摘要: 針對離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)現(xiàn)狀,結(jié)合教學(xué)體會,提出了輕理論重應(yīng)用、從數(shù)學(xué)思想的高度整合課程內(nèi)容、充分利用課程教學(xué)平臺、適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)史等教學(xué)改革措施。
關(guān)鍵詞: 離散數(shù)學(xué); 教學(xué)改革; 課程教學(xué)平臺; 數(shù)學(xué)史
中圖分類號:O158 文獻標志碼:A 文章編號:1006-8228(2012)10-47-03
引言
離散數(shù)學(xué)是以研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系的學(xué)科,它在計算機理論研究及軟、硬件開發(fā)的各個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用[1]。作為計算機專業(yè)的一門核心基礎(chǔ)課,它不僅在后續(xù)課程,如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫原理、編譯原理等課程中有廣泛的應(yīng)用,而且對培養(yǎng)學(xué)生的嚴格邏輯推理、抽象思維能力有十分重要的作用[2]。
離散數(shù)學(xué)概念多而抽象,教師在教學(xué)中往往會非常注重理論知識的講解,而忽略了應(yīng)用;學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往看不到離散數(shù)學(xué)的知識在計算機學(xué)科中的具體應(yīng)用,學(xué)習(xí)積極性也不高。另外,在人才培養(yǎng)方案的制定過程中,各個學(xué)校普遍壓縮了專業(yè)課程的學(xué)時數(shù)。以筆者所在學(xué)校為例,以前離散數(shù)學(xué)有64課時,從2008級開始已壓縮為48課時。課時非常緊張,教師需要在有限的課時內(nèi)高質(zhì)量地完成教學(xué)內(nèi)容,而如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率成為教學(xué)改革的關(guān)鍵。
近年來,針對離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)現(xiàn)狀,許多教師都在進行各種各樣的教學(xué)改革[3,4]。本文結(jié)合筆者的教學(xué)體會,提出了輕理論重應(yīng)用,從數(shù)學(xué)思想的高度整合課程內(nèi)容,充分利用課程教學(xué)平臺,適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)史等教學(xué)改革措施。
1 注重概念的理解與掌握,重視應(yīng)用
1.1 案例教學(xué),注重概念的理解
現(xiàn)行的大多數(shù)離散數(shù)學(xué)教材,主要是從純數(shù)學(xué)理論角度講授基本內(nèi)容,這不利于學(xué)生的理解和掌握。離散數(shù)學(xué)中有很多定義、定理和規(guī)則,而課本的描述往往比較難懂。很多學(xué)生習(xí)慣于死記硬背數(shù)學(xué)概念,很容易產(chǎn)生枯燥和畏難情緒。因此,在教學(xué)過程中,教師要注重引導(dǎo)學(xué)生對問題的完整理解,而不是只告訴學(xué)生結(jié)論。教師可以選取典型案例來說明抽象的理論知識,或者改用比較通俗的語言來描述抽象的概念,使學(xué)生在輕松愉快的情境中理解離散數(shù)學(xué)的理論知識,下面用幾個例子來說明。
例如,對于關(guān)系的對稱與反對稱的性質(zhì),課文的定義如下:
在實際講解時,教師如果能從學(xué)生身邊的例子出發(fā),再抽象出基本概念,學(xué)生就會對這些概念有更深刻的理解。比如,教師舉例說班級里的同學(xué)關(guān)系是對稱的,然后提問學(xué)生家庭里的父子關(guān)系是對稱關(guān)系嗎·學(xué)生一聽這例子,就哈哈大笑,他們馬上明白父子關(guān)系是反對稱的關(guān)系。隨后學(xué)生就可以舉出許多例子,直線的平行關(guān)系是對稱的,數(shù)的整除關(guān)系是反對稱的。于是在教師引導(dǎo)下,學(xué)生參與對這些例子的關(guān)系圖進行分析,一起得出以下利用關(guān)系圖來判斷關(guān)系性質(zhì)的結(jié)果:
結(jié)論1 若G是關(guān)系R的關(guān)系圖,假如G的不同頂點之間有邊,若全是雙向邊,則關(guān)系R是對稱的;若全是單向邊,則關(guān)系R是反對稱的;假如G的不同頂點之間沒有邊,則關(guān)系R既是對稱也是反對稱的。
在講解三個特殊關(guān)系時,教師可以以班級學(xué)生為例,學(xué)生就不難理解特殊關(guān)系的相關(guān)定義了。
