王清波，陳婷

（1.東方電機(jī)有限公司，四川 德陽(yáng) 618000；2.四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 德陽(yáng) 618000）

風(fēng)電機(jī)組塔架自由振動(dòng)的微分求積法分析

王清波1，陳婷2

（1.東方電機(jī)有限公司，四川 德陽(yáng) 618000；2.四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 德陽(yáng) 618000）

塔架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，不僅會(huì)引起塔架的附加應(yīng)力，影響其結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，而且還會(huì)影響風(fēng)輪的變形和振動(dòng)，從而影響其性能。因此，在風(fēng)電機(jī)組的設(shè)計(jì)中，必須分析計(jì)算風(fēng)力引起的塔架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。本文介紹了微分求積法原理，使用該方法求解了風(fēng)電機(jī)組錐筒型塔架的固有頻率，并與其它數(shù)值方法求解的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明，微分求積法原理簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，精度較高，且易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。

錐筒型塔筒；固有頻率；微分求積法

0 引言

大中型水平軸風(fēng)電機(jī)組塔架多為細(xì)長(zhǎng)的圓筒型或錐筒型和框架型的結(jié)構(gòu)，其頂端安裝有大質(zhì)量的機(jī)艙和旋轉(zhuǎn)的風(fēng)輪，由于風(fēng)在時(shí)間和空間上的多變性、風(fēng)電機(jī)組結(jié)構(gòu)、剛度和阻尼的綜合條件下，會(huì)引起塔架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，從而發(fā)生空氣動(dòng)力失穩(wěn)。一旦發(fā)生氣動(dòng)力失穩(wěn)，可能會(huì)導(dǎo)致風(fēng)電機(jī)組塔架結(jié)構(gòu)的變形、附加應(yīng)力、結(jié)構(gòu)強(qiáng)度變化等，因此，對(duì)塔架的固有振動(dòng)特性研究有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。

對(duì)塔架固有頻率的求解，可以歸結(jié)為偏微分方程的定解問(wèn)題，也就是求一定邊界條件下偏微分方程的解，由于問(wèn)題的復(fù)雜性，只有極少數(shù)特殊類(lèi)型的偏微分方程才能得到其解析解，大多數(shù)情況下，必須借助數(shù)值方法來(lái)獲得偏微分方程的近似解。目前，比較常用的數(shù)值方法有有限元法、有限差分法、邊界元法等，本文使用的微分求積法相比于有限元法等其他數(shù)值方法，僅使用較少節(jié)點(diǎn)便可以獲得高精度的結(jié)果，尤其對(duì)于高階偏微分方程的求解，更有著計(jì)算量小，高精度的優(yōu)勢(shì)，且易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。

1 微分求積法

1.1 微分求積法的原理

微分求積法是將微分方程的求解區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，求解函數(shù)在離散點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）處的近似值，求解近似值就需要構(gòu)造算法，而構(gòu)造算法的關(guān)鍵所在就是如何將離散點(diǎn)的積分或者微分用離散點(diǎn)處的函數(shù)值表示。微分求積法就是用離散點(diǎn)的函數(shù)值的加權(quán)線(xiàn)性和近似替代函數(shù)在各個(gè)離散點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，這樣的話(huà)，微分求積法就可以把微分方程轉(zhuǎn)變成以離散點(diǎn)的函數(shù)值為未知量的方程組，最后求出微分方程的數(shù)值解。

微分求積法原理[1]：設(shè)f(x)為一維待定函數(shù)，在區(qū)間[a,b]（通常情況下，通過(guò)對(duì)求解區(qū)間正規(guī)化，區(qū)間[a,b]都轉(zhuǎn)化為[-1,1]或[0,1]區(qū)間)內(nèi)連續(xù)可微，在區(qū)間[a,b]內(nèi)選取N個(gè)互相不重合的節(jié)點(diǎn)，則

函數(shù)f(x)在全域內(nèi)任意離散點(diǎn)的r階導(dǎo)數(shù)可以用所有離散點(diǎn)xi(i=1,2,…,N)上函數(shù)值的加權(quán)線(xiàn)性和近似表示，即：

