王啟光 封國林 鄭志海 支蓉 丑紀范

1 蘭州大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院，蘭州 730000

2 國家氣候中心氣候研究開放實驗室，北京 100081

基于Lorenz系統(tǒng)提取數(shù)值模式可預(yù)報分量的初步試驗

王啟光1封國林2鄭志海2支蓉2丑紀范1

1 蘭州大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院，蘭州 730000

2 國家氣候中心氣候研究開放實驗室，北京 100081

針對數(shù)值預(yù)報模式中存在的非線性混沌特性，從提取可預(yù)報分量的思路出發(fā)，闡述了在數(shù)值模式中提取可預(yù)報分量的方法，并利用Lorenz系統(tǒng)進行了相關(guān)數(shù)值試驗。研究發(fā)現(xiàn)，Lorenz系統(tǒng)初始誤差在相空間中的增長速度是不同的，某些方向的誤差增長速度較慢，即存在對初值擾動不敏感、相對穩(wěn)定的可預(yù)報分量。根據(jù)數(shù)值模式切線性誤差算子的特征值演化規(guī)律，提取出數(shù)值模式的可預(yù)報分量，并將模式變量在其基底上進行投影變換，建立了可預(yù)報分量數(shù)值模式。在此基礎(chǔ)上，研究了Lorenz系統(tǒng)的混沌狀態(tài)、模式參數(shù)誤差及外部隨機噪聲對提取可預(yù)報分量的影響，發(fā)現(xiàn)基于可預(yù)報分量的數(shù)值模式，具有更好的預(yù)報技巧。

數(shù)值預(yù)報 可預(yù)報分量 奇異值分解 Lorenz系統(tǒng)

1 引言

大氣是一個復(fù)雜的外有強迫、內(nèi)有耗散的非線性巨系統(tǒng)，在太陽、海洋、陸地等外強迫因素的作用下，其內(nèi)部發(fā)生一系列物理化學(xué)變化及相互作用，這為天氣氣候預(yù)測帶來很大困難。早在1963年，Lorenz（1963）發(fā)現(xiàn)大氣和其他不穩(wěn)定動力系統(tǒng)類似，其可預(yù)報時效是有限的，他從流體的運動方程出發(fā)，通過簡化方程獲得了具有三個自由度的系統(tǒng)，并在計算機上用他所建立的微分方程模擬氣候變化，意外地發(fā)現(xiàn)初始條件的極微小差別卻可以引起模擬結(jié)果的巨大變化，這說明天氣過程以及描述它們的非線性方程是如此的不穩(wěn)定?；诖说难芯抗ぷ?（Lorenz，1969，1982；Chou，1989；Ding and Li，2007；李建平和丁瑞強，2008；丁瑞強和李建平，2009）表明，逐日天氣可預(yù)報時效的理論上限一般為2周，超過這個理論上限的天氣預(yù)報被認為毫無準確率可言。然而，觀測和動力理論研究均表明，即使在更長的時間尺度內(nèi)，天氣過程中仍然客觀存在可預(yù)報的分量。例如，行星尺度的大氣活動中心，其特征時間尺度往往比天氣尺度更長；Chao et al.（1982）通過研究大氣的非絕熱耗散，發(fā)現(xiàn)了比Rossby波移動更慢的非絕熱波，并認為它代表了半永久的活動中心，是長期數(shù)值天氣預(yù)報的預(yù)報對象；基于MJO季節(jié)內(nèi)振蕩的熱帶高空環(huán)流場的預(yù)報時效可達30天 （李崇銀等，2003；祝從文等，2004；陳光華和黃榮輝，2009；韓榮青等，2010；Ding et al.，2010，2011）。但數(shù)值預(yù)報模式與此相關(guān)的模擬預(yù)報能力還存在嚴重不足。一方面，隨著觀測技術(shù)的不斷變革，觀測資料日益豐富，加之資料同化、集合預(yù)報等方法的有效運用，使得模式的初始條件得到良好的改善。同時，數(shù)值預(yù)報模式中物理參數(shù)化方案的改進，計算機計算能力的提高等，從而使模式對實際大氣行為的刻畫更為具體，分辨率更高，這些對逐日數(shù)值天氣預(yù)報的發(fā)展和水平的提高都做出卓有成效的貢獻。另一方面，人們對中期和長期天氣過程發(fā)生、發(fā)展的認識還很不充分，由于該過程是一個大氣初值信息不斷衰減，外部強迫影響逐步增強的過程，存在可預(yù)報源信息量不足的問題 （丑紀范，1974，1983；王鵬飛等，2009）。而且現(xiàn)有的數(shù)值模式和資料相對于大氣的真實狀態(tài)而言仍然十分粗糙，加之模式變量間的非線性相互作用以及計算誤差等客觀因素的影響 （莊照榮等，2010；李志強和俞永強，2011），致使利用數(shù)值預(yù)報模式進行長期天氣預(yù)報仍存在很大困難。

