鞠 丞，朱立東

(電子科技大學(xué)通信抗干擾技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都611731)

0 引言

模糊函數(shù)(ambiguity function)是波形設(shè)計(jì)與分析的工具，可以方便地描述波形與對(duì)應(yīng)匹配濾波器的特征，在分析分辨率、測(cè)量精度、二維模糊等問題上非常有效。

自上世紀(jì)五十年代伍德沃德引入模糊函數(shù)概念以來，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者在模糊函數(shù)的問題上進(jìn)行了大量的研究，最初，人們的研究集中在單基地雷達(dá)各種脈沖波形的模糊函數(shù)上［1-5］，隨著技術(shù)的發(fā)展，雙基地雷達(dá)和合成孔徑雷達(dá)(synthetic aperture radar，SAR)的模糊函數(shù)也相繼有人提出［6-8］，近年來，隨著機(jī)載SAR、星載SAR以及MIMO雷達(dá)和編隊(duì)構(gòu)形等概念的提出，模糊函數(shù)的研究也進(jìn)入了新的階段［9-12］。對(duì)于星載 SAR，文獻(xiàn)［8］給出了傳統(tǒng) SAR的模糊函數(shù)，文獻(xiàn)［9］給出了編隊(duì)衛(wèi)星SAR系統(tǒng)的模糊函數(shù)分析，得出了編隊(duì)構(gòu)形對(duì)分辨率的影響，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［10，13］分別推導(dǎo)了機(jī)載雙站SAR模糊函數(shù)和基于OFDM波形的SAR模糊函數(shù)，但這些研究中都忽略了衛(wèi)星軌道曲率、地球曲率以及地球自轉(zhuǎn)對(duì)雷達(dá)與目標(biāo)距離變化的影響，繼而忽略了這些因素對(duì)模糊函數(shù)的影響，這與實(shí)際模型有一定差異，在合成孔徑時(shí)間較長(zhǎng)和高軌道大視角SAR情況下差異尤為顯著。

本文綜合考慮地球曲率、衛(wèi)星軌道和地球自轉(zhuǎn)等因素，建立新的模型來描述雷達(dá)與目標(biāo)隨時(shí)間變化的距離，推導(dǎo)出在新模型下的星載SAR的模糊函數(shù)，在分辨率方面，為避免復(fù)雜的坐標(biāo)變換，本文采用沿航跡方向和緯度方向的分辨來表征，并通過仿真分析其分辨特性。本文得出的模糊函數(shù)更符合客觀實(shí)際值，有助于進(jìn)一步研究綜合因素下雙星、多星、編隊(duì)衛(wèi)星SAR的高階模糊函數(shù)。

1 星載SAR空間幾何模型

一般來說，星載SAR的飛行軌道為偏心率極小的近圓軌道，地球也是近圓形的，考慮到在一個(gè)合成孔徑時(shí)間內(nèi)，星載SAR一般飛行幾公里到幾十公里，這與飛行軌道半徑比較起來是很短的一段曲線，可以將這一段曲線近似為局部圓形軌道。在成像過程中，成像區(qū)域與地球表面相比也是很小的區(qū)域，可以近似為局部球型區(qū)域，根據(jù)文獻(xiàn)［14］所提出的極地衛(wèi)星軌道有相當(dāng)?shù)拇硇?，其他軌道可以由極地軌道通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到，方便起見，本文采用極地軌道模型。

如圖1所示，建立極地軌道模型。O點(diǎn)為地心，假設(shè)在t=0時(shí)刻，衛(wèi)星位于赤道上空S處，軌道距離地面高度為H，目標(biāo)在緯度為θ的T點(diǎn)處，O'T為目標(biāo)所處緯度圈的半徑，φ為O'T與衛(wèi)星軌道面的夾角，則點(diǎn)目標(biāo)T的位置可以用球坐標(biāo)系(φ，θ，Re)表示，σ為SO'與目標(biāo)所處緯度圈的夾角，Re表示地球半徑。經(jīng)過時(shí)間t后衛(wèi)星位于S'處，目標(biāo)位于T'處，φ'為 O'T'與衛(wèi)星軌道面的夾角且φ'=φ + ωt，其中ω為地球自轉(zhuǎn)角速度，σ'為S'O'與目標(biāo)所處緯度圈的夾角。下面推導(dǎo)在時(shí)間t時(shí)刻，衛(wèi)星與目標(biāo)的瞬時(shí)距離公式。

