童科偉 劉偉 高朝輝 王俊峰 王篤俊

（1 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京 100076）

（2 中國(guó)航天科工集團(tuán)第二研究院中心軍事代表室，北京 100854）

1 引言

月球異常復(fù)雜的重力場(chǎng)使得月球衛(wèi)星的軌道與地球衛(wèi)星軌道相比具有不同的特性［1-2］。月球上空沒(méi)有大氣，衛(wèi)星軌道不會(huì)因大氣阻力而衰減。但是在較低的初始圓軌道上運(yùn)行的月球衛(wèi)星經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后仍可能墜落到月球［2］。月球重力場(chǎng)攝動(dòng)影響會(huì)導(dǎo)致偏心率變大，使衛(wèi)星軌道迅速變扁，縮短衛(wèi)星壽命，對(duì)100km／15km軌道反應(yīng)尤為明顯［3］。這些現(xiàn)象就與月球復(fù)雜的重力場(chǎng)有關(guān)。研究月球重力場(chǎng)有助于理解這些現(xiàn)象。

由于月球的公轉(zhuǎn)周期和自轉(zhuǎn)周期相同，月球始終只有半面朝向地球，導(dǎo)致地面無(wú)法觀測(cè)到月球背面，月球背面的重力異常只能通過(guò)擬合推估間接求出，極大影響了月球背面重力場(chǎng)的精度。目前常用的月球重力場(chǎng)模型LP165是基于分析NASA 的月球勘探者號(hào)（Lunar Prospector）的正面雙程多普勒和測(cè)距數(shù)據(jù)得到的。由于缺少月球背面觀測(cè)數(shù)據(jù)，得到的20階以上的重力場(chǎng)球諧展開(kāi)系數(shù)可能不可靠。盡管高階諧系數(shù)不可靠，考慮高階項(xiàng)對(duì)低軌衛(wèi)星定軌精度的提高仍有幫助［3］。

月球重力場(chǎng)與地球重力場(chǎng)有顯著區(qū)別。從重力場(chǎng)形式誤差看，地球重力場(chǎng)形式誤差隨階數(shù)增加而變大，而月球則隨階數(shù)增加而變小。從信噪比角度看，地球重力場(chǎng)直到150階的形式誤差仍小于重力場(chǎng)本身的值，而月球約從80階開(kāi)始，形式誤差就與重力場(chǎng)本身的量級(jí)相當(dāng)了。地球重力場(chǎng)的高精度是在發(fā)展了眾多新的測(cè)量技術(shù)，如低軌衛(wèi)星對(duì)高軌衛(wèi)星的跟蹤、低軌衛(wèi)星之間的跟蹤、非保守力加速儀測(cè)量等后獲得的，而月球重力場(chǎng)的建立主要依賴(lài)環(huán)月飛行器的地面測(cè)軌。地、月重力場(chǎng)精度的差異表明，提高月球重力場(chǎng)精度仍然是值得深入研究的重要科學(xué)問(wèn)題［3］。

本文從軌道特性分析的角度，闡述由于月球重力場(chǎng)與地球重力場(chǎng)的不同所引起的月球衛(wèi)星軌道的不同特性，并利用解析與數(shù)值方法分析月球重力場(chǎng)影響下的航天器繞月球運(yùn)行的軌道長(zhǎng)期變化。最后基于軌道特性分析，提出對(duì)高精度月球重力場(chǎng)探測(cè)的需求。

2 月球軌道特性分析

月球復(fù)雜重力場(chǎng)使得月球衛(wèi)星軌道與地球衛(wèi)星軌道相比存在非常大的不同，這可以基于月球凍結(jié)軌道的特性來(lái)分析。

凍結(jié)軌道要求近地點(diǎn)幅角和偏心率的變化為零。凍結(jié)軌道可以視為普通軌道的一種平衡狀態(tài)。分析表明，凍結(jié)軌道即對(duì)應(yīng)于動(dòng)力學(xué)分析中的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

