馮 濤，朱立東

(電子科技大學(xué)通信抗干擾技術(shù)國家級重點(diǎn)實驗室，四川成都611731)

0 引言

盲源分離［1］(blind source separation，BSS)問題是當(dāng)前信號處理領(lǐng)域的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題，其要求在對源信號及信道參數(shù)未知的情況下，僅根據(jù)檢測信號恢復(fù)出源信號。因為其對先驗信息要求較少，所以應(yīng)用前景廣闊，當(dāng)前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于數(shù)字通信［2］、醫(yī)學(xué)信號處理及陣列信號處理等領(lǐng)域。

盲源分離問題常用的數(shù)學(xué)模型表示為(1)式中:X(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xm(t)］T為檢測信號向量;Α∈Rm×n為混疊矩陣;S(t)=［s1(t)，s2(t)，…，sn(t)］T為源信號向量;N(t)=［n1(t)，n2(t)，…，nm(t)］T為噪聲。盲分離的過程就是通過尋找一個逆矩陣W∈Rn×m，使得通過(2)式恢復(fù)出源信號。

因為先驗信息未知，所以對源信號的恢復(fù)存在某些不確定性，即恢復(fù)源信號的幅度及排列順序存在不確定性。

在盲源分離問題中，當(dāng)檢測信號數(shù)不少于源信號數(shù)時，即m≥n時，是盲源分離的初期研究中?？紤]的超定及適定情況下的盲源分離問題，這個方面當(dāng)前已經(jīng)取得了較成熟的研究成果;但事實上，mn是更常見，也是更實際的情況，這種情況就是本文所考慮的欠定情況下的盲源分離。在欠定情況下，因為混疊矩陣不可逆，所以即使估計出混疊矩陣，也無法直接恢復(fù)出源信號。在欠定盲源分離(underdetermined blind source separation，UBSS)方法中，基于源信號稀疏特性的方法是當(dāng)前應(yīng)用最廣的方法，對于時域上不具備稀疏性的信號，也往往采用變換域的方法，如頻域、時頻域或者小波域［3］等，使信號具備稀疏性。在已有的大部分欠定盲源分離算法中，噪聲對分離效果的影響都是十分明顯的，甚至可能導(dǎo)致算法不收斂或者恢復(fù)出錯誤的信號。

在基于稀疏性的欠定盲源分離算法中，兩步法是一種常用的解決步驟，即首先估計混疊矩陣，然后根據(jù)估計的混疊矩陣進(jìn)一步恢復(fù)出源信號?；殳B矩陣的估計算法當(dāng)前較成熟的有基于時域稀疏性的k均值算法，基于時頻掩碼的 DUET(degenerate unmixing estimation technique)算法，采用單源時頻區(qū)域的 TIFROM算法、單源區(qū)間的檢索平均法(SAMTD)，基于高階累積量聯(lián)合對角化的SOBIUM及FOBIUM算法［4－9］?；殳B矩陣估計對源信號恢復(fù)有直接的影響，但不是本文考慮的重點(diǎn)，本文后面會對混疊矩陣估計誤差對算法的影響做簡要分析。本文主要考慮當(dāng)混疊矩陣估計出后，如何進(jìn)一步恢復(fù)出源信號并有效地抑制噪聲的影響。

1 基于子空間的線性欠定盲源分離算法

基于子空間的線性欠定盲源分離算法(subspace－based linear UBSS algorithm，SL_UBSS)［9］最早由 A?ssa－El－Bey等人提出并應(yīng)用于時頻域的欠定盲源分離，該方法可以在當(dāng)任意時頻域點(diǎn)包含的源信號數(shù)小于檢測信號數(shù)時恢復(fù)出源信號。本文考慮任意時刻的源信號數(shù)近似小于檢測信號數(shù)，則該算法可以直接應(yīng)用于時域上。

考慮某一時刻的 k個源信號分別為 sl1(t)，sl2(t)，…，slk(t)，kmn，(1)式可轉(zhuǎn)化為(3)式中:

S'(t)=［sl1(t)，sl2(t)，…，slk(t)］T;A'=［al1，al2，…，alk］，ai(1≤ i≤ n)為 A 的列。

令Q表示到A'噪聲子空間的正交投影矩陣。則Q為

(4)式中:I為單位陣;(*)－1表求取逆運(yùn)算。同時，有(5)式成立。

當(dāng)混疊矩陣已經(jīng)預(yù)先估計，則通過(5)式可以判斷任意時刻采樣點(diǎn)所包含的源信號序列l(wèi)1，…，lk。考慮到噪聲的影響，我們通過使(6)式最小化以判斷源信號序列