圖1 星載SAR極地軌道模型Fig.1 Polar orbit model of spaceborne SAR

過點(diǎn)S'做S'B垂直于地球自傳軸OO'，交點(diǎn)為B，η為S'O與赤道面的夾角且η=Ωt，其中Ω為衛(wèi)星繞地球飛行的角速度，根據(jù)模型幾何關(guān)系易知
RS'T'(t)=

(1)式中:RS'T'(t)為t時(shí)刻衛(wèi)星到目標(biāo)的距離;

將(2)—(4)式代入(1)式中可得

(5)式中，RH=Re+H。(5)式即為零時(shí)刻衛(wèi)星赤緯為0時(shí)與地面目標(biāo)的瞬時(shí)距離方程。進(jìn)一步，在(5)式的基礎(chǔ)上，可以得到假設(shè)t=0時(shí)刻，衛(wèi)星位于其他赤緯角度情況下更普遍意義的目標(biāo)瞬時(shí)距離方程。

圖2 星載SAR與目標(biāo)的瞬時(shí)距離Fig.2 Instantaneous distance between SAR and target

(6)式和(7)式是星載SAR和觀測(cè)目標(biāo)各參數(shù)之間的約束關(guān)系，表示出了衛(wèi)星在正側(cè)視情況下，對(duì)于一定軌道、一定視角的SAR能觀測(cè)到的空間上的范圍是有限的，就觀測(cè)中心點(diǎn)來說，一旦目標(biāo)點(diǎn)緯度θ確定，那么此點(diǎn)位置的φ角也是確定的，且滿足約束式(6)和(7)。

將正側(cè)視星載SAR觀測(cè)到點(diǎn)(φ，θ，Re)的時(shí)刻設(shè)為零時(shí)刻，則可以得到衛(wèi)星與目標(biāo)在t時(shí)刻的距離方程為

(8)式也適用于非正側(cè)視情況，RS'T'(t)為上文中推導(dǎo)出的(5)式，接下來用此距離公式對(duì)綜合因素下的星載SAR模糊函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)分析。

2 星載SAR模糊函數(shù)推導(dǎo)

廣義模糊函數(shù)的定義為［15］

(9)式中:(x，y，z)，(x0，y0，z0)表示地面上某點(diǎn)和觀測(cè)點(diǎn)目標(biāo)的位置;f(t)表示目標(biāo)的回波信號(hào)，本文模型中用緯度θ和角度φ來表示目標(biāo)所處的位置，所以模糊函數(shù)可以表示為

(10)式中:地面點(diǎn)目標(biāo)的坐標(biāo)向量為x=［φ，θ］T;接收參數(shù)向量為 s=［tf，ts］T，其中［·］T表示向量的轉(zhuǎn)置操作，tf和ts分別表示快時(shí)間和慢時(shí)間。

假設(shè)系統(tǒng)發(fā)射線性調(diào)頻信號(hào)，調(diào)頻斜率為kr，時(shí)寬為Tr，載頻為ωc，則發(fā)射信號(hào)在tf∈［－Tr/2，Tr/2］內(nèi)可以表示為

衛(wèi)星接收到位置為(φ，θ)處的目標(biāo)回波信號(hào)為

這里ψ(x，s)是回波信號(hào)的相位項(xiàng)，表示為

(13)式中，τts是目標(biāo)回波時(shí)延，即電磁波從衛(wèi)星到目標(biāo)，再?gòu)哪繕?biāo)返回衛(wèi)星的傳輸時(shí)間，由于這一時(shí)間為10－3～10－4s量級(jí)(衛(wèi)星大概只能運(yùn)行幾米到十幾米，地球自轉(zhuǎn)可忽略)，可以認(rèn)為衛(wèi)星與目標(biāo)的距離沒變，時(shí)延τts可以表示為