楊維廉指出，對(duì)于凍結(jié)軌道，除了偏心率和近地點(diǎn)幅角以外，半長(zhǎng)軸、軌道傾角的長(zhǎng)期項(xiàng)也完全凍結(jié)，而升交點(diǎn)赤經(jīng)只存在長(zhǎng)期攝動(dòng)［4］。

因此從凍結(jié)軌道出發(fā)，可以了解軌道根數(shù)的長(zhǎng)期演化趨勢(shì)，并可以了解不同星球重力場(chǎng)攝動(dòng)因素對(duì)軌道長(zhǎng)期演化的影響。

2．1 凍結(jié)軌道

當(dāng)僅考慮地球引力場(chǎng)帶諧項(xiàng)系數(shù)J2、J3時(shí)，對(duì)應(yīng)的近地點(diǎn)幅角ω和偏心率e的長(zhǎng)期變化為［5］

其中系數(shù)θ有

式中：n為軌道角速度；Re為地球半徑；a為長(zhǎng)半軸；e為偏心率；i為軌道傾角；ω為近地點(diǎn)幅角。

顯然，在臨界傾角處以及θ＝0處，近地點(diǎn)幅角ω的變化為零。當(dāng)傾角為零或臨界傾角處，或者ω＝90°，270°時(shí)，偏心率的變化為零。通常航天任務(wù)選擇的軌道都不在赤道平面內(nèi)或者臨界傾角，因此通常選擇ω＝90°、270°的凍結(jié)軌道。

上述分析可以粗略地得到凍結(jié)軌道的基本概念，但對(duì)地球軌道或月球軌道，特別是月球軌道來(lái)說(shuō)，僅考慮J2、J3項(xiàng)無(wú)法求得精確的凍結(jié)系數(shù)。

以下基于相平面及完整的帶諧項(xiàng)系數(shù)，分析凍結(jié)軌道的偏心率及近地點(diǎn)幅角。

2．1．1 凍結(jié)軌道相圖理論解釋

凍結(jié)軌道對(duì)軌道參數(shù)的影響可以用理論圖解釋?zhuān)鐖D1所示。

楊維廉推導(dǎo)出一般軌道偏心率向量慢變量的近似表達(dá)式為［4］

圖1 典型近似凍結(jié)軌道圍繞凍結(jié)點(diǎn)e和ω 的振蕩Fig．1 e andωoscillation of typical near frozen orbit around frozen point

式中：e＊為去掉短周期項(xiàng)后的偏心率的擬平根數(shù)；ω＊為去掉短周期項(xiàng)后的近地點(diǎn)幅角的擬平根數(shù)；ef為凍結(jié)軌道偏心率；e為偏心率的平根數(shù)，為常數(shù)；ω為近地點(diǎn)幅角的平根數(shù)，為時(shí)間的線性函數(shù)。當(dāng)e＝0時(shí)，偏心率e＝｜ef｜，對(duì)應(yīng)于ω＝90°（ef＞0）或者ω＝270°（ef＜0），即為凍結(jié)軌道。

楊維廉指出圖1中的圓半徑即為偏心率的平根數(shù)e，圖中的圓即為偏心率的慢變化軌跡。如果圓縮小成一個(gè)點(diǎn)，偏心率向量就變成縱軸上的恒定向量，這就對(duì)應(yīng)于凍結(jié)軌道［4］。

對(duì)一個(gè)非凍結(jié)軌道來(lái)說(shuō)，偏心率的長(zhǎng)期變化沿著圖1相圖的趨勢(shì)來(lái)變化。對(duì)于任意軌道來(lái)說(shuō)，偏心率的變化范圍為

基于以上分析，在設(shè)計(jì)運(yùn)行軌道時(shí)，可以從凍結(jié)軌道出發(fā)，根據(jù)相圖分析，選擇合理的初始軌道根數(shù)，如軌道高度、偏心率等，由數(shù)值法分析并設(shè)計(jì)滿(mǎn)足工程任務(wù)的軌道。此外還可以基于相圖來(lái)設(shè)計(jì)軌道控制策略。

