張欣儒，劉玉嬋

(1.安徽理工大學(xué)測繪學(xué)院，安徽淮南 232001;2.滁州學(xué)院地理信息與旅游學(xué)院，安徽 滁州 239000)

Knothe時(shí)間函數(shù)及其在地表動(dòng)態(tài)下沉過程中的應(yīng)用*

張欣儒1，劉玉嬋2

(1.安徽理工大學(xué)測繪學(xué)院，安徽淮南 232001;2.滁州學(xué)院地理信息與旅游學(xué)院，安徽 滁州 239000)

基于時(shí)間函數(shù)預(yù)計(jì)地表動(dòng)態(tài)移動(dòng)變形逐漸發(fā)展成了一種趨勢。為此，詳細(xì)介紹了原始Knothe時(shí)間函數(shù)和3種改進(jìn)的Knothe時(shí)間函數(shù)，并討論了這3種Knothe時(shí)間函數(shù)在地表動(dòng)態(tài)下沉過程中的應(yīng)用，最后給出了具體實(shí)例，結(jié)果表明:原始Knothe時(shí)間函數(shù)和3種改進(jìn)的Knothe時(shí)間函數(shù)都有較高的精度，具有實(shí)踐指導(dǎo)意義。

地表動(dòng)態(tài)下沉;Knothe時(shí)間函數(shù);改進(jìn)的Knothe時(shí)間函數(shù);概率積分法

0 引言

地下煤層采出后引起的地表沉陷是一個(gè)時(shí)間和空間的過程[1]，也是一個(gè)由下沉導(dǎo)致地表地下建(構(gòu))筑物損壞的過程。為完善解決建筑物壓煤開采問題，需要預(yù)計(jì)開采過程中任一時(shí)刻，地表移動(dòng)分布規(guī)律、變形值及出現(xiàn)位置，以合理地布置開采工作面，選擇適當(dāng)?shù)拈_采速度，及時(shí)控制建筑物變形[2]。傳統(tǒng)的預(yù)計(jì)都是基于地表移動(dòng)穩(wěn)定后的終止?fàn)顟B(tài)[3]。根據(jù)生產(chǎn)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，預(yù)計(jì)還必須進(jìn)一步研究地表動(dòng)態(tài)下沉的規(guī)律，才能更好地解決問題?；跁r(shí)間函數(shù)預(yù)計(jì)地表動(dòng)態(tài)移動(dòng)變形也逐漸發(fā)展成一種趨勢。Keinhorst，H.(1928)、Kolmogoroff，A.(1931)、Aviershin，S.G.(1940)、Perz，F(xiàn).(1948)、Salustowicz，A.(1951)、Knothe，S.(1953)、Martos，F(xiàn).(1967)、Trojanowski，K.(1972)、Sroka，A and F.Schober(1983)先后提出了不同的時(shí)間函數(shù)來預(yù)計(jì)地表動(dòng)態(tài)移動(dòng)變形[4]。本文主要介紹Knothe時(shí)間函數(shù)、改進(jìn)的Knothe時(shí)間函數(shù)及其在地表動(dòng)態(tài)下沉中的作用。

1 Knothe時(shí)間函數(shù)

1952年波蘭學(xué)者Knothe利用土壓實(shí)的基本假設(shè)進(jìn)行了地表移動(dòng)與變形時(shí)間過程研究，認(rèn)為地表下沉速度dW(t)與地表dt最終下沉值Wk和某一時(shí)刻t的動(dòng)態(tài)下沉值 W(t)之差成比例[5]:

式中:c為巖性時(shí)間系數(shù)。根據(jù)初始時(shí)刻邊界條件t=0，W(0)=0和一階線性微分方程求解可得[6]:

相應(yīng)的Knothe時(shí)間函數(shù)為[7]:

Knothe時(shí)間函數(shù)還可以寫為如下格式[8]，其中 τr為延遲時(shí)間:

2 改進(jìn)的Knothe時(shí)間函數(shù)

自從Knothe時(shí)間函數(shù)提出以后，不少學(xué)者針對(duì)一些實(shí)際情況對(duì)Knothe時(shí)間函數(shù)做了一些改進(jìn)，為了便于論述，根據(jù)改進(jìn)后的形式，本文將它們分別命名為:分段Knothe時(shí)間函數(shù)、冪指數(shù)－Knothe時(shí)間函數(shù)、開爾文蠕變方程－Knothe時(shí)間函數(shù)。

2.1 分段Knothe時(shí)間函數(shù)