(14)式中，c為電磁波傳播速度。

文獻(xiàn)［9］根據(jù) Goodman 的分析方法［16］，利用對(duì)回波信號(hào)的相位項(xiàng)進(jìn)行一階泰勒級(jí)數(shù)展開，推導(dǎo)出了SAR模糊函數(shù)可解析的近似表達(dá)式。本文引用此公式進(jìn)行推導(dǎo)。

(15)式中:Δφ =φ － φ';Δθ=θ－ θ';ˉx=［φ'，θ'］T;ˉs=［0，0］T;Δx=x－ˉx=［Δφ，Δθ］T;Δs=s－ˉs=［tf，ts］;▽x=［?/?φ，?/?θ］;▽s=［?/?tf，?/?ts］。(15)式推導(dǎo)過程詳見文獻(xiàn)［9］，綜合(13)和(14)式，忽略隨時(shí)間“緩慢”變化的exp(jkrt2)項(xiàng)，可得

將(16)式代入(15)式即可得到星載SAR的模糊函數(shù)為

如果考慮星載SAR位于地球赤道上空，且處于正側(cè)視的情況下，即θ=0，則上式可整理為

(18)式中:Tr為發(fā)射信號(hào)脈寬;Ts為合成孔徑時(shí)間;Re(Re+H)。

由(18)式對(duì)比文獻(xiàn)［9］中在不考慮地球自轉(zhuǎn)、曲率以及衛(wèi)星軌道等因素影響下的星載SAR的正側(cè)視模糊函數(shù)公式

3 星載SAR模糊函數(shù)的仿真

下面針對(duì)以上給出的綜合因素下的星載SAR的模糊函數(shù)理論公式進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，給出模糊函數(shù)圖形和等高線圖形，并與忽略地球自轉(zhuǎn)、曲率、衛(wèi)星軌道等因素的星載SAR的模糊函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，分析地球自轉(zhuǎn)、曲率以及衛(wèi)星軌道等因素所帶來的影響。方便起見，選擇目標(biāo)在赤道上衛(wèi)星處于正側(cè)視下進(jìn)行仿真。假設(shè)仿真參數(shù)如下，衛(wèi)星飛行高度630 km，天線長(zhǎng)度為15 m，雷達(dá)側(cè)視角為30°，發(fā)射信號(hào)帶寬為20 MHz，載頻為3 GHz的線性調(diào)頻信號(hào)，為了方便比較，把對(duì)φ和θ的分辨轉(zhuǎn)化成對(duì)方位向x和緯度向y的分辨，轉(zhuǎn)化公式為

方便對(duì)比，圖3和圖4分別給出了平地場(chǎng)景、直飛、不考慮地球自轉(zhuǎn)的傳統(tǒng)星載SAR模型下和考慮地球自轉(zhuǎn)、曲率、衛(wèi)星圓軌道等因素下的模糊函數(shù)歸一化仿真圖和模糊函數(shù)的等高線圖。

根據(jù)仿真結(jié)果可以看到，模糊函數(shù)為圖釘型，具有原點(diǎn)對(duì)稱性，在原點(diǎn)處取得最大值。在地球自轉(zhuǎn)、曲率和衛(wèi)星軌道等因素的綜合影響下模糊函數(shù)對(duì)稱軸方向發(fā)生了一定角度的偏轉(zhuǎn)，分辨單元的主軸方向并不完全與航跡向和距離向一致，由仿真結(jié)果得到圖3地距向分辨率為15 m，圖4地距向分辨率為13.65 m，斜距上理論分辨率應(yīng)為c/2B=7.5 m，在星載SAR條件下要得到地距的分辨率還需要除以sinγ，γ是雷達(dá)波束在目標(biāo)處的入射角，而由于地球曲率的原因，γ要比雷達(dá)天線視角30°略大，通過本文仿真參數(shù)計(jì)算得γ=33.33°，圖4得出的分辨率更符合理論。圖3方位分辨率為7.5 m，圖4方位分辨率為6.85 m，在星載情況下，由于衛(wèi)星軌道和地球曲率的因素，衛(wèi)星的運(yùn)行速度vs和天線波束地面覆蓋區(qū)的運(yùn)行速度vb是不同的，分辨率應(yīng)為理論值二分之一天線長(zhǎng)度的vb/vs倍，圖4得出的方位向分辨率更符合。圖5給出了考慮衛(wèi)星圓軌道和地球曲率但忽略地球自轉(zhuǎn)的模糊函數(shù)歸一化仿真圖和模糊函數(shù)的等高線圖，對(duì)比圖4可以得出，綜合因素下模糊函數(shù)對(duì)稱軸一定程度的偏轉(zhuǎn)是和地球自轉(zhuǎn)相關(guān)的。