離散數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要突破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法,弱化教學(xué)內(nèi)容體系的系統(tǒng)性與嚴密性。以實際問題為導(dǎo)入,以學(xué)生應(yīng)用為主題,突出應(yīng)用能力的培養(yǎng)。在教學(xué)過程中,應(yīng)穿插介紹一些知識點在計算機科學(xué)中的應(yīng)用,將之與離散數(shù)學(xué)理論結(jié)合介紹給學(xué)生,使學(xué)生重視這一課程的學(xué)習(xí),產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣,主動地進行學(xué)習(xí)。
該課程命題邏輯公式的等值演算和主合(析)取范式是教學(xué)重點,前者在開關(guān)電路中可以化簡電路,后者在邏輯設(shè)計方面有廣泛的應(yīng)用。
例2 學(xué)校要安排課表,教語言課的教師希望將課程安排在第一或第三節(jié),教數(shù)學(xué)課的教師希望將課程安排在第二或第三節(jié),教原理課的教師希望將課程安排在第一或第二節(jié)。試問該如何安排課表,使得三位教師都滿意·
解:設(shè)l1,l2,l3,分別表示語言課排在第一、第二、第三節(jié),設(shè)m1,m2,m3分別表示數(shù)學(xué)課排在第一、第二、第三節(jié),設(shè)p1,p2,p3分別表示原理課排在第一、第二、第三節(jié)。于是三位教師都滿意的條件是:
于是,或為真,從而可得兩種不同的課程表排法。
另外,在講授平面圖時,教師可以介紹平面圖在染色問題、集成電路等方面的應(yīng)用。在講授代數(shù)系統(tǒng)時,教師可以布置關(guān)于密碼方面的案例,要求學(xué)生進行破譯。教師可以布置課程大作業(yè),要求學(xué)生圍繞離散數(shù)學(xué)在計算機科學(xué)中的應(yīng)用撰寫課程論文,這不但會培養(yǎng)學(xué)生基本的論文寫作規(guī)范和綜合素質(zhì),更重要的是,能引起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣和求知欲,使他們自覺地去學(xué)習(xí)、解決問題和創(chuàng)新。
2 “化零為整”,從數(shù)學(xué)思想的高度整合課程內(nèi)容
離散數(shù)學(xué)主要包括數(shù)理邏輯、集合與關(guān)系、函數(shù)與映射、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論等教學(xué)內(nèi)容。這些內(nèi)容從表面上看,內(nèi)容多且散,不同教材對這些章節(jié)的次序安排也各有不同。但通過歸納可以發(fā)現(xiàn),離散數(shù)學(xué)是以集合、映射、運算和關(guān)系為主線,各章節(jié)內(nèi)容聯(lián)系緊密,具有較強的邏輯性。所以教師要引導(dǎo)學(xué)生理清各章節(jié)之間的聯(lián)系,提高學(xué)習(xí)效率。
2.1 集合公式是數(shù)理邏輯公式在集合論中的應(yīng)用
顯然邏輯公式的合取運算在集合論中表現(xiàn)為求交集的運算。同理邏輯公式的析取和求非的運算在集合論中分別表現(xiàn)為求并集和求補集的運算。至于特殊公式0和1,在集合論里分別表現(xiàn)為空集和全集。因此集合恒等式是命題邏輯等值式在集合論中的應(yīng)用。
由于學(xué)生對集合公式比較熟悉,而且公式直觀易懂,因此學(xué)生可以通過集合公式來記憶數(shù)理邏輯公式。
2.2 圖的同構(gòu)就是兩代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)的特例
盡管實際教學(xué)中不要求學(xué)生利用代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)來判別圖的同構(gòu),但是教師應(yīng)該從理論的高度向?qū)W生介紹圖同構(gòu)就是代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)在圖論中的應(yīng)用。
類似的例子還有許多,這里不再一一贅述。
3 充分利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺,增加師生互動
3.1 教學(xué)手段現(xiàn)代化
在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中,適當(dāng)利用多媒體教學(xué),能使課堂容量增大,使講解更直觀、更清晰,特別是在圖論中應(yīng)用多媒體教學(xué)可以形象地生成不同形狀的圖形,可提高課堂教學(xué)效率。但是,教師不能用計算機輔助教學(xué)完全代替?zhèn)鹘y(tǒng)的授課方式,教師可以根據(jù)實際需要,在教學(xué)過程中靈活地、適當(dāng)?shù)貞?yīng)用板書,以起到其特有的點睛效果。例如對一些邏輯性較強的推理證明,應(yīng)該使用傳統(tǒng)的授課方式進行教學(xué)。因此,傳統(tǒng)的教學(xué)方式與現(xiàn)代多媒體教學(xué)方式要有機地結(jié)合。
