胡曉曉， 謝觀湧

(溫州醫(yī)學(xué)院信息與工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

冷貯備系統(tǒng)多被應(yīng)用在工業(yè)上，已有許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行研究［1］．本文通過(guò)證明系統(tǒng)算子可以生成正壓縮C0半群，得到T(t)是擬緊算子，并進(jìn)一步指出系統(tǒng)算子的豫解集是右半平面和虛軸上除0點(diǎn)以外的所有點(diǎn)．由此推出:該系統(tǒng)的時(shí)間依賴解，當(dāng)時(shí)間趨向于無(wú)窮時(shí)，以指數(shù)形式收斂于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解．

由文獻(xiàn)［1］得到的系統(tǒng)可以由以下方程組描述:

式(1)中:(x，t)∈［0，∞］×［0，∞);p0(t)表示一個(gè)部件在工作，另一個(gè)部件在t時(shí)刻冷貯備的概率;p1(x，t)dx表示在(x，x+dx)內(nèi)一個(gè)部件工作，另一個(gè)部件在維修的概率;p2(x，t)dx表示在(x，x+dx)內(nèi)一個(gè)部件在維修，另一個(gè)部件在等待維修的概率;λ表示部件的故障率;μ(x)是風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，且滿足

取狀態(tài)空間

顯然，X是Banach空間．記

同時(shí)引進(jìn)算子A，B，E及其相應(yīng)的定義域．

這樣，方程組(1)可改寫(xiě)為Banach空間X中的抽象Cauchy問(wèn)題

定理1 A+B+E生成正壓縮C0半群T(t)．

因?yàn)镋是緊算子，因此可由文獻(xiàn)［2］中的命題2．9推出以下結(jié)論:

定理2 A+B生成正壓縮C0半群S(t)．

本文首先證明S(t)是擬緊算子;其次，由E的緊性得到T(t)是緊算子;然后，證明0是算子A+B+E和其共軛算子(A+B+E)*幾何重?cái)?shù)和代數(shù)重?cái)?shù)為1的特征值;最后，利用文獻(xiàn)［2］中的定理5得到本文結(jié)論．

命題1 若p(x，t)=(S(t)φ)(x)是以下方程的解:

則

證明 因?yàn)閜(x)是方程(3)的解，所以

由式(4)和式(9)得

若 ξ≥0(即 x≥t)，則對(duì)式(10)由 0 到 t積分，且由 Q1(0)=p1(ξ，0)=φ1(x－ t)，Q2(0)=p2(ξ，0)=φ2(x－t)知，方程(10)的解類(lèi)似于式(11)～式(13)，于是

命題1證畢．

現(xiàn)在定義以下2個(gè)算子(p∈X):

則S(t)p=V(t)p+W(t)p．

由引理1和文獻(xiàn)［4］可以得到以下結(jié)論:

引理2 X中的有界閉子集M是緊的，當(dāng)且僅當(dāng)以下2個(gè)條件成立:

證明 與文獻(xiàn)［5］中的證明類(lèi)似，故略．

證明

定理4證畢．

由定理3和定理4可以推出

結(jié)合文獻(xiàn)［2］中的定義2．7可以得到以下結(jié)論:

定理5 S(t)是X的擬緊算子．

因?yàn)镋是X上的緊算子，所以由定理5和文獻(xiàn)［2］中的命題2．9可以得到以下結(jié)論:

推論1 T(t)是X的擬緊算子．

引理3 0是A+B+E的幾何重?cái)?shù)為1的特征值．

證明 與文獻(xiàn)［6］的方法類(lèi)似，故略．

易證X的共軛空間X*為

引理4 A+B+E的共軛算子(A+B+E)*為

其中:

證明 與文獻(xiàn)［6］的方法類(lèi)似，故略．

引理5 0是(A+B+E)*的幾何重?cái)?shù)為1的特征值．

證明 與文獻(xiàn)［6］的方法類(lèi)似，故略．

由文獻(xiàn)［6］的結(jié)論可得以下引理6、引理7．

引理6 0是A+B+E的代數(shù)重?cái)?shù)為1的特征值．

引理7 0是(A+B+E)*的代數(shù)重?cái)?shù)為1的特征值．

結(jié)合引理 3、定理1、推論1 及文獻(xiàn)［2］中的命題2．9、定理 2．10，得

證明 利用定理5及文獻(xiàn)［2］中的定理2．10可得

因此，系統(tǒng)解的指數(shù)漸近穩(wěn)定性就得到證明．

［1］曹晉華，程侃．可靠性數(shù)學(xué)引論［M］．北京:高等教育出版社，2006:273-278．

［2］Nagel R．One-parameter semigroups of positive operators［M］．New York:Spring-Verlag，1986．

［3］Webb G F．Theory of non-linear age-dependent population dynamics［M］．New York:Marcel Dekker，1985．

［4］艾尼·吾甫爾．一類(lèi)Banach空間中列緊集的描述［J］．新疆大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005，22(4):389-392．

［5］Gupur G，Li Xuezhi，Zhu Guangtian．Functional analysis method in queueing theory［M］．Hertfordshire:Research Information Ltd，2001．

［6］Shen Zifei，Hu Xiaoxiao，F(xiàn)an Weifeng．Exponential asymptotic property of a parallel repairable system with warm standby under common-cause failure［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2008，341(1):457-466．