圖5 忽略地球自轉(zhuǎn)情況下的歸一化模糊函數(shù)圖和等高線圖Fig.5 Pictures of ambiguity function and contour for SAR neglects the earth rotation

圖6給出了衛(wèi)星赤緯(衛(wèi)星與地心連線和赤道面的夾角)為300和600時(shí)正側(cè)視觀測(cè)目標(biāo)的模糊函數(shù)等高線圖。

傳統(tǒng)星載SAR模型因?yàn)槭强紤]平地場(chǎng)景、衛(wèi)星直線飛行且忽略了地球自轉(zhuǎn)，所以在同一系統(tǒng)參數(shù)情況下地球上照射到的目標(biāo)點(diǎn)的模糊函數(shù)都是一樣的。從圖6的仿真圖可以看出，綜合因素下衛(wèi)星在不同赤緯觀測(cè)到目標(biāo)時(shí)方位向和緯度向分辨率對(duì)稱軸都有不同角度的偏轉(zhuǎn)，這是由衛(wèi)星觀測(cè)位置和地球自轉(zhuǎn)共同引起的，需要注意的是，本文選定的是緯度向而非距離向(零度赤緯時(shí)可以相當(dāng)距離向)的分辨率。

可以分析得出綜合因素下的星載SAR和傳統(tǒng)模型星載SAR的模糊函數(shù)的差異會(huì)隨著衛(wèi)星處于更高軌道，天線側(cè)視角更大或有更長(zhǎng)的合成孔徑時(shí)間時(shí)表現(xiàn)得更為明顯，這是因?yàn)樵谶@些條件下2種仿真模型的差異將會(huì)更大。

圖6 赤緯為30°(左)和60°(右)模糊函數(shù)等高線圖Fig.6 Pictures of ambiguity function and contour for SAR when declinations are 30°and 60°

根據(jù)以上討論的模糊函數(shù)特點(diǎn)，我們可以按照實(shí)際系統(tǒng)分辨率的要求選擇合適的衛(wèi)星軌道位置、天線和發(fā)射信號(hào)等參數(shù)，也可以對(duì)已有系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行分辨特性預(yù)估計(jì)，本文在原有推導(dǎo)模糊函數(shù)方法的基礎(chǔ)上綜合考慮了地球自轉(zhuǎn)、曲率和衛(wèi)星圓軌道情況，模型更符合客觀實(shí)際。

4 結(jié)束語

對(duì)于星載SAR，尤其是合成孔徑時(shí)間較長(zhǎng)或高軌道大視角星載SAR，在分析其分辨特性的時(shí)候，考慮地球自轉(zhuǎn)、曲率和衛(wèi)星圓軌道等因素是必要的。本文綜合考慮這些因素，建立星載SAR極地軌道飛行模型，推導(dǎo)出模糊函數(shù)表達(dá)式，更符合實(shí)際情況，為設(shè)計(jì)系統(tǒng)參數(shù)及預(yù)測(cè)系統(tǒng)的分辨特性提供了更客觀的依據(jù)。

本文只考慮了單星SAR的情況，下一步工作可以對(duì)多星，甚至異軌道模式下的模糊函數(shù)進(jìn)行研究。

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