卓馮駿 花修坤 李成金

（蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

關(guān)于兩個(gè)導(dǎo)體球間的電容問題

卓馮駿 花修坤 李成金

（蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

本文利用鏡像法，計(jì)算了兩相互接觸的帶電導(dǎo)體球的電容.接著再用鏡像法計(jì)算兩相距一定距離的具有相同半徑的導(dǎo)體球間的電容，且其極限情況與已知結(jié)果相同.然后用Matlab對結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值分析.

鏡像法；導(dǎo)體球；電容

1 兩個(gè)相互接觸的孤立帶電導(dǎo)體球的電容

兩個(gè)相距一定距離的帶電導(dǎo)體球之間電容的計(jì)算是個(gè)基本問題，但在普通物理電磁學(xué)中卻鮮見.在《費(fèi)恩曼物理講義》（第 二 卷）［1］中用鏡像法解決了帶電導(dǎo)體球與球外一點(diǎn)電荷之間的電場和電勢分布問題.如圖1所示，半徑為a的接地導(dǎo)體電勢由點(diǎn)電荷q及其在球內(nèi)的像電荷q′共同產(chǎn)生，其中像電荷q′的大小及距球心的位置分別為

圖1

如果導(dǎo)體球電勢不為零，情況會(huì)發(fā)生變化.假設(shè)導(dǎo)體球原來不帶電且絕緣，現(xiàn)將一個(gè)正的點(diǎn)電荷置于其附近.同前面一樣通過用像電荷q′，且除此之外在球心再加上一個(gè)電荷q″而找到解.當(dāng)選?。簳r(shí)，不僅使球保持了電中性，又保證了球面等勢，在球外每一處的場就由q，q′與q″的場疊加而成.

現(xiàn)在我們考慮兩個(gè)相接觸的孤立帶電導(dǎo)體球的電容問題.

文獻(xiàn)［2］利用鏡像法、差分法對兩個(gè)接觸球孤立帶電導(dǎo)體的電容進(jìn)行了計(jì)算，這里我們用一般的數(shù)列和級數(shù)求解.

如圖2所示，兩個(gè)半徑為R的導(dǎo)體球相互接觸，總電荷為Q.靜電平衡后兩導(dǎo)體球等勢，設(shè)其電勢為U.

圖2

為了使各球面等勢，我們在O1，O2處分別放置鏡像電荷q1，且q1滿足

但此時(shí)O2球內(nèi)的q1破壞了O1球的等勢條件，同時(shí)O1球內(nèi)的q1也破壞了O2球的等勢條件，為了消除兩者之間的影響，我們先在O1球內(nèi)距球心b2放置一鏡像電荷q2，以消除O2球內(nèi)的q1對O1球表面等勢的影響，由第一部分的結(jié)論我們可以知道q2，b2滿足關(guān)系

同理需在O2球內(nèi)距球心b2位置放置相同鏡像電荷q2，但是，兩球內(nèi)的q2同時(shí)又破壞了對方的等勢條件，因此，我們需分別在距兩球心b3處放置鏡像電荷q3消除其影響，再引用第一部分的結(jié)論可知

如此反復(fù)做下去，分別放置電荷q4，q5，…，qn滿足

由上兩式可得

解此數(shù)列得

最終得到qn的通式

為了使兩導(dǎo)體球所帶總電荷保持不變，所加鏡像電荷總和應(yīng)等于初始總電荷，即有關(guān)系

故

2 兩個(gè)分離導(dǎo)體球間電容

在文獻(xiàn)［4～6］中運(yùn)用鏡像法計(jì)算并討論了兩導(dǎo)體球間的相互作用力問題，在這里我們使用上述的方法求解兩導(dǎo)體球間的電容.如圖3，兩半徑為R的導(dǎo)體球O1，O2相距為b，設(shè)分別帶有電荷＋Q，－Q，由對稱性分析可知它們的對稱面 MN為等勢面，兩球與MN面的電勢差大小相等，不妨設(shè)兩球電勢分別為＋U，－U.分別在O1，O2處置電荷q1，，滿足

圖 3

在距O1點(diǎn)b2處放置電荷q2，消除對O1球電勢的影響，有

同時(shí)再在距O2點(diǎn)b2處放置電荷，消除q1對O2球電勢的影響，有

同理在距O1點(diǎn)b3處放置電荷q3，消除對O1球電勢的影響，在其對稱位置上放置電荷，滿足

如此反復(fù)做下去，分別放置電荷q4，q5，…，qn，滿足

同第一部分的方法可得（具體步驟見附錄）：

其中

對qn求和并代入q1得

兩球電勢差為2U，根據(jù)電容定義得

式（8）即為所求電容的解析表達(dá)式.

