黃煒

（寶雞職業(yè)技術學院基礎部，陜西寶雞 721013）

Riemann Zeta函數(shù)ζ（2n+1）的2個新的表達式

黃煒

（寶雞職業(yè)技術學院基礎部，陜西寶雞 721013）

主要研究了ζ函數(shù)的表示形式，通過初等及解析的研究方法，給出了關于Riemann Zeta函數(shù)ζ（2n+1）的2個新的表達式.

Riemann Zeta函數(shù);初等及解析方法;級數(shù)和;收斂

1 引言與結論

并加以證明，式中n為自然數(shù)，p為素數(shù).表明當Re（s）＞1時二者的值一致，關于這一問題，不少學者作了研究，文獻［2－8］分別研究了k=3，5和k=4，6，7的特殊情況，文獻［5］獲得了一個一般性的結論，即當s為正偶數(shù)時，有Euler經(jīng)典公式

其中B2n為Bernoulli數(shù).

當s為正奇數(shù)時有Ramanujan公式

其中，n是任意正整數(shù)，αβ=π2，（α＞0，β＞0）.

本文利用初等及解析方法，逐步推出ζ（2n+1）的2個遞推公式，得到了關于Riemann Zeta函數(shù)ζ（2n+1）的2個表示式.

定理 設n是任意正整數(shù)，則

其中，ζ（n）是Riemann Zeta函數(shù)，當n分別取1，2，3時由式（4）有:推論 設k，n是任意正整數(shù)，則

2 2個引理

為了證明定理需要下面的引理:

于是對k+1時命題也成立，因此命題對任何自然數(shù)k都成立.

3 定理的證明

4 幾點注記

1）式（4）及式（5）說明ζ（2n+1）可表示為π2n－1的有理數(shù)倍與2個收斂較快的級數(shù)之和，的確式（4）及式（5）是式（2）的自然類比.

2）根據(jù)文獻［8］，式（4）及式（5）不僅在理論上為研究ζ（2n+1）建立了有價值的2個新的表達式，而且在計算ζ（2n+1）的近似值方面提供了2個新的有用的公式。特別利用MATLAB軟件等高速快捷的計算通道，即可得到需要的近似值.

［1］SRIVASTAVA H M，CHOI J S.Series Associated with The Zeta and Related Functions［M］.London:Kluwer Academic Publishers，2001.

［2］KANEMITSU S，TSUKADA H.Vistas of Special Functions［M］.London:World Scientific，2007.

［3］LI Hai-long，TODA M.Elaboration of some results of Srivastava and Choi［J］.Journal of Analysis and Application，2006（25）: 517－533.

［4］KOSHLYAKOV N S.Investigation of some questions of analytic theory of the rational and quadratic fieldsⅡ（Russian）［J］.Izv.Akad.Nauk SSSR，Ser.Mat.，1954，18:213－260.

［5］LI Hai-long.On generalized Euler constants and an integral related to the Piltz divisor problem［J］.Siaulai Math.Phys.Sem.，2005，8:81－93

［6］張文鵬.關于Riemann zeta-函數(shù)的幾個恒等式［J］.科學通報，1991，36（4）:250－253.

［7］SANKARANARYANAN A.Indian［J］.Pure Appl Math，1987，18:794－800.

［8］高軍.收斂的p-級數(shù)和的進一步估計［J］.數(shù)學通報，1991（11）:36－37.

Two New Formula for the Riemann Zeta-function ζ（2n+1）

HUANG Wei

（Department of Basis，Baoji Vocational and Technical College，Baoji 721013，China）

In this paper，the representations for the ζ-function were studied，and two new formula for Zeta-function ζ（2n+1）were obtained with the methods of the elementary and analytic.

Riemann Zeta function;elementary and analytic methods;sum of series;convergence

O 156.4

A

1004－1729（2012）01－0001－06

2011－07－01

國家自然科學基金資助項目（10671155）;陜西省自然科學基金資助項目（SJ08A22）

黃煒（1961－），男，陜西岐山人，寶雞職業(yè)技術學院基礎部教授，碩士.