當前，對較長時段的延伸期天氣預(yù)報研究主要以統(tǒng)計手段為主，但這沒有充分利用已掌握的物理規(guī)律，無法區(qū)分統(tǒng)計規(guī)律是本質(zhì)的還是偶然的。在數(shù)值模式預(yù)報方面，由于初值和模式的不準確，使得預(yù)報誤差在描述大氣運動的非線性模式中不可避免地快速增長，數(shù)值延伸期預(yù)報的效果幾近于隨機情況。針對以上問題，丑紀范等 （2010）提出了提取數(shù)值模式中可預(yù)報分量的理論，將數(shù)值模式的狀態(tài)變量分為可預(yù)報的穩(wěn)定分量和不可預(yù)報的混沌分量，在預(yù)報過程中需要有針對性地采取不同的預(yù)報方案和策略。這有別于傳統(tǒng)集合預(yù)報中尋找初始擾動發(fā)展最快方向的思路 （Ehrendorfer and Tribbia，1997；穆穆等，2007），只需對初始擾動不敏感的分量利用數(shù)值模式進行確定性預(yù)報，其余部分建議用歷史資料給出概率分布，為改善數(shù)值模式的預(yù)報質(zhì)量提供了一個全新的方向。鄭志海 （2010）通過EOF分解壓縮自由度的方法，在歷史時空資料中分離出在實際大氣和數(shù)值模式中均具有較強可預(yù)報性的分量，并利用歷史資料信息對可預(yù)報分量進行相似誤差訂正，繼而采取集合預(yù)報的方法，較好地提高了6～15天中長期數(shù)值預(yù)報技巧。但如何直接在數(shù)值模式中定量得到誤差增長緩慢的基底，從而實現(xiàn)可預(yù)報分量提取的工作仍需進一步研究。

研究一種數(shù)值預(yù)報方法的有效性時，往往先從簡單模式出發(fā) （穆穆和段晚鎖，2003；Feng and Dong，2003；任宏利，2006）。已有研究表明，三維Lorenz系統(tǒng)可以在某種程度上代表實際大氣的一些特征（Anderson，1997），該模式已被廣泛地應(yīng)用于各種理論和方法研究中 （Gauthier，1992；封國林等，2009）。因此，本文選用Lorenz系統(tǒng)研究數(shù)值模式中可預(yù)報分量的提取過程，建立基于可預(yù)報分量的數(shù)值模式，探討了初值擾動、系統(tǒng)混沌狀態(tài)、模式誤差和隨機噪聲對可預(yù)報分量模式的影響。

2 原理方法與模式介紹

2.1 提取可預(yù)報分量理論及方法

數(shù)值天氣預(yù)報的本質(zhì)是通過大氣在一個時刻觀測值求解刻畫大氣內(nèi)部物理過程的動力學(xué)方程，從而由已知的初始時刻的大氣狀態(tài)預(yù)報未來時刻的大氣狀態(tài)。大氣數(shù)值預(yù)報模式可以簡化表示為：

