王明軍

（渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西渭南 714000）

包含Smarandache LCM函數(shù)的方程的解

王明軍

（渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西渭南 714000）

用分類討論和初等方法完全解決了方程SL（n）=am（n）和SL（n）=φ（n2）的可解性，其中am（n）為n的m次冪剩余數(shù)，φ（n）為歐拉函數(shù)，豐富了數(shù)論函數(shù)SL（n）的性質(zhì)和數(shù)論函數(shù)方程的研究.

Smarandache LCM函數(shù);m次冪剩余數(shù);Euler函數(shù);解

1 引言及結(jié)論

在文獻(xiàn)［1］中，MURTHY A定義了Smarandache LCM函數(shù)SL（n）:對任意正整數(shù)n，函數(shù)SL（n）表示滿足n|［1，2，…，k］的最小正整數(shù)k，［1，2，…，k］表示1，2，…，k的最小公倍數(shù)，同時(shí)證明了如果n是一個(gè)素?cái)?shù)，那么SL（n）=S（n），其中S（n）是Smarandache函數(shù).關(guān)于函數(shù)SL（n）的性質(zhì)，許多學(xué)者都進(jìn)行過研究，并獲得了許多有趣的結(jié)論.文獻(xiàn)［2］中，給出滿足SL（n）=S（n），S（n）≠n的整數(shù)可表示為n=12或者，其中p1，p2，…，pr，p是不同的素?cái)?shù)且文獻(xiàn)［3］研究了SL（n）與Dirichlet除數(shù)函數(shù)的加權(quán)均值問題，得到漸近公式

設(shè)n為任一正整數(shù)，稱am（n）為n的m次冪剩余數(shù)，如果是n的標(biāo)準(zhǔn)分解式，其中pi是素?cái)?shù)且αi≥1，那么文獻(xiàn)［4］討論了方程am（n）=φ（n）的解.

本文的主要目的是利用分類討論和初等方法研究包含Smarandache LCM函數(shù)SL（n）的2個(gè)方程SL（n）=am（n）和SL（n）=φ（n2）的可解性，并給出它們的解，得到下面的定理:

定理1 方程SL（n）=am（n）有且僅有n=1和形如n=pα（1≤α＜m）的解.

定理2 方程SL（n）=φ（n2）的解只有n=1和n=2.

2 定理的證明

下面用分類討論和初等的方法對定理1和2予以證明:

定理1的證明

1）當(dāng)n=1時(shí)，SL（1）=am（1）=1，故n=1是方程SL（n）=am（n）的解.

下面分2種情況討論:

①若k=1時(shí)，此時(shí)n=pα.

當(dāng)α≥m時(shí)，SL（n）=pα，am（n）=pm－1，由于α＞m－1，所以α≥m時(shí)，n=pα不是原方程的解.

當(dāng)1≤α＜m時(shí)，SL（n）=pα，am（n）=pα，所以1≤α＜m時(shí)，n=pα是原方程的解.

由于k＞1時(shí)，SL（n）是一個(gè)素?cái)?shù)的冪，而am（n）中至少包含了2個(gè)素?cái)?shù)的冪的乘積，此時(shí)SL（n）≠am（n），所以不是原方程的解.

綜上所述，方程SL（n）=am（n）有且僅有n=1和形如n=pα（1≤α＜m）的解.

定理2的證明

1）當(dāng)n=1時(shí)，SL（1）=φ（12）=1，故n=1是方程SL（n）=φ（n2）的解.

2）當(dāng)n=2α?xí)r，α≥1時(shí)，SL（n）=2α，φ（n2）=22α－1，由α=2α－1得α=1.故n=2是方程SL（n）= φ（n2）的解.

此時(shí)，SL（n）是一個(gè)素?cái)?shù)的冪，而φ（n2）中至少包含了2個(gè)素?cái)?shù)的冪的乘積，故不是方程SL（n）=φ（n2）的解.

顯然，當(dāng)p1＞2時(shí)，SL（n）為奇數(shù)而φ（n2）為偶數(shù)，所以此時(shí)SL（n）=φ（n2）無解.

完成了定理1和2的證明.

［1］MURTHY A.Some notions on least common multiples［J］.Smarandache Notions Journal，2001，12:307－309.

［2］LE Mao-hua.An equation concerning the Smarandache LCM function［J］.Smarandache Notions Journal，2004，14:186－188.

［3］呂國亮.關(guān)于F.Smarandache LCM函數(shù)與除數(shù)函數(shù)的一個(gè)混合均值［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007，23（3）:315－317.

［4］ZHANG Wen-peng.On the Smarandache m-th power residues:proceeding of Research on Smarandache Problems in Number Theory，Shangluo，March 22－24，2005［C］.USA:Hexis，2005:1－3.

［5］APOSTOL T M.Introduction to Analytic Number Theory［M］.New York:Spring Verlag，1976.

［6］SMARANDACHE F.Only Problems，Not Solutions［M］.Chicago:Xiquan Publ.House，1993.

Solutions of Equation Involving the Smarandache LCM Function

WANG Ming-jun

（Department of Mathematics and Information Science，Weinan Teachers University，Weinan 714000，China）

In our report，the elementary methods and classification discussion were used to solve the solvability of equation SL（n）=am（n）and SL（n）=φ（n2），in which am（n）denoted m-th power residues of n，φ（n）denoted the Euler function，and which enriched the properties of SL（n）and the study of functional equation.

Smarandache LCM function;m-th power residues;Euler function;solutions

O 156.4

A

1004－1729（2012）01－0007－02

2011－06－20

陜西省教育廳科研基金項(xiàng)目（11JK0478）

王明軍（1972－），男，陜西合陽人，渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系講師，碩士.