式中,就為函數(shù)f(x)的r階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)，由上式可知，如果加權(quán)系數(shù)確定了，那么函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)值就可以由式（2）近似表示。假設(shè)未知函數(shù)

上式中,Pi(x)為插值函數(shù)，對(duì)式（3）求r階導(dǎo)數(shù)可得

由式（9）可知，只要確定了一階加權(quán)系數(shù)矩陣，其它各階權(quán)系數(shù)矩陣就能簡(jiǎn)便的計(jì)算出來(lái)。如果f(x)為區(qū)間內(nèi)N個(gè)節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值f(xi)的Lagrange插值近似，即：

常用的基函數(shù)除了Lagrange插值函數(shù)之外，還有Chebyshev和Hermite插值函數(shù)。

1.2 節(jié)點(diǎn)分布的選取

節(jié)點(diǎn)的選取也同樣影響著求解的精度，選擇均勻節(jié)點(diǎn)有時(shí)候會(huì)影響解的收斂性，Bert和王鑫偉等人用切比雪夫多項(xiàng)式解決了非均勻節(jié)點(diǎn)選取問(wèn)題，Shu等人研究發(fā)現(xiàn)，邊界點(diǎn)和臨近邊界的內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的離散方程的誤差最大，是影響結(jié)果收斂性的主要因素，所以提出節(jié)點(diǎn)向邊界“延伸”的方法，以使節(jié)點(diǎn)盡量分布在邊界附近。

實(shí)踐表明，使用微分求積法求解運(yùn)動(dòng)微分方程式，節(jié)點(diǎn)分布對(duì)求解結(jié)果穩(wěn)定性和精確性有很大影響。最早最簡(jiǎn)單的節(jié)點(diǎn)分布是Sherbourne和Pandey用微分求積法分析復(fù)合材料層合板的穩(wěn)定性時(shí)采用的均勻節(jié)點(diǎn)分布，他們發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)的選取對(duì)求解結(jié)果影響非常大，而且均勻節(jié)點(diǎn)分布在大多數(shù)情況下得到的計(jì)算結(jié)果都是不可靠的。后來(lái)很多學(xué)者采用了非均勻節(jié)點(diǎn)，并得到了很好的效果，例如取切比雪夫多項(xiàng)式的根和勒讓德的根作節(jié)點(diǎn)。常用的非均勻節(jié)點(diǎn)的分布公式有[1]：

式（17），式（18）和式（19）的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)都有向邊界靠攏的共同特點(diǎn)，很多學(xué)者通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，接近中間的節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)權(quán)系數(shù)的截?cái)嗾`差很小，而接近邊界的節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)權(quán)系數(shù)的截?cái)嗾`差很大，所以選取具有向邊界靠攏的節(jié)點(diǎn)分布能夠獲得較快的收斂速度和更精確的結(jié)果。當(dāng)節(jié)點(diǎn)總數(shù)大于11時(shí)，式（17），式（18）和式（19）的節(jié)點(diǎn)分布對(duì)求解結(jié)果的影響差別不大。

1.3 邊界條件的處理

邊界條件是否能夠正確施加，是用微分求積法求解問(wèn)題能否成功的關(guān)鍵所在。因此在使用微分求積法分析問(wèn)題的時(shí)候，對(duì)邊界條件的處理就變得格外重要，對(duì)于許多力學(xué)問(wèn)題，像拱的振動(dòng)和穩(wěn)定性問(wèn)題，它的邊界條件不止一個(gè)，而每個(gè)邊界只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，這樣的話(huà)要施加邊界條件就變的比較麻煩，為了解決這個(gè)問(wèn)題，很多學(xué)者都做了大量的工作，常用的方法有直接法、權(quán)系數(shù)修正法、δ法和方程替代法等[2]，微分求積法也正是順利解決了邊界條件這個(gè)問(wèn)題，而應(yīng)用較廣泛。