其中，φ（x，t）為模式預(yù)報變量，x和t分別表示空間坐標和時間，H是φ的微分算子，對應(yīng)于實際的數(shù)值模式。t0為初始時刻，φ0為初值。將 （1）式離散化后，可以得到一個非線性模式的解，它只依賴于初始條件：φT＝K（φ0），其中φ0∈Rn為初始時刻t0的近似真實的觀測場，φT∈Rn為T時刻的預(yù)報場，K是數(shù)值模式根據(jù)初始條件到T時刻的積分。如果在初始場上加一個小擾動φ′0，則在時刻T有一個預(yù)報增量η，它們之間的非線性關(guān)系可表示為：

如果預(yù)報增量η對初始擾動φ′0不敏感，即滿足O（η）～O（φ′0），則表明在時刻T，動力學(xué)方程對初值不敏感，是可預(yù)報的，反之則是不可預(yù)報的。當φ′0很小時，即‖φ′0‖?‖φ0‖，那么根據(jù) （2）式可得到預(yù)報增量與初始擾動的近似切線性關(guān)系：

其中，Lφ0，T為線性算子，它依賴于初始場φ0和預(yù)報時刻T，Rn空間的線性算子Lφ0，T即為一矩陣。它和傳統(tǒng)的切線性模式不同，不再需要將數(shù)值模式演變的軌跡在每個時間間隔內(nèi)都切線性化，而是將預(yù)報過程看成一個非線性映射K：Rn→Rn，不再考慮積分過程中的演變，認為預(yù)報誤差增量是由于初始小擾動由非線性映射而來，Lφ0，T是對非線性映射的切線性化。由奇異值分解理論可知 （張永領(lǐng)等，2006），對任意向量L，存在兩個正交矩陣U和V，

其中，

Λ是L的特征值 （λ1≤λ2≤…λn）組成的對角矩陣，U和V分別是L左、右特征向量組成的矩陣。每列ui、vi是Rn空間的一個向量，全體構(gòu)成一組標準正交基，任一向量φ0（或φT）可按此基展開，一般稱（u1，u2，…，un）為演化特征向量，（v1，v2…，vn）為初始特征向量。可以證明，對于特征值 （λ1≤λ2≤…λn），λp為 （1，2，…，p＜n）初始誤差前p個分量的最大放大倍數(shù)，如果λp小于某個閾值，則可認為前p個分量對初值誤差不敏感，是可以預(yù)報的，剩下的n－p個分量不可預(yù)報。

為確定前p個可預(yù)報分量，可以利用式（4）將切線性誤差算子進行分解，根據(jù)誤差增長情況取特征值λi較小時所對應(yīng)的誤差增長方向進行模式積分預(yù)報，而對于λi超過某一閾值對應(yīng)的分量方向先行濾除，即可得到前p個可預(yù)報分量。對非線性數(shù)值預(yù)報模式而言，求解其切線性誤差算子可以假設(shè)其非線性解為 （Kalnay，2005），

其中，K為模式根據(jù)初始時刻t0到t時刻的積分，可以在基本模式積分x（t）上加一個小擾動x′（t），則有

式 （6）中的x′（t）可以用和式 （5）同樣的差分格式通過時間積分得到，當擾動較小時，此處可以看成，

其中，誤差算子L（t0，t）＝?K／?x將初始時刻t0的擾動映射為t時的最終擾動。若忽略到擾動項中的二次項和更高階項，

因此沿著n個單位向量x′i（t0）＝εei建立一個大小為ε的小擾動球作為初始擾動，以式 （8）進行計算，通過該方法選擇初始擾動后，減去式 （5）即可得到線性誤差算子矩陣。

2.2 Lorenz系統(tǒng)

Lorenz系統(tǒng)一般形式為：

考慮到物理背景，一般取δ＝10.0，b＝8／3，0＜r＜∞，令系統(tǒng)（9）左端為零，得到Lorenz系統(tǒng)的三個定常解 （王啟光等，2008）：