地表點(diǎn)下沉的全過程按形成機(jī)理不同可分為兩個(gè)階段:第一階段，下沉速度由零到最大，該階段是地表點(diǎn)受采動(dòng)影響，隨下部巖體彎曲﹑斷裂﹑垮落的過程;第二階段，下沉速度由最大逐漸趨于零，該階段是地表點(diǎn)隨下部巖體從垮落到“裂隙”﹑“離層”閉合和破碎巖體的自然壓實(shí)過程[9]。分段Knothe時(shí)間函數(shù)就是根據(jù)地表點(diǎn)下沉速度的兩個(gè)階段，列出地表分段的速度函數(shù)，再由速度函數(shù)積分得出。分段Knothe時(shí)間函數(shù)的表達(dá)式為:

式中:τ為地表點(diǎn)的下沉速度達(dá)到最大的時(shí)刻;T為下沉總時(shí)間。

2.2 冪指數(shù)－Knothe時(shí)間函數(shù)

針對(duì)Knothe時(shí)間函數(shù)的不完善之處和地表點(diǎn)下沉速度和加速度應(yīng)具有的特征，在原有的Knothe時(shí)間函數(shù)模型式(3)上加一個(gè)冪級(jí) k[10]:

則對(duì)應(yīng)的地表點(diǎn)下沉函數(shù)的形式如下:

在確定參數(shù)c后，參數(shù)k在取得較多測試數(shù)據(jù)的情況下可用最小二乘法進(jìn)行擬合，也可在積累大量實(shí)測資料的基礎(chǔ)上用工程類比的方法確定。

2.3 開爾文蠕變方程－Knothe時(shí)間函數(shù)

文獻(xiàn)[6]中，首先對(duì)式(2)進(jìn)行改寫，其中W0為衰退期結(jié)束之時(shí)地表的最大下沉值，Δw為衰退期結(jié)束之后地表的殘余下沉值:

巖石力學(xué)中開爾文流變模型的蠕變方程為:

式中:ε為初始應(yīng)力;K1為彈性模量;τ為延遲時(shí)間。

針對(duì)Knothe時(shí)間函數(shù)在應(yīng)用時(shí)存在的困難，根據(jù)式(8)，同時(shí)依據(jù)巖石力學(xué)中的開爾文流變模型的蠕變方程，提出如下適用于衰退期及其之后的下沉衰減函數(shù)，即開爾文蠕變方程－Knothe時(shí)間函數(shù)如下式所示:

其中，Δw、a、k三個(gè)參數(shù)是根據(jù)3個(gè)邊界條件或初始條件求得的。

3 Knothe時(shí)間函數(shù)在地表動(dòng)態(tài)下沉過程中的應(yīng)用

一般根據(jù)下沉速度及其對(duì)建筑物的影響程度，將地表點(diǎn)的整個(gè)移動(dòng)過程分為3個(gè)階段:

1)初始期:從地表移動(dòng)開始至下沉速度剛達(dá)到1.67 mm/d時(shí)刻止為初始階段;

2)活躍期:下沉速度大于1.67 mm/d的階段;

3)衰退期:從下沉速度剛小于1.67 mm/d時(shí)起至6個(gè)月內(nèi)地表各點(diǎn)下沉累計(jì)不超過30 mm時(shí)的階段為衰退階段。要分析地表的動(dòng)態(tài)下沉過程就要把握好各個(gè)階段的特征，有針對(duì)的分析。

3.1 原始Knothe時(shí)間函數(shù)在地表動(dòng)態(tài)下沉過程中的應(yīng)用

大量的實(shí)測資料表明，原始的Knothe時(shí)間函數(shù)與實(shí)際的地表沉陷的動(dòng)態(tài)過程不完全符合，原始的Knothe時(shí)間函數(shù)雖能預(yù)計(jì)動(dòng)態(tài)下沉、傾斜、曲率、水平移動(dòng)和水平變形，但卻不能反映地表下沉速度和加速度的變化規(guī)律。

在使用原始的Knothe時(shí)間函數(shù)對(duì)地表動(dòng)態(tài)下沉的全過程進(jìn)行預(yù)計(jì)時(shí)，一般會(huì)結(jié)合概率積分法建立動(dòng)態(tài)地表移動(dòng)和變形計(jì)算方法。有學(xué)者[11]給出了應(yīng)用的相關(guān)例子，結(jié)果表明:該法是可行的，也是可靠的。

3.2 分段Knothe時(shí)間函數(shù)在地表動(dòng)態(tài)下沉過程中的應(yīng)用

對(duì)式(1)求一階、二階可得地表下沉的速度、加速度公式:

由式(12)可知下沉加速度恒小于零，即在地表點(diǎn)下沉整個(gè)過程中，下沉速度一直在減慢，這顯然與實(shí)際情況不符。

現(xiàn)以文獻(xiàn)[9]中的例子對(duì)分段Knothe時(shí)間函數(shù)的應(yīng)用情況進(jìn)行說明?，F(xiàn)僅列出對(duì)21，22號(hào)觀測點(diǎn)的檢驗(yàn)對(duì)比結(jié)果。對(duì)于邢臺(tái)礦區(qū):c=0.045/d，Wk=2 260 mm，單個(gè)點(diǎn)的下沉?xí)r間T=180 d，即τ=90 d。當(dāng)觀測到10 mm下沉量時(shí)，認(rèn)為該點(diǎn)開始下沉，取 t=0。

如圖1所示，在一些實(shí)際應(yīng)用中分段Knothe時(shí)間函數(shù)能較好地預(yù)測出地表動(dòng)態(tài)下沉的全過程，對(duì)于研究地表下沉動(dòng)態(tài)規(guī)律和“三下”采煤實(shí)踐具有參考價(jià)值。

圖1 21，22號(hào)點(diǎn)實(shí)測下沉值與分段Knothe時(shí)間函數(shù)下沉曲線對(duì)比Fig.1 The contrast of measured subsidence values of point 21 and 22 compared with subsection Knothe time function curve

3.3 冪指數(shù)－Knothe時(shí)間函數(shù)在地表動(dòng)態(tài)下沉過程中的應(yīng)用

在應(yīng)用冪指數(shù)－Knothe時(shí)間函數(shù)模型時(shí)參數(shù)c和參數(shù)k的合理選取還需結(jié)合實(shí)際進(jìn)一步研究。目前，可先根據(jù)李德海[12]給出的巖性時(shí)間參數(shù)c的計(jì)算方法求出巖性時(shí)間參數(shù)c，然后根據(jù)工程類比或擬合求出冪級(jí)數(shù)k。

文獻(xiàn)[10]中利用重慶南桐煤礦二井三區(qū)實(shí)測資料進(jìn)行了實(shí)例分析，重慶南桐煤礦二井三區(qū)從1986年到1992年對(duì)地表的下沉量進(jìn)行了觀測，取其沉陷量最大點(diǎn)沉陷的時(shí)間過程的實(shí)測資料與模型進(jìn)行對(duì)比分析。求出c=0.002 7/d，擬合出的k=4.5，并且和原始Knothe時(shí)間函數(shù)進(jìn)行了對(duì)比，如圖2所示。

圖2 實(shí)測與模型曲線對(duì)比Fig.2 Measured value compared with the model curve

由圖2可以看出，冪指數(shù)－Knothe時(shí)間函數(shù)能較準(zhǔn)確地描述地表某一點(diǎn)下沉量隨時(shí)間的變化關(guān)系，而Knothe時(shí)間函數(shù)與實(shí)測相差較大。這說明冪指數(shù)－Knothe時(shí)間函數(shù)在理論上能正確描述地表點(diǎn)沉陷的動(dòng)態(tài)過程，可在實(shí)際中使用。

3.4 開爾文蠕變方程－Knothe時(shí)間函數(shù)在地表動(dòng)態(tài)下沉過程中的應(yīng)用

開爾文蠕變方程－Knothe時(shí)間函數(shù)不適用于地表動(dòng)態(tài)下沉的全過程，只適用于衰退期及其之后的下沉。

當(dāng)衰退期大于180 d時(shí)，參數(shù)的求取按式(13)求取:

當(dāng)衰退期小于180 d時(shí)，參數(shù)的求取按式(14)求取:

取文獻(xiàn)[6]中的例子說明開爾文蠕變方程－Knothe時(shí)間函數(shù)的性能。北宿煤礦七采區(qū)工作面走向長1 500 m，傾向長840 m，七采區(qū)主要開采16上、17煤，煤平均厚度分別為0.92 m和0.98 m，層間距平均13.2 m，煤層傾角平均5°，埋深392 m，巖石力學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，北宿煤礦16上煤和17煤上覆巖層屬于堅(jiān)硬巖層，16上煤層2004年采完，17煤開采結(jié)束時(shí)間為2007年8月。北宿煤礦地表巖移觀測站從1993年2月正式開始觀測，七采區(qū)工作面地表巖移動(dòng)態(tài)時(shí)間分別為tc=192 d，th=314 d，W0=1 535 mm，ts=229 d代入式(13)，求解得a=2.67×105，Δw=2.002 mm，k=0.017，北宿煤礦下沉衰減函數(shù)W(t)=1 535+2.002(1－2.67×105e－0.017t)，t≥506 d。由下沉衰減函數(shù)繪出北宿煤礦下沉衰減函數(shù)曲線，如圖3所示。