3.2 開發(fā)教學(xué)網(wǎng)站
高校擴招后, 大部分學(xué)生在新校區(qū)學(xué)習(xí),而教師的辦公和居住地往往在老城區(qū),傳統(tǒng)單一的教學(xué)模式使學(xué)習(xí)受到了時間、空間的限制。如學(xué)生課外自學(xué)遇到問題無法隨時找到教師;師生之間互動差,缺乏自由溝通的良好環(huán)境等等。這些因素影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)效率,因此需要拓展教學(xué)模式,建設(shè)教學(xué)網(wǎng)站。
2009年,筆者開始建設(shè)基于Blackboard的離散數(shù)學(xué)教學(xué)平臺,課程平臺菜單如圖3所示。利用教學(xué)網(wǎng)站,學(xué)生的學(xué)習(xí)方式更加靈活,學(xué)生可以根據(jù)需要下載教學(xué)課件、習(xí)題解答等課程資源,也可以參加在線測試和了解課程信息,教師可以組織課程討論和進行在線答疑。離散數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課件既能輔助課堂教學(xué),又便于學(xué)生進行自主深化學(xué)習(xí)。
外國語學(xué)院的學(xué)生外語水平比較高,根據(jù)這一特點,網(wǎng)站也設(shè)置了雙語教學(xué)模塊,列出了離散數(shù)學(xué)常用術(shù)語的翻譯、國際知名大學(xué)的英文教材和相關(guān)學(xué)習(xí)網(wǎng)站等。通過三年的教學(xué)平臺實踐教學(xué),取得了一定的效果。
另外,課程考核體系也需要改革,不能以單一的卷面考試作為標準,而是要結(jié)合平時作業(yè)、期中考試、課程小論文以及在線測試成績等多方面進行綜合考核,注重學(xué)生的綜合素質(zhì)。
4 適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)史,增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣
通過數(shù)學(xué)史的介紹讓學(xué)生了解知識的產(chǎn)生根源,這對增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)大有裨益。
例如,教師可以用“七橋問題”引出圖論的起源,同時介紹數(shù)學(xué)家歐拉在圖論上的成果,學(xué)生就容易記住相關(guān)的歐拉圖的定義、判定條件。圖論中有幾種重要的特殊圖,可由“環(huán)游世界問題”引出哈密爾頓圖的起源;介紹與平面圖相關(guān)的“四色定理”的由來;可介紹一些圖論中懸而未決的問題,引發(fā)學(xué)生去思考。
在命題邏輯教學(xué)中,可以補充介紹“理發(fā)師悖論”等相關(guān)小故事,告訴學(xué)生這是當(dāng)時引起第三次數(shù)學(xué)危機的“羅素悖論”,還可以介紹計算機最高獎——圖靈獎。在代數(shù)系統(tǒng)中可以補充介紹Hill密碼、糾錯碼等。通過介紹離散數(shù)學(xué)中的典故、典型實例和歷史人物等有趣的內(nèi)容激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生享受學(xué)習(xí)的樂趣,提高課堂教學(xué)質(zhì)量。
5 結(jié)束語
離散數(shù)學(xué)課程體系與教學(xué)內(nèi)容改革的基本原則是,注重課程體系與教學(xué)內(nèi)容的整體優(yōu)化;在傳統(tǒng)內(nèi)容中滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想與方法;加強應(yīng)用,重視離散數(shù)學(xué)教學(xué)與計算機科學(xué)技術(shù)的整合。
課程的教學(xué)改革是一個復(fù)雜的系統(tǒng)工程,還需要長期的改革實踐和探索。比如離散數(shù)學(xué)作為計算機專業(yè)基礎(chǔ)課,它的實踐環(huán)節(jié)容易被忽略,事實上可以結(jié)合數(shù)學(xué)建模,開設(shè)數(shù)學(xué)實驗教學(xué),以培養(yǎng)學(xué)生的動手能力。離散數(shù)學(xué)增加實驗內(nèi)容的教學(xué),有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的積極性,有利于增強學(xué)生解決實際問題的能力,有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力[5]。如果能增加一些課時,我認為應(yīng)在教學(xué)中逐步增加實踐環(huán)節(jié),進一步探索理論教學(xué)與實驗教學(xué)相結(jié)合的模式。
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