當r＞24.74時，在整個相空間內(nèi)不存在任何穩(wěn)定的平衡態(tài)，這就是所謂的混沌狀態(tài)。該狀態(tài)仍然存在著一定的時空結(jié)構(gòu)，即存在不同尺度的準周期特征。Lorenz系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時具有初值敏感性、短期可預(yù)測性，長期不可預(yù)測性以及相空間遍歷性。由于混沌系統(tǒng)對初值極其敏感，隨著時間的演化，初值的微小差異會逐漸被放大，直至引起系統(tǒng)未來狀態(tài)的顯著不同，甚至得到完全相反的結(jié)果。

2.3 預(yù)報效果的檢驗統(tǒng)計量

對于Lorenz模式數(shù)值試驗的預(yù)報結(jié)果檢驗有別于復(fù)雜數(shù)值預(yù)報模式的檢驗，后者主要關(guān)注預(yù)報誤差場在空間型預(yù)報技巧的提高，而Lorenz模式的預(yù)報檢驗應(yīng)更著重于預(yù)報的有效時間長度，當兩個平衡態(tài)之間的轉(zhuǎn)換報錯了，預(yù)報誤差就會突然增大到無技巧的狀態(tài)，所以本文對Lorenz系統(tǒng)采用如下定義的相對預(yù)報誤差 （任宏利，2006），

其中，T為預(yù)報時間，F(xiàn)代表預(yù)報，R代表實況。由大量的預(yù)報試驗發(fā)現(xiàn)，當R（T）超過1.0時，預(yù)報就已經(jīng)失效了，所以將此時對應(yīng)的時間作為預(yù)報臨界時間TC，到達該時刻后預(yù)報將失去意義。

3 誤差增長及其算子特征值演化規(guī)律

本節(jié)選取Lorenz系統(tǒng)參數(shù)值為δ＝10.0，b＝8／3，r＝28.0，由于該系統(tǒng)對于z軸具有對稱性，同時根據(jù)初值與不穩(wěn)定平衡態(tài)的遠近程度，分別選取初值 （1.0，－1.0，6.0）、（7.0，7.0，25.0）、（9.0，9.0，27.0）進行積分數(shù)值試驗，簡記 為INI1、INI2、INI3。運用數(shù)值計算的方法，采用積分步長為0.01，積分30個時間單位，得到樣本量為3000的三維時間序列，一般可認為1個時間單位對應(yīng)實際大氣演化過程中的5天，即每20步積分相當于1天 （任宏利，2006）。為研究Lorenz系統(tǒng)誤差增長情況，首先分別對三個不同初值的三個方向添加ε≤0.01的球形擾動作為初始誤差集，初值擾動點的個數(shù)為20000個，得到的初值誤差演化如圖1所示。

圖1中展示了模式初始狀態(tài)、模式演化10步、模式演化1000步、模式演化2000步四個不同的狀態(tài)。圖1a、e、i分別代表INI1、INI2、INI3條件下，添加球形隨機擾動時，模式初始誤差場在相空間中的分布。初始時刻，相空間中的模式誤差限制在初值點周圍半徑為0.01的球形區(qū)域范圍內(nèi)。從圖1可以發(fā)現(xiàn)，在同一個初值條件下，隨著積分時間的增加，初始的微小誤差在不同方向增長速度明顯不同，誤差場擾動球的形狀逐漸由球形變?yōu)闄E球，有的方向誤差快速增長，誤差范圍逐步擴大，而另外一些方向誤差緩慢增長甚至收縮，隨積分時間的進一步增加，誤差在相空間中的結(jié)構(gòu)變?yōu)閺澢木€狀，并最終擴散到整個相空間的吸引子上。例如當初值為INI1時，積分時間到第10步 （圖1b），誤差在x－y平面投影變?yōu)殚L橢圓，值域的范圍約為0.08，在x－y平面的對角線方向誤差明顯變大，而在x－z和y－z平面上的投影仍是圓形，值域范圍基本保持初始狀態(tài)0.02不變；當積分步長達到1000時 （圖1c），誤差在x－y、x－z、y－z三平面投影范圍分別約為1.5、3、4，比初值誤差范圍都增大了數(shù)百倍，可以推斷，此時模式變量的演化曲線將發(fā)生明顯的分離，模式變量將變的不可預(yù)報；當積分步長為2000時 （圖1d），最大相差0.02的初值誤差場，已經(jīng)遍布整個相空間吸引子中，起始時刻的球形擾動誤差已變?yōu)榈湫偷?“蝴蝶”形狀，誤差值域范圍比初始狀態(tài)擴大了數(shù)千倍。圖1還表明，相同值域范圍的初始擾動在不同的初值條件下，其誤差發(fā)展速度明顯也是不同的，例如，初值為INI3，積分10步時在各個平面投影的值域范圍基本維持在0.02（圖1j），在x－y和x－z平面中投影變?yōu)闄E圓；當積分步長為1000時 （圖1k），誤差在x－y、x－z、y－z平面投影范圍分別約為0.04，0.06，0.06，比初始誤差值僅增長了幾倍，可以推斷，此時模式變量的演化曲線基本還是相吻合的，模式的可預(yù)報性仍然存在；當積分步長為2000步時，相空間中誤差場形狀變?yōu)殚L橢球狀 （圖1l），因此誤差在某些方向增長仍然較小，模式仍存在一定的可預(yù)報性。初值為INI2時，誤差增長的速度在各方向也是不同的，在相同演化步長時，其誤差增長比INI3條件下快，而比INI1慢 （圖1eh）。比較三初值條件下誤差演化的情況，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值模式的預(yù)報過程中，客觀存在誤差增長相對緩慢的可預(yù)報分量。研究結(jié)果還表明模式誤差的發(fā)展速度和初值所處相空間中的位置直接有關(guān)，這同已有的研究結(jié)論是吻合的 （Zou et al.，2006）。