為了解決多個(gè)邊界條件的問(wèn)題，很多學(xué)者想到了用域內(nèi)節(jié)點(diǎn)替代邊界點(diǎn)，這就是現(xiàn)在常用的處理邊界條件的方法之一δ法。δ法也稱(chēng)節(jié)點(diǎn)替代法，它是處理高階微分方程的邊界條件的有效方法之一。其方法是將距邊界點(diǎn)δ內(nèi)的點(diǎn)也看作邊界點(diǎn)，這樣每個(gè)邊界就有兩個(gè)邊界條件，邊界條件就可以施加在這兩個(gè)點(diǎn)上。為保證計(jì)算結(jié)果的精確性和可靠性，δ大小的選取就變得相當(dāng)。經(jīng)實(shí)踐得出，δ一般取值為10-6＜δ＜10-4，這樣使用微分求積方法時(shí)節(jié)點(diǎn)的順序取為：

δ法順利地解決了邊界問(wèn)題，但沒(méi)有精確滿(mǎn)足，對(duì)于每個(gè)邊界點(diǎn)有兩個(gè)或者兩個(gè)以上邊界條件的問(wèn)題，理論上是可以在每個(gè)邊界點(diǎn)選擇兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn)來(lái)替代邊界點(diǎn)的，但實(shí)踐證實(shí)，對(duì)于每個(gè)邊界點(diǎn)有兩個(gè)或者兩個(gè)以上邊界條件的問(wèn)題，如果采用δ法來(lái)處理邊界條件的話(huà)，所得結(jié)果誤差較大，不具可靠性。對(duì)于權(quán)系數(shù)修正法，其做法是在形成高階導(dǎo)數(shù)權(quán)系數(shù)矩陣的時(shí)候就引入邊界條件。

2 風(fēng)電機(jī)組塔筒的振動(dòng)方程

風(fēng)電機(jī)組塔筒是一般采用管式結(jié)構(gòu)，以管式結(jié)構(gòu)為例，可將其簡(jiǎn)化為懸臂梁，懸臂梁的振動(dòng)方程可以參看振動(dòng)力學(xué)[2]，管式塔筒示意圖如圖1，其彎曲振動(dòng)方程為

其中，EI為抗彎剛度，ρ為單位長(zhǎng)度質(zhì)量，P為外載荷，假設(shè)塔筒做自由振動(dòng)，有P(x,t)=0，設(shè)y=Y(x)eiωt，代入上式，得

其中ω為塔筒的圓頻率，對(duì)于塔筒來(lái)說(shuō)，它的邊界條件為：

圖1 變截面管式塔筒

假如風(fēng)電機(jī)組塔筒為等截面管式結(jié)構(gòu)，那么，抗彎剛度EL和單位長(zhǎng)度質(zhì)量ρ均為一定值，令無(wú)量綱變量X=x/L，L為塔筒高度，式（23）化為微分求積形式為：

假如風(fēng)電機(jī)組塔筒為變截面管式結(jié)構(gòu)，那么，抗彎剛度EL和單位長(zhǎng)度質(zhì)量ρ均是塔筒高度x的函數(shù)，同樣，令無(wú)量綱變量X=x/L，L為塔筒高度，設(shè)EI=E0I0k(X)，ρ=ρ0g(X)，將上式代入式（23）得

對(duì)于整個(gè)風(fēng)電機(jī)組而言，求解塔筒的固有頻率，可以把機(jī)艙和風(fēng)輪簡(jiǎn)化成集中質(zhì)量，根據(jù)式（26），塔筒自由端的邊界條件為：

3 例題分析

對(duì)于等截面懸臂梁的振動(dòng)問(wèn)題，振動(dòng)力學(xué)教材上給出了固有頻率精確解[3]。表1對(duì)比了精確解和本文求得的數(shù)值解。

用本文方法計(jì)算NASA MOD－O 100kW風(fēng)電機(jī)組塔筒固有頻率，表2給出了該塔架的特性參數(shù)[4]。

塔筒參數(shù)：塔架高度里L(fēng)=28.35m；機(jī)艙和風(fēng)輪質(zhì)量M=13656.9kg。

由表2可以看出，塔筒主要分2節(jié)，為了保證結(jié)果精度，對(duì)單位長(zhǎng)度質(zhì)量和抗彎剛度可以采用分段擬合方法，即單位長(zhǎng)度質(zhì)量和抗彎剛度可以擬合成高度比的函數(shù)[5]。