(6)式中，A'α=［aα1，…，aαk］。當(dāng)該時刻的混疊矩陣A'估計后，當(dāng)前時刻的源信號可以由(7)式估計

(7)式中，A'#表示矩陣A'的M－P偽逆。在每一個采樣點(diǎn)分別進(jìn)行(6)式及(7)式運(yùn)算，從而可以恢復(fù)出每一個采樣時刻的源信號值。在該算法中，每一個采樣時刻都是獨(dú)立考慮的，對每一個采樣時刻源信號序列的估計都只受當(dāng)前采樣時刻的信號及噪聲的影響，當(dāng)出現(xiàn)瞬時噪聲很大的情況下，該算法出現(xiàn)源信號序列錯誤判斷的概率將大大增加。

2 采用信號相鄰采樣點(diǎn)聯(lián)合估計

采用矩陣子空間的欠定盲源分離算法在任意時刻源信號數(shù)少于檢測信號數(shù)時可以有效地估計出源信號，但隨著噪聲的增大，檢測信號的信噪比會降低，恢復(fù)源信號的信噪比也會隨之降低，與此同時，采用(6)式進(jìn)行任意時刻包含源信號序列判斷時出錯的概率會增大，又會進(jìn)一步降低源信號的估計性能?？紤]到現(xiàn)實中，源信號的出現(xiàn)與消失都是有一段時間的，即往往相鄰的幾個信號采樣點(diǎn)都由相同的幾路源信號構(gòu)成，而噪聲具有隨機(jī)性。因此，可以采用檢測信號的幾個相鄰的采樣點(diǎn)來進(jìn)行聯(lián)合估計，判斷其中間時刻所包含的源信號序列，通過這一方法可以抑制噪聲對源信號序列估計的影響，提高判斷的準(zhǔn)確率，進(jìn)而提高恢復(fù)信號的信噪比。

對(1)式做簡單變換，可得對于任意相鄰的p個采樣點(diǎn)，有(8)式成立。

將(8)式簡寫為

(9)式中:Xspan(t)∈Rmp×1，由p個采樣點(diǎn)的檢測信號展開而成;Aspan∈Rmp×np，由m×n個子塊構(gòu)成，每一個子塊是一個p×p的對角陣，對角陣的對角線元素為混疊矩陣A的元素aij(1≤i≤m，1≤j≤n);Sspan(t)∈Rnp×1，由p個采樣點(diǎn)的源信號展開而成;Nspan(t)∈Rmp×1，由p個采樣點(diǎn)的噪聲信號展開而成。

假設(shè)在某一時間段的相鄰p個采樣點(diǎn)，檢測信號都由相同的k路源信號混合而成，則(8)式可以轉(zhuǎn)變?yōu)椤?/p>

(10)式中，sl1，…，slk為包含的源信號序列。將(10)式簡寫為

(11)式中:Xspan(t)∈Rmp×1與Nspan(t)∈Rmp×1的定義與(9)式相同;A'span∈Rmp×kp，由m ×k個子塊構(gòu)成，每一個子塊是一個p×p的對角陣，對角線的元素為混疊矩陣Α的元素aij(1≤i≤m，j∈{l1，…，lk});S'span(t)∈Rkp×1，由k路源信號的p個采樣點(diǎn)展開而成。

同SL_UBSS算法相似，我們可以得到向噪聲子空間投影的正交矩陣為

同樣的，我們可以通過使(13)式最小化以判斷源信號序列

當(dāng)源信號的序列估計后，可以由(7)式恢復(fù)出源信號?？偟乃惴鞒倘缦滤?