為研究隨機擾動量級對誤差演化的影響，將上面的擾動范圍增大10倍，即ε≤0.1，在INI2條件下誤差演化結(jié)果如圖2（見文后彩圖）所示。比較圖2a－d和圖1e－h(huán)，雖然初值擾動的量級明顯增大，但相空間中誤差的演化仍然呈現(xiàn)某些方向增長快，而另外一些方向增長慢的狀態(tài)，并且誤差增長方向和速度基本與ε≤0.01時相同。這進一步說明誤差增長較慢的可預(yù)報分量與數(shù)值模式內(nèi)在的固有屬性有關(guān)，在相似的初值條件下的可預(yù)報分量，具有相似的演化規(guī)律，為可預(yù)報分量的提取及其應(yīng)用提供了良好的物理基礎(chǔ)。

圖1 （a－d）INI1、（e－h(huán)）INI2、（i－l）INI3添加隨機擾動ε≤0.01誤差演化情況：（a、e、i）初始狀態(tài)；（b、f、j）10步；（c、g、k）1000步；（d、h、l）2000步Fig.1 The evolution of the errors under different initial values marked by（a－d）INI1，（e－h(huán)）INI2，（i－l）INI3when random perturbation was added to the Lorenz system with errorε≤0.01：（a，e，i）The initial status；（b，f，j）the evolution steps are 10；（c，g，k）the evolution steps are 1000；（d，h，l）the evolution steps are 2000

圖1 （續(xù)）

基于以上模式誤差增長規(guī)律的分析，下面分別就INI1、INI2、INI3條件下，將Lorenz模式各變量誤差分別取0.01和0.1時，利用式 （1）～（9）計算出切線性誤差算子L，進而得到特征值λi隨積分時間的演化曲線 （如圖3所示）。