2．1．2 凍結(jié)軌道解析分析

考慮各階帶諧項(xiàng)攝動(dòng)時(shí)，衛(wèi)星軌道的近地點(diǎn)幅角和偏心率隨時(shí)間的變化可以表示為［6］

式中B、D、G與a、i有關(guān)，由一系列考慮任意階的帶諧項(xiàng)系數(shù)及勒讓德多項(xiàng)式表示。式（7）和式（8）適用于任意星球。

凍結(jié)軌道即按上述方程組要求等于零。通過(guò)穩(wěn)態(tài)分析，求得凍結(jié)偏心率可近似為［6］

式（9）求出的偏心率為正時(shí)，對(duì)應(yīng)的近地點(diǎn)幅角為90°，否則對(duì)應(yīng)的近地點(diǎn)幅角為270°。式（9）不適用于臨界傾角軌道。

分別以軌道高度700km，軌道傾角30°的地球軌道和軌道高度200km，軌道傾角30°的月球軌道為例（用半長(zhǎng)軸除以地球、月球半徑進(jìn)行歸一化得到的二者歸一化半長(zhǎng)軸約為1．1），采用式（9）分析不同重力場(chǎng)階數(shù)對(duì)應(yīng)的凍結(jié)軌道偏心率，結(jié)果分別如圖2所示。

圖2 凍結(jié)偏心率隨重力場(chǎng)階次變化Fig．2 Frozen eccentricity variation as the order increase of gravity field

由圖2可見(jiàn)：

（1）僅考慮少數(shù)幾階時(shí)，月球重力場(chǎng)模型誤差非常大，而地球重力場(chǎng)模型的誤差遠(yuǎn)小于月球重力場(chǎng)模型，地球軌道衛(wèi)星僅考慮J2、J3項(xiàng)時(shí)，也可以得到量級(jí)相當(dāng)?shù)膬鼋Y(jié)系數(shù)；

（2）歸一化半長(zhǎng)軸約1．1時(shí)，地球重力場(chǎng)模型考慮到約25階就可以得到比較穩(wěn)定的結(jié)果，月球重力場(chǎng)模型需要考慮到約38階以上，才可以得到比較穩(wěn)定的結(jié)果。

由此可見(jiàn)，由于月球重力場(chǎng)異常，導(dǎo)致了在計(jì)算月球軌道特性時(shí)需要考慮更高階數(shù)。胡小工等指出，LP165月球重力場(chǎng)模型由于沒(méi)有月球背面的觀測(cè)數(shù)據(jù)，得到的20階以上的重力場(chǎng)球諧展開(kāi)系數(shù)可能是不可靠的［7］，但研究表明盡管這些高階球諧系數(shù)不可靠，考慮高階次的重力場(chǎng)對(duì)低軌衛(wèi)星定軌精度的提高仍有幫助［3］。因此本文仍然利用目前常用的LP165模型來(lái)研究環(huán)月衛(wèi)星的軌道特性。

2．1．3 地月衛(wèi)星軌道特性相平面分析比較

以美國(guó)海軍的海洋遙感衛(wèi)星（NROSS）的軌道為例，研究地球凍結(jié)軌道以及非凍結(jié)軌道特性。NROSS采用軌道長(zhǎng)半軸為7 198．65km，傾角為98．697°的凍結(jié)軌道?；谀壳俺Ｓ玫牡厍蛞δＰ蚃GM3，利用式（6），求得的凍結(jié)系數(shù)為：e＝0．001 142 5，ω＝90°。

以下基于數(shù)值法計(jì)算衛(wèi)星軌道的長(zhǎng)期運(yùn)行，計(jì)算模型采用25×25階JGM3、Jacchia-Roberts大氣模型、日-月三體攝動(dòng)、太陽(yáng)光壓等。

圖3、4表示地球衛(wèi)星沿半長(zhǎng)軸7 198．65km，不同偏心率的軌道運(yùn)行一年所示的凍結(jié)系數(shù)相圖。圖中所示的e、ω均為Kozai平根數(shù)，定義ex＝ecosω，ey＝esinω。