3 對結(jié)論的論證與分析

在極限情況（即b?R）下應(yīng)用電磁學(xué)的方法求出兩導(dǎo)體球間電容，與式（8）取極限得到的結(jié)果進(jìn)行對比.

由于b?R，可忽略兩球的相互影響，利用電勢疊加原理得兩球的電勢分別為

依電容定義得

最后我們使用Matlab7.X數(shù)學(xué)軟件對式（8）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并繪制出C（R，b）與t的關(guān)系圖.

定量結(jié)果如表1.

由表1可以看出，隨著t值的不斷增加，y逐漸接近于1，且曲線逐漸平緩.

表1 y－t取值表

圖4為 Matlab7.X所作的t－y圖像，從圖像中可以得到與定量分析相同的結(jié)果.

圖 4

4 結(jié)束語

正如文獻(xiàn)［3］中提到的：電容器的電容與兩導(dǎo)體的尺寸、形狀和相對位置有關(guān)，與所帶電量和電勢差無關(guān).從上述分析可以看出，當(dāng)b不斷增大時(shí)，兩導(dǎo)體球的電容逐漸減小，最終趨向于穩(wěn)定值.本文應(yīng)用鏡像法這一直觀的物理方法，給出了兩半徑相等導(dǎo)體球電容的解析表達(dá)式.對于半徑不同導(dǎo)體球間的電容可按照類似的方法同樣求解對應(yīng)的數(shù)列，但是最終得到的結(jié)果不是解析解.當(dāng)然，求解此問題的方法還有很多，比如利用雙球面坐標(biāo)系計(jì)算［7］.

［1］ R.P.Feynman.費(fèi)恩曼物理學(xué)講義（第二卷）［M］.鄭永令，華宏鳴，吳子儀等譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2005.77－78

［2］ 童國平.兩個(gè)接觸球孤立帶電導(dǎo)體［J］.浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1989，（2）

［3］ 趙凱華.電磁學(xué)（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，1985.154～156

［4］ 鄭煥武.兩帶電導(dǎo)體球外的電勢分布和相互作用力問題［J］.西昌學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，（4）

［5］ 歐紅葉，胡先權(quán).兩個(gè)帶電導(dǎo)體球之間相互作用力的計(jì)算［J］.重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003，（2）

［6］ 丁銳猛，陳乃強(qiáng).關(guān)于兩個(gè)帶電導(dǎo)體球相互作用問題力的討論［J］.大學(xué)物理，1985，（4）

［7］ 趙先林，李金銘.關(guān)于兩個(gè)帶電導(dǎo)體球相互作用力問題的討論［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2000，（4）

附錄

（6）/（5）得

將（附－2）代入式（5）得

設(shè)其滿足

其中α，β為待定常系數(shù)，化簡得

由待定系數(shù)法得到α，β滿足

解（附－6）得

另有一組解為

（附－5）式的解可表示為

其中

將（附－8）式左右都除以αn得

對于α1，若成立，可得到：b＞2R，顯然成立.

對于α2，若成立，可得到：b＜2R，舍去，最終滿足要求的解為

式（附－9）化為

因帶正電導(dǎo)體球的總電荷保持初始值不變，故有

代入μ和q1進(jìn)一步化簡得到

CAPACITANCE PROBLEM BETWEEN TWO CONDUCTING SPHERES

Zhuo Fengjun Hua Xiukun Li Chengjin
（School of Physics and Technology，Soochow University，Suzhou，Jiangsu 215006）

In this paper，by the image method，we calculated the capacitance between two contacting conducting spheres with the same radius，and the capacitance between two separated conducting spheres with same radius，equal charge but opposite signs.Its limited situation is the same as the known result.The results were analyzed with Matlab.

image method；conducting sphere；capacitance

2011－11－21）

卓馮駿（1991年出生），江蘇淮安人，現(xiàn)就讀于蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2009級.