從圖3中可以看出，切線性誤差算子L的特征值λi隨積分時間的增長差別明顯，反映出初始誤差在初始向量的不同方向上增長的速度不同這一特性。在初值INI1、ε＝0.01條件下，λ3在短時間內(nèi)增長迅速，在積分50步后其演化軌跡即與λ1、λ2分離 （圖3a），而λ1、λ2此時基本維持在 （0，1）之間，積分時間達到1500步以后，λ1、λ2、λ3都顯著增大，表明此時模式變量誤差在各個方向都明顯增長，模式中基本無可預(yù)報分量而言，系統(tǒng)完全進入混沌狀態(tài)，誤差在相空間中的分布類似于圖1d；當ε＝0.1時λ3迅速增長的狀態(tài)更為明顯，λ3在50步時即接近300，表示初始向量空間中，該方向上誤差增長迅速。當初值為INI2、ε＝0.01時，λ3在積分1000步后才開始明顯增長，將達到1500步時λ1、λ2、λ3都開始增大，但是λ1、λ2增長的量級比λ3小得多；ε＝0.1時，λ3在積分500步即快速增長，而λ1、λ2在1000步以內(nèi)基本未增長，在1400步左右時三者才都快速增長。初值INI3的切線性誤差算子特征值比其他兩種初值情況增長的都緩慢，在ε＝0.01、0.1條件下，λ3分別在2000步和1500步后發(fā)生分離，λ1和λ2迅速增長的時間都要明顯靠后。由第2節(jié)可知，λi的值反映了初始誤差在初始向量對應(yīng)方向上的增長倍數(shù)，Lorenz系統(tǒng)在非線性演化過程中誤差增長在不同方向上的差別，為從初始向量基底上提取模式變量的可預(yù)報分量提供了可能。

進一步，以初值INI2為例，模式各變量分別添加ε＝0.01和ε＝0.1的初始擾動，對模式積分500步以內(nèi)得到的L進行奇異向量分解，得到的特征值演化如圖4（見文后彩圖）所示。從圖4中可以看出特征值λi在各方向上的增長在模式演化初期基本一致且都在 （0，1）之間，隨著時間的增長，λ3逐漸增大，對應(yīng)了相空間中誤差演化的伸長方向，λ1趨向于0，對應(yīng)了誤差演化的收縮方向。λ2基本維持在1附近，說明該方向誤差基本不增長。同時還可以發(fā)現(xiàn)，雖然添加擾動的量級不同，但兩種情況下λ3都是在190步左右和λ1、λ2發(fā)生分離并開始緩慢增長。因此本文考慮誤差增長規(guī)律，選取λ3＞2時對初始特征向量中該方向的分量予以濾除，僅保留其余兩個方向分量，得到穩(wěn)定分量基底，從而建立可預(yù)報分量模式。

4 提取可預(yù)報分量及敏感性試驗

4.1 可預(yù)報分量模式的建立

可預(yù)報分量模式的建立可以通過以下途徑實現(xiàn)，在積分過程中將模式變量投影到可預(yù)報穩(wěn)定分量的基底上，再利用矩陣逆變換得到針對可預(yù)報分量的模式變量，然后向前積分，依次逐步變換積分即可。在已有的模式基礎(chǔ)上進行改進，無需開發(fā)新模式，使用方便且可移植性強。其過程可簡要表示

如下：

其中，A為數(shù)值模式穩(wěn)定分量投影基底，φ為模式變量，為模式變量在可預(yù)報分量上的投影。設(shè)K為數(shù)值模式的積分算子，穩(wěn)定分量的預(yù)報方程即為，

基于以上過程，表1比較了Lorenz系統(tǒng)原始變量模式和建立的可預(yù)報分量模式的TC。

表1 不同初值和擾動條件下Lorenz系統(tǒng)原始變量及可預(yù)報分量的TCTable 1 The prediction times（TC）of original variables and predictable components in Lorenz system under different initial values and perturbations

從表1中可以看出在三個不同初值條件下，對初值各變量分別進行大小為0.01和0.1的擾動，可預(yù)報分量的TC都要明顯大于原始變量，具有更高的預(yù)報技巧。并且在同一初值條件下，初值擾動量級越大，TC則越小。由表1可以得出，對數(shù)值模式中誤差增長慢的可預(yù)報分量進行預(yù)報，可以得到比原始變量模式更長的可預(yù)報時效。