圖3 地球衛(wèi)星軌道e-ω 相圖Fig．3 Phase portrait e-ωof earth satellite orbit

圖4 地球衛(wèi)星軌道ex-ey 相圖Fig．4 Phase portrait ex-eyof earth satellite orbit

由計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)：

對(duì)此地球衛(wèi)星來(lái)說(shuō)，按照式（9）求得的凍結(jié)軌道參數(shù)具有良好的凍結(jié)特性。長(zhǎng)期運(yùn)行時(shí)，凍結(jié)軌道的凍結(jié)系數(shù)幾乎完美的凍結(jié)于所求的點(diǎn)。

當(dāng)衛(wèi)星軌道偏心率稍微偏離凍結(jié)偏心率時(shí)，e-ω相圖放大為封閉的近圓曲線；進(jìn)一步偏離凍結(jié)偏心率，e-ω相圖成為一組類(lèi)正弦曲線。對(duì)應(yīng)的ex-ey曲線從點(diǎn)放大為一組同心圓。這些曲線反映了偏心率以及近地點(diǎn)幅角的長(zhǎng)期變化。

基于以上分析思路，考慮應(yīng)用于月球凍結(jié)軌道研究。

以200km 的月球軌道為例，研究月球凍結(jié)軌道特性。月球軌道半長(zhǎng)軸為1 938km，傾角為90°?；贚P165月球引力模型，利用式（9）求得凍結(jié)系數(shù)為：e＝0．019 453，ω＝270°。文獻(xiàn)［2］計(jì)算出的凍結(jié)系數(shù)為：e＝0．022，ω＝270°。

以下基于數(shù)值法計(jì)算月球衛(wèi)星軌道的長(zhǎng)期運(yùn)行，軌道計(jì)算模型采用48×48 階LP165月球重力場(chǎng)模型、日-地三體攝動(dòng)、太陽(yáng)光壓等。

分別取不同的偏心率，計(jì)算2年的軌道，凍結(jié)系數(shù)的相圖如圖5、6所示。

圖5 月球衛(wèi)星軌道e-ω 相圖Fig．5 Phase portrait e-ωof lunar satellite orbit

圖6 月球衛(wèi)星軌道ex-ey 相圖Fig．6 Phase portrait ex-eyof lunar satellite orbit

由相圖可見(jiàn)，利用式（9）求得的凍結(jié)系數(shù)并不能完美凍結(jié)。大量測(cè)試發(fā)現(xiàn)，由于月球重力異常，實(shí)際凍結(jié)系數(shù)在e＝0．011左右，而且無(wú)論怎么調(diào)整偏心率e，都無(wú)法讓近地點(diǎn)幅角完美凍結(jié)在270°附近。在此實(shí)例中，凍結(jié)軌道的近地點(diǎn)幅角在270°±50°范圍漂移。

無(wú)論是基于本文的公式，還是楊維廉的公式，都無(wú)法完美求得月球衛(wèi)星軌道的凍結(jié)系數(shù)。實(shí)際凍結(jié)系數(shù)稍微偏離了計(jì)算值。月球凍結(jié)軌道不具有類(lèi)似于地球凍結(jié)軌道那么良好的凍結(jié)特性，這主要是由于月球重力場(chǎng)異常造成的。

楊維廉指出，月球衛(wèi)星的凍結(jié)軌道并不像地球衛(wèi)星的凍結(jié)軌道那樣理想，但它只有周期性的振蕩沒(méi)有長(zhǎng)期變化，因此工程上并不需要定期進(jìn)行軌道控制［2］。

由相圖可見(jiàn)，月球衛(wèi)星軌道在月球重力場(chǎng)的作用下，軌道參數(shù)還發(fā)生一些羽毛狀的中等周期的波動(dòng)。計(jì)算分析表明，這些波動(dòng)主要是由月球田諧系數(shù)引起的，波動(dòng)周期與月球自轉(zhuǎn)或公轉(zhuǎn)周期相當(dāng)，約為28天。地月相圖的差異表明，月球復(fù)雜重力場(chǎng)的田諧系數(shù)對(duì)月球軌道的影響要比地球重力場(chǎng)的田諧系數(shù)的影響大得多。因此分析月球衛(wèi)星軌道的長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能簡(jiǎn)單地只考慮帶諧系數(shù)的影響而忽略田諧系數(shù)的影響。

