

若 p ≥11,那么 s(p9)=9p,φ(n)=(p-1)φ(n1),注意到 p?(p-1)φ(n1),因此 ,該方程無(wú)解.

(ii)當(dāng)?=2時(shí),方程可變?yōu)?p(p-1)φ(n1)=s(p18),則

若 p=2,那么s(218)=20=2φ(n1),則 n1=11,該方程無(wú)解.

若 p=3,那么 s(318)=39=3*2 φ(n1),無(wú)解 .

若 p=5,那么 s(518)=75=5*4φ(n1),該方程無(wú)解.

若 p=7,那么s(718)=112=6*7φ(n1),該方程無(wú)解.

若 p=11,那么 s(1118)=187=11*10φ(n1),無(wú)解.

若 p=13,那么 s(1318)=221=13*12φ(n1),無(wú)解.

若 p=17,那么 s(1718)=289=17*16φ(n1),無(wú)解.

若 p≥19,那么 n=1,64,72,80φ(n)=p(p-1)φ(n1),注意到(p-1)φ(n1)＞18,因此,該方程無(wú)解.

(iii)當(dāng)?=3時(shí),方程可變?yōu)?p2(p-1)φ(n1)=s(p27),則

若 p=2,那么 s(227)=32=22φ(n1),則 n1=15或 16,而 2| 16,所以16不是方程的解.當(dāng) n1=15,于是 n=15*23=120,然而s(1209)=s(59)=40≠s(227)=32.因此,該方程無(wú)解.

若 p=3,那么 s(327)=57=32*2φ(n1),無(wú)解.

若 p=5,那么 s(527)=115=52*4φ(n1),該方程無(wú)解 .

若 p=7,那么 s(727)=168=72*6φ(n1),該方程無(wú)解 .

若 p=11,那么 s(1127)=275=112*10 φ(n1),無(wú)解.

若 p=13,那么 s(1327)=338=132*12 φ(n1),無(wú)解.

若 p=17,那么 s(1727)=442=172*16 φ(n1),無(wú)解.

若 p=19,那么 s(1927)=494=192*18 φ(n1),無(wú)解.

若 p=23,那么 s(2327)=598=232*22 φ(n1),無(wú)解.

若 p≥29,那么 s(p27)=27p=φ(n)=p2(p-1)φ(n1),注意到 p2＞27p,因此,該方程無(wú)解.

(iv)當(dāng)?=4 時(shí),方程可變?yōu)?p3(p-1)φ(n1)=s(p36),則

若 p=2,那么 s(236)=40=23φ(n1),該方程無(wú)解 .

若 p=3,那么 s(336)=78=33*2φ(n1),無(wú)解.

若 p ≥5,由引理 5 可知 :s(p9?)≤9p?,注意到 φ(n)=p?-1(p-1)φ(n1)和 p?-1(p-1)＞9p?,因此 ,該方程無(wú)解.

(v)當(dāng)?=5時(shí),方程可變?yōu)?p4(p-1)φ(n1)=s(p45),則

若 p=2,那么 s(245)=48=24φ(n1),該方程無(wú)解 .

若 p ≥3,由引理 5 可知 :s(p9?)≤9p?,注意到 φ(n)=p?-1(p-1)φ(n1)和 p?-1(p-1)＞9p?,因此 ,該方程無(wú)解.

(vi)當(dāng)?=6 時(shí),方程可變?yōu)?p5(p-1)φ(n1)=s(p54),則

若 p=2,那么 s(254)=58=25φ(n1),該方程無(wú)解 .

若 p ≥3,由引理 5 可知 :s(p9?)≤9p?,注意到 φ(n)=p?-1(p-1)φ(n1)和 p?-1(p-1)＞9p?,因此 ,該方程無(wú)解.

(vii)當(dāng)?=7時(shí) ,方程可變?yōu)?p6(p-1)φ(n1)=s(p63),則

若 p=2,那么 s(263)=64=26φ(n1),該方程無(wú)解 .

若 p ≥3,由引理 5 可知 :s(p9?)≤9p?,注意到 φ(n)=p?-1(p-1)φ(n1)和 p?-1(p-1)＞9p?,因此 ,該方程無(wú)解.

(viii)當(dāng)?=8時(shí),方程可變?yōu)?p7(p-1)φ(n1)=s(p72),則

若 p=2,那么 s(272)=76=27φ(n1),該方程無(wú)解 .

若 p ≥3,由引理 5 可知 :s(p9?)≤9p?,注意到 φ(n)=p?-1(p-1)φ(n1)和 p?-1(p-1)＞9p?,因此 ,該方程無(wú)解.

(ix)當(dāng)?=9時(shí),

若 p=2,那么 s(254)=58=25φ(n1),該方程無(wú)解 .

若 p ≥3,由引理 5 可知 :s(p9?)≤9p?,注意到 φ(n)=p?-1(p-1)φ(n1)和 p?-1(p-1)＞9p?,因此 ,該方程無(wú)解.

聯(lián)合(i)到(ix),可得方程有一個(gè)解:n=1.

證畢

糾錯(cuò)[4]:曹楠,高麗在西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)2009年35卷第5期上發(fā)表文章關(guān)于數(shù)論函數(shù)方程φ(n)=S(n7).

在此論文中,證明了 φ(n)=S(n7)有 n=1,64,72,80這4個(gè)解。而當(dāng) n=64時(shí),φ(64)=32,S(647)=48所以 φ(64)≠S(647)即64不是方程 φ(n)=S(n7)的解。

當(dāng) n=72時(shí),φ(72)=24,S(727)=32所以 φ(72)≠S(727)即72不是方程 φ(n)=S(n7)的解。

綜上所述,φ(n)=S(n7)的解:n=1,80.

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