4.2 控制參數(shù)變化對可預(yù)報分量模式的影響

對于Lorenz系統(tǒng)而言，當系統(tǒng)控制參數(shù)r增大時，系統(tǒng)動力學(xué)結(jié)構(gòu)的混沌特性將更加明顯，可預(yù)報性隨之降低。為進一步研究提取可預(yù)報分量在非線性數(shù)值模式預(yù)報中的有效性，圖5以初值INI2、ε＝0.1為例，研究了TC在原始變量模式和可預(yù)報分量模式中隨著控制參數(shù)的變化情況。在控制參數(shù)從28以0.1的間隔逐步增大到30過程中，Lorenz系統(tǒng)原始變量模式的TC隨著控制參數(shù)的增大，由11.14減小到5.65，呈明顯的衰減趨勢。而可預(yù)報分量的TC在此過程中始終比原始變量的大，并且沒有明顯的下降趨勢，這說明提取的可預(yù)報分量的TC并不隨系統(tǒng)的混沌特征明顯而衰減，有較好的可預(yù)報價值。

圖5 TC隨控制參數(shù)的演化情況 （“orig”代表原始變量；“pred”代表可預(yù)報分量）Fig.5 The evolution of TCwith parameter r （“orig”：original variable；“pred”：predictable component）

4.3 模式誤差及外部噪聲影響

一般而言，數(shù)值模式誤差主要可分為初值誤差和模式誤差兩個方面。初值誤差又可分為觀測誤差和分析誤差；模式誤差的來源較多，包括數(shù)值計算的截斷誤差、參數(shù)不準、物理過程缺失、動力方程缺陷、物理參數(shù)化方案缺陷等。因此，通過原始變量模式建立起的可預(yù)報分量模式，既要考慮到初值誤差的影響，又要考慮模式誤差存在時，可預(yù)報分量模式建立的有效性。本節(jié)以初值INI2、ε＝0.1為例，研究了分別對Lorenz模式參數(shù)b和積分過程變量中添加δ≤0.01的球形隨機擾動情況，擾動次數(shù)為20000次，結(jié)果如表2所示。當對模式參數(shù)b進行隨機擾動時，其原始變量模式TC最小值為7.61，最大值為11.14，歷次擾動后TC的平均值為9.65。相同條件下可預(yù)報分量模式對應(yīng)的值分別為9.07、14.72和11.82。當在積分過程變量中加入隨機擾動時，其原始變量模式TC最小值為8.96，最大值為11.13，歷次擾動后TC的平均值為10.29。相同條件下可預(yù)報分量模式對應(yīng)的值分別為10.18、14、69和12.46。從擾動后的TC均值來看，可預(yù)報分量模式的預(yù)報效果仍然要優(yōu)于原始變量模式，說明可預(yù)報分量模式在一定時間段內(nèi)，不僅對初值誤差不敏感，而且受模式變量誤差的影響也比原始變量模式小。

表2 模式誤差及外部隨機噪聲對TC的影響Table 2 The effects of model errors and external random noises on prediction time TC

5 結(jié)論和討論

本文從提取數(shù)值模式的可預(yù)報分量出發(fā)，利用Lorenz系統(tǒng)進行了相關(guān)數(shù)值試驗。通過研究誤差在相空間中的增長狀況，得知初始誤差在不同方向增長速度不同，誤差增長的不均勻性代表在一定時間范圍內(nèi)，數(shù)值預(yù)報模式中客觀存在著對誤差不敏感的較穩(wěn)定的可預(yù)報分量。采用不同量級的初值擾動，研究了模式切線性誤差算子特征值的演化規(guī)律，結(jié)果表明在初始特征向量的三個方向上，有一個方向誤差增長速度明顯較快，在很大程度上影響著數(shù)值預(yù)報模式的可預(yù)報時效。進而對該方向在積分過程進行濾除，建立了基于可預(yù)報分量的新模式。比較了不同初值條件下原始變量模式和可預(yù)報分量模式的預(yù)報臨界時間，發(fā)現(xiàn)可預(yù)報分量模式預(yù)報臨界時間比相同條件下原始變量的要長，說明其有更高的預(yù)報技巧。通過改變模式的控制參數(shù)，發(fā)現(xiàn)可預(yù)報分量模式受控制參數(shù)變化影響小。最后對數(shù)值模式變量進行了擾動，并試驗了隨機噪聲對可預(yù)報分量模式和原始變量模式的影響。發(fā)現(xiàn)可預(yù)報分量模式比原始變量模式預(yù)報時效長，說明提取可預(yù)報分量方法在數(shù)值預(yù)報過程中，有潛在的應(yīng)用價值。在本文的研究過程中還發(fā)現(xiàn)，在不同的初值條件下，可預(yù)報分量模式延長的可預(yù)報時間是不同的，這反映了對于Lorenz系統(tǒng)而言，可預(yù)報分量模式的效果可能受系統(tǒng)局地可預(yù)報性的影響，當系統(tǒng)初始狀態(tài)處于可預(yù)報性較高區(qū)域，模式預(yù)報誤差在各個方向發(fā)展速度均較慢，可預(yù)報分量模式相應(yīng)的可預(yù)報時間將更長，反之則相反。并且可預(yù)報分量模式的預(yù)報效果還可能與初始誤差的大小存在一定關(guān)系，這些問題還需要在后繼工作中深入探討。本文僅利用簡單模式闡述了在數(shù)值模式中提取可預(yù)報分量的方法及其效果，在復(fù)雜模式中的應(yīng)用及其可能存在的困難我們將在下一步工作中予以研究和解決。