相圖分析還表明，月球軌道偏心率呈現(xiàn)一種特殊的模式變化，盡管變化基本封閉，但是這種變化會(huì)造成月球軌道高度不斷變化，對(duì)月球探測(cè)不利。如月球遙感衛(wèi)星希望軌道盡可能是圓軌道。為使凍結(jié)偏心率盡量為零，就需要配合軌道高度和軌道傾角來(lái)選擇，具體方法見(jiàn)文獻(xiàn)［2］。

曹建峰等觀測(cè)到月球引力攝動(dòng)導(dǎo)致偏心率變大，使衛(wèi)星軌道迅速變扁，縮短衛(wèi)星壽命，對(duì)100km／15km軌道階段反應(yīng)更加明顯［3］。這種變化就可以由月球凍結(jié)軌道及非凍結(jié)軌道的偏心率變化相圖來(lái)解釋。

實(shí)際上，月球軌道受月球重力場(chǎng)影響，偏心率周期性地由某一個(gè)極小值逐漸變化到一個(gè)極大值，如此循環(huán)變化。因此在某段時(shí)間內(nèi)近月點(diǎn)高度降低，遠(yuǎn)月點(diǎn)高度升高（如對(duì)100km 的月球軌道來(lái)說(shuō)，甚至可以導(dǎo)致近月點(diǎn)高度在月面以下，撞上月球），對(duì)應(yīng)于衛(wèi)星軌道變扁。

因此通過(guò)選擇合理的半長(zhǎng)軸、軌道傾角以及初始偏心率，可以使近月點(diǎn)高度始終在月面以上，從而使得軌道能夠長(zhǎng)期存在。如為了保證長(zhǎng)期安全在軌運(yùn)行，嫦娥一號(hào)衛(wèi)星選擇了約200km 高度的月球軌道運(yùn)行［8］。而嫦娥二號(hào)衛(wèi)星為了更精確地對(duì)月觀測(cè)采用約100km 的環(huán)月軌道［9］，必須定期進(jìn)行軌道高度控制。

由前面的計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)，地球凍結(jié)軌道的相圖比較完美，而月球由于存在嚴(yán)重的重力場(chǎng)異常，相圖比較復(fù)雜，但也基本符合圖1的規(guī)律。

2．2 高軌月球凍結(jié)軌道

Folta指出，月球衛(wèi)星軌道高度高于750km時(shí)，主要的攝動(dòng)因素將是地球三體攝動(dòng)，分析凍結(jié)參數(shù)時(shí)需要以地球三體攝動(dòng)為主，并給出了當(dāng)ω＝90°，270°時(shí)，對(duì)應(yīng)的凍結(jié)軌道偏心率與軌道傾角（平根數(shù)）的解析關(guān)系［1］

如對(duì)于e＝0．6，ω＝90°，a＝5 000km的月球軌道，求得的軌道傾角i＝51．707°。

采用48×48階LP165月球重力場(chǎng)模型、日-地三體攝動(dòng)、太陽(yáng)光壓等，計(jì)算9年，得到的e-ω相圖如圖7所示。

由相圖7可見(jiàn)，利用公式（10）求得的凍結(jié)軌道運(yùn)行9年的結(jié)果可見(jiàn)，凍結(jié)軌道基本穩(wěn)定。偏心率變化范圍不超過(guò)0．13，近地點(diǎn)幅角變化不超過(guò)21°。因此對(duì)于軌道高度較高的月球衛(wèi)星，采用簡(jiǎn)化的僅考慮地球三體攝動(dòng)的公式（10）可以求得較好的凍結(jié)參數(shù)。

圖7 月球衛(wèi)星軌道e-ω 相圖（高于750km）Fig．7 Phase portrait e-ωof high lunar satellite orbit（above 750km）