1)采用已有算法估計出混合矩陣;

2)按時間順序，將采樣點(diǎn)與其前后采樣點(diǎn)聯(lián)合，利用(13)式判斷該采樣點(diǎn)所包含的源信號序列，進(jìn)而得到該采樣時刻的混合矩陣A';

3)利用(7)式恢復(fù)出當(dāng)前時刻的源信號，如信號未處理完，則返回2)，否則算法完成。

相對原有的SL_UBSS算法，新的算法通過相鄰采樣點(diǎn)聯(lián)合估計包含的源信號序列，進(jìn)而抑制噪聲對源信號序列估計的影響，下文中簡稱該算法為ASL_UBSS算法(advanced SL_UBSS algorithm)。在實際應(yīng)用中，我們可以采用當(dāng)前采樣點(diǎn)及前后對稱數(shù)目的采樣點(diǎn)(如前后各取1個點(diǎn))聯(lián)合判斷該采樣點(diǎn)的源信號序列。

3 仿真及性能分析

通過仿真，我們將檢驗SL_UBSS算法完成欠定盲源分離的可行性，噪聲條件下，ASL_UBSS算法相對SL_UBSS算法對源信號恢復(fù)性能提升及條件改變時對算法性能的影響。這里考慮源信號為4路語音信號，檢測信號為3路，則當(dāng)采樣時刻的源信號數(shù)不超過2路時，可以恢復(fù)出源信號。因為混疊矩陣估計不是本文考慮的重點(diǎn)，所以在仿真中都假設(shè)混疊矩陣已經(jīng)有很好的估計。

3.1 SL_UBSS算法分離仿真

首先檢驗無噪條件下SL_UBSS算法的分離可行性，采用混疊矩陣A為

在不考慮噪聲情況下，采用SL_UBSS算法得到的估計源信號及源信號和檢測信號如圖1所示，其中圖1a為源信號，圖1b為檢測信號，圖1c為估計信號。通過圖1可以看出，當(dāng)采樣時刻源信號數(shù)不超過2路時，分離性能良好，當(dāng)超過2路后，估計的源信號存在失真。

圖1 SL_UBSS算法分離效果Fig.1 Separation result of SL_UBSS algorithm

3.2 ASL_UBSS與SL_UBSS性能比較

我們考慮在噪聲情況下，檢驗ASL_UBSS算法相對SL_UBSS算法的性能提升。在性能評價上，本文采用常用的平均信干比(signal interference ratio，SIR)來比較估計信號與源信號的差異。在仿真中，噪聲采用的是加性高斯白噪聲，混疊矩陣A為隨機(jī)產(chǎn)生，矩陣A中的元素aij服從－1到1之間的均勻分布，在不同檢測信號信噪比下分別進(jìn)行100次仿真，比較SL_UBSS算法，采用相鄰1個點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)合估計(3點(diǎn)ASL_UBSS算法)和相鄰2個點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)合估計(5點(diǎn)ASL_UBSS算法)3種情況下恢復(fù)信號的平均信干比。3種方法的對比如圖2所示，從下往上分別為 SL_UBSS，3點(diǎn) ASL_UBSS和5點(diǎn) ASL_UBSS的性能曲線，通過圖我們可以看出，ASL_UBSS算法相對SL_UBSS算法在檢測信號信噪比為10～28 dB的整個區(qū)間上都有更好的性能，其中5點(diǎn)ASL_UBSS算法相對SL_UBSS算法平均有大約1.5 dB的性能提升。

圖2 不同檢測信號信噪比下的2種分離算法性能對比Fig.2 Comparing of the two separation algorithms under different SNR

3.3 ASL_UBSS中相鄰點(diǎn)數(shù)的選取

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，ASL_UBSS算法中相鄰點(diǎn)數(shù)的選取對算法性能的影響包含以下2個方面。

3.3.1 相鄰點(diǎn)數(shù)選取對分離性能的影響

設(shè)選取的相鄰點(diǎn)數(shù)為l，且相鄰的p個點(diǎn)都屬于同樣的k路源信號。當(dāng)lp時，l越接近p，正確判斷信號歸屬的概率就越大，即分離算法對噪聲影響的抑制就越好，但隨著l的變大，屬于不同源信號的相鄰區(qū)域用于聯(lián)合判斷的數(shù)量也會增加，相應(yīng)的分離算法性能又會進(jìn)入下降區(qū)間;當(dāng)lp時，l越大，分離性能越差。