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圖2 初值條件為INI2且ε≤0.1時誤差演化情況：（a）初始狀態(tài)；（b）10步；（c）1000步；（d）2000步Fig.2 The evolution of errors under initial value INI2with errorε≤0.1：（a）The initial status；（b）the evolution steps are 10；（c）the evolution steps are 1000；（d）the evolution steps are 2000

圖4 INI2條件下L特征值λi前500步的演變：（a）ε＝0.01；（b）ε＝0.1Fig.4 The same as Fig.3，but for the first 500steps with initial value INI2when（a）ε＝0.01and（b）ε＝0.1

The Preliminary Analysis of the Procedures of Extracting Predicable Components in Numerical Model of Lorenz System

WANG Qiguang1，F(xiàn)ENG Guolin2，ZHENG Zhihai2，ZHI Rong2，and CHOU Jifan1

1CollegeofAtmosphericSciences，LanzhouUniversity，Lanzhou730000
2LaboratoryforClimateStudies，NationalClimateCenter，ChinaMeteorologicalAdministration，Beijing100081

The authors have proposed to extract the predictable components to make prediction in the numerical model which has nonlinear chaos.The method of extracting predicable components was introduced in a simple numerical model，and the numerical experiments were done based on Lorenz system.In the experiment，the authors found that the velocity of initial error increase is different for different components in the phase space，and there are some particular directions with slow error increase.That is to say，there exist predictable components which are relatively stable and insensitive to initial perturbation.The numerical model of the predictable components was established by extracting predicable components based on the evolution of the eigenvalues of the tangent operator error，and projecting the model variables onto the substrates.On the basis of these，the impacts of chaotic states，the errors of model parameters，and the external random noise on extracting the predicable components were studied.And the authors found that the numerical model of the predicable components has a better forecasting skill.

numerical prediction，predictable components，singular value decomposition，Lorenz system

1006－9895（2012）03－0539－12

P435

A

10.3878／j.issn.1006－9895.2011.11094

王啟光，封國林，鄭志海，等.2012.基于Lorenz系統(tǒng)提取數(shù)值模式可預(yù)報分量的初步試驗 ［J］.大氣科學(xué)，36（3）：539－550，

10.3878／j.issn.1006－9895.2011.11094.Wang Qiguang，F(xiàn)eng Guolin，Zheng Zhihai，et al.2012.The preliminary analysis of the procedures of extracting predicable components in numerical model of Lorenz system ［J］.Chinese Journal of Atmospheric Sciences（in Chinese），36（3）：539－550.

2011－05－23，2011－06－24收修定稿

國家自然科學(xué)基金資助項目40930952、41105070和41105055，全球變化重大研究計劃2012CB955902和公益性行業(yè) （氣象）科研專項GYHY201106016

王啟光，男，1981年出生，博士研究生，主要從事短期氣候預(yù)測研究。E－mail：photon316＠163.com

封國林，E－mail：fenggl＠cma.gov.cn