2．3 凍結(jié)軌道設(shè)計(jì)方法

凍結(jié)軌道理論算法（式（7）或式（8））的結(jié)果可以作為尋找最優(yōu)凍結(jié)系數(shù)的初始點(diǎn)，結(jié)合數(shù)值仿真以及相圖分析可以尋找到考慮實(shí)際攝動(dòng)因素的最優(yōu)凍結(jié)系數(shù)。利用凍結(jié)軌道理論算法、相圖分析以及數(shù)值仿真方法可以用于設(shè)計(jì)高精度的滿(mǎn)足長(zhǎng)期運(yùn)行要求的凍結(jié)軌道。

3 對(duì)月球重力場(chǎng)探測(cè)的需求分析

基于以上分析可見(jiàn)，由于月球重力場(chǎng)存在較大異常，月球重力場(chǎng)對(duì)繞月衛(wèi)星的影響與地球相比存在很大區(qū)別。前期我國(guó)嫦娥一號(hào)、嫦娥二號(hào)衛(wèi)星的運(yùn)行結(jié)果表明，月球軌道衛(wèi)星的長(zhǎng)期運(yùn)行和控制策略的設(shè)計(jì)與地球軌道衛(wèi)星相比存在較大差別。

盡管基于目前常用的LP165月球重力場(chǎng)模型可以得出很多有用結(jié)論，但對(duì)未來(lái)高精度月球探測(cè)任務(wù)，如月球高精度遙感探測(cè)、高精度月球軌道航天器精密定軌、長(zhǎng)期繞月飛行的月球空間站等特殊任務(wù)來(lái)說(shuō)，需要應(yīng)用更高精度的月球重力場(chǎng)模型，以利于航天系統(tǒng)的任務(wù)分析與設(shè)計(jì)。

日本于2007年9月實(shí)施的月亮女神（SELENE）探月計(jì)劃，主要目標(biāo)是提高月球重力場(chǎng)模型的精度，特別是背面重力場(chǎng)的精度。為此他們特別設(shè)計(jì)了一個(gè)環(huán)月中繼衛(wèi)星，當(dāng)環(huán)月主飛行器飛到月球背面時(shí)，將與環(huán)月中繼衛(wèi)星保持多普勒測(cè)量鏈路的通暢，其對(duì)應(yīng)的觀測(cè)量也從雙程多普勒（地面天線→環(huán)月主飛行器→地面天線）變成了四程多普勒（地面天線→環(huán)月中繼衛(wèi)星→環(huán)月主飛行器→環(huán)月中繼衛(wèi)星→地面天線）。日本的研究人員利用SELENE測(cè)量數(shù)據(jù)以及歷史數(shù)據(jù)解算了最新月球重力場(chǎng)模型SGM90［10-11］。

綜上分析，在我國(guó)未來(lái)的月球探測(cè)任務(wù)中，希望能夠?qū)υ虑蛑亓?chǎng)進(jìn)行高精度測(cè)量，以利于我國(guó)未來(lái)的月球探測(cè)任務(wù)。

4 結(jié)論

本文基于凍結(jié)軌道理論，提出一種結(jié)合理論算法、相圖分析以及數(shù)值仿真的凍結(jié)軌道設(shè)計(jì)方法，分析了月球衛(wèi)星軌道與地球衛(wèi)星軌道的區(qū)別。分析結(jié)果表明，月球重力場(chǎng)異常引起月球衛(wèi)星凍結(jié)軌道發(fā)生較大漂移，在月球軌道設(shè)計(jì)與應(yīng)用時(shí)需要加以考慮。

基于本文的分析結(jié)果可見(jiàn)，月球重力場(chǎng)對(duì)于繞月航天器的軌道運(yùn)行存在較大影響?！版隙稹毙l(wèi)星的軌道表明，盡管目前的月球重力場(chǎng)精度有限，解析分析仍然可以得到一些有用結(jié)果，但未來(lái)我國(guó)的月球探測(cè)任務(wù)中，還需要考慮探測(cè)高精度的月球重力場(chǎng)，以利于未來(lái)我國(guó)的高精度月球探測(cè)等任務(wù)，并使我國(guó)航天事業(yè)在國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)中不落于人后。

（References）

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