圖3給出的仿真結(jié)果可以很好地表達(dá)相鄰點(diǎn)數(shù)選取對分離性能的影響(數(shù)據(jù)及仿真方法與前一仿真相同)，當(dāng)相鄰信號數(shù)選擇為1時，即退化為SL_UBSS算法。當(dāng)檢測信號信噪比偏低(10 dB)時，隨著選取相鄰點(diǎn)數(shù)的增加，算法對噪聲干擾的抑制越好，不過增幅會逐步降低;當(dāng)檢測信號信噪比偏高(22 dB)時，初期恢復(fù)信號信干比會隨著相鄰信號數(shù)增加而改善，但當(dāng)相鄰信號數(shù)持續(xù)增加時，算法對外部噪聲的抑制作用增加很小，反而會因為增大了屬于不同源信號的相鄰區(qū)域的選擇次數(shù)，帶來額外的檢測錯誤，所以恢復(fù)信號的信干比反而出現(xiàn)一個降低的趨勢。

圖3 相鄰點(diǎn)數(shù)選取對分離性能的影響Fig.3 Performance of separation algorithm with different selected adjacent point numbers

3.3.2 相鄰點(diǎn)數(shù)選取對算法復(fù)雜度(計算量)的影響

從算法流程可以看出，隨著相鄰點(diǎn)數(shù)l的增加，矩陣A'span會增大，且A'span的元素總數(shù)正比于l2，A'span的大小對正交投影矩陣Qspan的計算有直接影響，同時，(13)式的計算量也正比于l2，l對源信號恢復(fù)過程的計算量無影響。因為Qspan的計算過程中存在取逆運(yùn)算，所以，當(dāng)l取值過大后，算法的計算量會有明顯提高。

從前面討論的2點(diǎn)綜合看來，在實際應(yīng)用中，相鄰點(diǎn)數(shù)選取最好為3個點(diǎn)或者5個點(diǎn)，這個使得在分離性能改善及計算復(fù)雜度中取得了較好的平衡。

3.4 檢測信號數(shù)對ASL_UBSS算法分離性能的影響

通過前面對SL_UBSS算法的介紹，可以知道，當(dāng)檢測信號為3路時，我們可以分離瞬時源信號少于3路的多路源信號;當(dāng)檢測信號為2路時，我們可以分離瞬時源信號少于2路的多路源信號。這里我們依然考慮前面的4路源信號，分別考慮3路檢測信號及2路檢測信號時的ASL_UBSS算法(3點(diǎn))的分離性能。圖4給出了檢測信號數(shù)對分離性能的影響曲線。

圖4 檢測信號數(shù)對分離性能的影響Fig.4 Performance of separation algorithm with different number of sensing signals

從圖4可以看出，因為仿真所使用源信號在任意時刻都是大于或等于2路的，而當(dāng)檢測信號為2路時，僅能分離出其中1路信號，所以分離性能相對3路檢測信號有了較大的降低，并且此時恢復(fù)信號信干比隨檢測信號信噪比提高而改善很小。當(dāng)然，通過前面對SL_UBSS算法的分析也可以得到，當(dāng)信號具有強(qiáng)稀疏時，即任意時間源信號為一路時，SL_UBSS與ASL_UBBS算法也會取得較好的分離性能。

3.5 混疊矩陣估計誤差對算法性能的影響

混疊矩陣估計誤差會對分離性能產(chǎn)生影響，其影響主要包含2個方面:①對任意采樣點(diǎn)包含源信號序列判斷的影響;②源信號序列判斷完成后，偽逆矩陣的計算會引入誤差。通過分析可得，對于第1個方面，當(dāng)混疊矩陣估計誤差較小時，改進(jìn)算法依然可以提高源信號序列的判斷準(zhǔn)確率;當(dāng)混疊矩陣估計誤差較大時，原算法及改進(jìn)算法都很難有效完成對源信號序列的判斷。對于第2個方面，混疊矩陣的估計誤差對原算法及改進(jìn)算法的影響相同。所以總的來說，混疊矩陣估計誤差對改進(jìn)算法分離性能的影響相對原算法更小。

4 結(jié)束語

盲分離算法對噪聲的魯棒性是當(dāng)前盲信號處理中的一個難點(diǎn)，當(dāng)前的很多算法在有噪情況下性能都會急劇下降，在本文提出的方法中，通過對相鄰采樣點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)合估計，提升了盲信號分離算法的魯棒性，提高了恢復(fù)信號的信噪比。同時，時域或者變換域相鄰點(diǎn)具有相關(guān)性是一種常見的情況，因此該方法還可以靈活應(yīng)用于其他類似情況。在后面的工作中，可以將該方法運(yùn)用于時頻域或者將該方法與小波降噪等噪聲抑制、消除方法聯(lián)合使用。

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