圖3 北宿煤礦下沉衰減函數(shù)曲線Fig.3 Beisu coal mine subsidence curves of attenuation function

興隆莊煤礦二采區(qū)主采煤層為3煤，走向長度1 800 m，傾向長度830 m，平均采深243 m，煤層厚度813 m，傾角 2～14°。綜采放頂煤一次采全高，全部垮落法管理頂板。工作面最后結(jié)束時(shí)間為2005年1月，興隆莊煤礦3煤頂板屬于中硬巖層。通過類比開采條件基本相同的相鄰礦井鮑店的地表巖移動(dòng)態(tài)時(shí)間，興隆莊煤礦二采區(qū)地表巖移動(dòng)態(tài)時(shí)間分別為tc=60 d，th=370 d，W0=7 067 mm，ts=120 d。由于ts＜180 d，所以根據(jù)式(14)計(jì)算參數(shù)，a=2.07×109，Δw=0.397 3 mm，k=0.039，W(t)=7 067+0.397 3(1 －2.07 ×109e－0.039t)，t≥430 。由下沉衰減函數(shù)繪出興隆莊煤礦下沉衰減函數(shù)曲線，如圖4所示。

圖4 興隆莊煤礦下沉衰減函數(shù)曲線Fig.4 Xinglongzhuang coal mine subsidence curves of attenuation function

根據(jù)實(shí)測資料顯示，由開爾文蠕變方程－Knothe時(shí)間函數(shù)求出的北宿煤礦、興隆莊煤礦下沉衰減函數(shù)與實(shí)際情況符合。這說明開爾文蠕變方程－Knothe時(shí)間函數(shù)，能有效地描述衰退期及其之后的地表下沉衰減趨勢。

4 結(jié)論

通過實(shí)例驗(yàn)證，原始Knothe時(shí)間函數(shù)、改進(jìn)的Knothe時(shí)間函數(shù)都有自己的應(yīng)用空間，在實(shí)際工程中可根據(jù)實(shí)際情況選擇自己需要的時(shí)間函數(shù):

1)在不考慮地表點(diǎn)動(dòng)態(tài)下沉速度和加速度的變化規(guī)律，只是預(yù)計(jì)地表點(diǎn)動(dòng)態(tài)下沉量時(shí)，可以選擇原始Knothe時(shí)間函數(shù)與概率積分法結(jié)合的方法。

2)在考慮地表點(diǎn)動(dòng)態(tài)下沉速度和加速度的變化規(guī)律時(shí)，并要求較好的預(yù)計(jì)地表點(diǎn)動(dòng)態(tài)下沉量、傾斜、曲率等，可以結(jié)合實(shí)際情況，選擇分段Knothe時(shí)間函數(shù)或冪指數(shù)－Knothe時(shí)間函數(shù)，如果實(shí)測資料充足的話可以兩種時(shí)間函數(shù)同時(shí)運(yùn)用，然后進(jìn)行比較，最終選取精度較高的方法。

3)在對(duì)塌陷區(qū)進(jìn)行評(píng)估時(shí)，需要考慮衰退期及其之后的地表下沉規(guī)律，選擇開爾文蠕變方程－Knothe時(shí)間函數(shù)，可以在這一階段得到較好的預(yù)計(jì)結(jié)果。

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Knothe Time Functions and Their Application in Dynamic Subsidence on the Ground

ZHANG Xin-ru1，LIU Yu-chan2
(1.School of Geodesy and Geomatics，Anhui University of Science and Technology，Huainan Anhui 232001，China;2.Geographic Information and Tourism College，Chuzhou University，Chuzhou Anhui 239000，China)

Prediction of earth＇s surface movement based on time functions gradually developed into a trend.This paper describes the original Knothe time funetion and three kinds of improved Knothe time funetions and introduces the application of those in dynamic subsidence on the ground.An example is given in the end of the paper，the results show that the original Knothe time funetion and three kinds of improved Knothe time funetions all have higher accuracy and practical meaning.

dynamic subsidence on the ground;Knothe time function;improved Knothe time function;probabilityintegral method

TD 325

A

1007－9394(2012)03－0014－03

2012－05－09

張欣儒(1986～)，男，安徽天長人，碩士研究生，現(xiàn)主要從事開采沉陷規(guī)律、GPS測量與數(shù)據(jù)處理方面的研究工作。