式（28）與邊界條件可以寫(xiě)成如下的矩陣形式：

表1 等截面塔筒固有頻率

表2 NASA MOD-O 100kW風(fēng)電機(jī)組塔筒特性參數(shù)

表3 NASA MOD-O 100kW風(fēng)電機(jī)組塔筒第一階固有頻率

令系數(shù)矩陣行列式為零，可以求出塔筒無(wú)量綱固有頻率，進(jìn)而得到圓頻率ω，再由關(guān)系式f=ω/2π，可以求出塔筒固有頻率。表3給出了該塔架第一階彎曲振動(dòng)固有頻率。

4 結(jié)論

本文詳細(xì)地介紹了微分求積法原理，并運(yùn)用該方法對(duì)塔筒固有頻率進(jìn)行了求解，結(jié)果表明，微分求積法是求解高階微分方程的有效方法，尤其在求解等截面問(wèn)題時(shí)，計(jì)算效率較高，精度高。求解變截面問(wèn)題是，精度令人滿(mǎn)意。將機(jī)艙和風(fēng)輪簡(jiǎn)化成集中質(zhì)量有其合理性。

為控制整個(gè)風(fēng)電機(jī)組振動(dòng)，尤其是避免共振，對(duì)整個(gè)風(fēng)電機(jī)組振動(dòng)研究有著重要的現(xiàn)實(shí)意義，文章使用的微分求積法對(duì)風(fēng)電機(jī)組設(shè)計(jì)工作有其獨(dú)特的作用，能大量減少風(fēng)電機(jī)組設(shè)計(jì)工作者的工作量。同時(shí)，該方法還需要在大量仿真與實(shí)測(cè)的風(fēng)電機(jī)組數(shù)據(jù)的對(duì)比中進(jìn)行修正，以便得到更精確的結(jié)果。

[1]王鑫偉.微分求積法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用 [J]. 力學(xué)進(jìn)展,1 995,25(2):232-240.

[2]王永亮.微分求積法和微分求積單元法[D].南京:南京航空航天大學(xué), 2001.

[3]倪振華.振動(dòng)力學(xué)[M].西安: 西安交通大學(xué)出版社,1986.

[4]李本立,宋憲耕,等.風(fēng)力機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M]. 北京:北京航空航天大學(xué)出版社,1999.

[5]顧岳飛.基于有限元分析的風(fēng)電機(jī)組塔架結(jié)構(gòu)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)[J].風(fēng)能, 2012(7):78-83.

Analysis of Differential Quadrature Method on Wind Turbine Tower Free Vibration

Wang Qingbo1, Chen Ting2
(1. Dong Fang Electric Machinery Co.,Ltd., Deyang Sichuan 618000, China; 2. Si Chuan College of Architectural Technology, Deyang Sichuan 618000, China)

The vibration of wind turbine tower structure can not only cause the additional stress of the tower, afect the structural strength, but also afect the deformation and vibration of the wind turbine rotor, which afects its performance. Therefore, the analysis and calculation of the wind turbine tower structure dynamics caused by the wind shall be taken into account in the design of the wind turbine. The principle of the diferential quadrature method has been introduced in this paper. The natural frequency of the taper cylinder tower has been computed by this method. Numerical results from this approach are compared with other numerical methods. It is shown that the principle of differential quadrature method is simple, and its computation efficiency is higher, accuracy, and easy to implement on computer.

taper cylinder tower; inherent frequency; diferential quadrature method

TM614

A

1674-9219(2013)12-0114-05

2013-09-29。

王清波（1983-），男，碩士，工程師，主要從事風(fēng)電機(jī)組設(shè)計(jì)工作。

陳婷（1983-），女，碩士，助教，主要從事高等數(shù)學(xué)、離散數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等教學(xué)工作。