張曉霞，曹詠弘

(中北大學(xué)理學(xué)院，太原 030051)

0 引言

隨著 MEMS(micro-electro-mechanical system，微電子機(jī)械系統(tǒng))技術(shù)的發(fā)展，MEMS陀螺已經(jīng)步入了全面發(fā)展的階段，基于MEMS慣性器件構(gòu)建低成本的微型慣性導(dǎo)航系統(tǒng)也成為目前慣性技術(shù)領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)。

MEMS陀螺誤差分為確定誤差和隨機(jī)誤差兩部分。其中確定誤差可以通過測(cè)試和標(biāo)定的方法進(jìn)行補(bǔ)償，而隨機(jī)誤差因?yàn)榫哂须S機(jī)性，只能用統(tǒng)計(jì)模型來描述。近年來，使用時(shí)間序列分析法來建立隨機(jī)誤差模型，是提高微慣性導(dǎo)航系統(tǒng)精度的一種有效方法。文獻(xiàn)[1]利用時(shí)間序列分析法對(duì)隨機(jī)漂移建立ARMA模型，但并未給出檢驗(yàn)。文獻(xiàn)[2]采用時(shí)間序列分析法建立隨機(jī)誤差模型，然后基于該模型設(shè)計(jì)了卡爾曼濾波器，但文中在建立模型時(shí)，沒有根據(jù)實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析而是從實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中選擇模型。

基于以上的不足，文中同樣采用時(shí)間序列分析法來建模并利用Matlab時(shí)間序列工具箱對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)并檢驗(yàn)，最后設(shè)計(jì)了卡爾曼濾波器對(duì)其進(jìn)行誤差補(bǔ)償。

1 時(shí)間序列分析與建模

1.1 數(shù)據(jù)的采集、預(yù)處理與檢驗(yàn)

采集信號(hào)以得到觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理并檢驗(yàn)，以得到平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時(shí)間序列，這是時(shí)間序列建模的基礎(chǔ)。

1)數(shù)據(jù)采集。MEMS陀螺輸出的實(shí)際數(shù)據(jù)是連續(xù)的，而建模要求是離散的，故要以一定的采樣頻率對(duì)其進(jìn)行采集，得到離散序列 yk，k=1，2，…，350001。MEMS陀螺X軸的原始漂移信號(hào)見圖1。

2)數(shù)據(jù)預(yù)處理。建模前，首先保證數(shù)據(jù)為零均值、平穩(wěn)、正態(tài)。陀螺原始數(shù)據(jù)中的常值分量可以通過求均值來提取，但有時(shí)信號(hào)中還可能存在一定的趨勢(shì)項(xiàng)，可以對(duì)其作一階或幾階差分處理。提取均值并作一階差分得到 xk，k=1，2，…，350000，xk=yk+1－ yk。

圖1 MEMS陀螺X軸的原始漂移信號(hào)

3)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)。對(duì)其上述處理過的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，以確定是否符合建模要求。通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法[3]對(duì)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，是平穩(wěn)、正態(tài)、零均值，符合建模要求。

1.2 模型的建立與參數(shù)的估計(jì)

1.2.1 模型的建立

自回歸滑動(dòng)平均模型(ARMA(p，q))的一般形式[3]：

其中：xk為隨機(jī)時(shí)間序列;p、q為自回歸階數(shù)和滑動(dòng)平均階數(shù);φi(i=1，2，…，p )、θj(j=1，2，…，q)為自回歸系數(shù)和滑動(dòng)平均系數(shù);ak為均值為零方差為的白噪聲。式(1)中，如果q=0，則ARMA(p，q)退化為p階自回歸模型，記為 AR(p);如果 p=0，則ARMA(p，q)退化為q階滑動(dòng)平均模型，記為MA(q)。

模型的確定目前采用的主要方法有：相關(guān)特性(自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)表現(xiàn)出不同的”截尾”和”拖尾”特性[4])、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、信息準(zhǔn)則等。在此采用相關(guān)特性和信息準(zhǔn)則來確定MEMS陀螺的隨機(jī)漂移模型。

由圖2知：偏相關(guān)函數(shù)具有明顯的拖尾現(xiàn)象。因此，模型可選MA模型或ARMA模型。

圖2 自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)

1.2.2 模型參數(shù)的估計(jì)

將ARMA(p，q)模型寫成矩陣的形式：

Yule-walker法[3]估計(jì)式(2)中的φ和θ，得到估計(jì)值

1.3 模型檢驗(yàn)

陀螺隨機(jī)漂移模型的階次一般不會(huì)超過3階。在此采用armax函數(shù)[5]來估計(jì)參數(shù)并求出AIC和FPE值，從MA和ARMA模型中選擇AIC和FPE值最小的模型。所有模型及計(jì)算得到相應(yīng)的準(zhǔn)則值如表1所示。

表1 序列模型的定階

由表1知，ARMA(2，2)的AIC和FPE值最小。因此選擇ARMA(2，2)模型，表達(dá)式為：

xk由yk經(jīng)一階差分得到，故MEMS陀螺隨機(jī)漂移時(shí)間序列模型ARIMA(2，1，2)的表達(dá)式：

其中：yk+1為 ARIMA(2，1，2)模型的輸出，即估計(jì)的時(shí)間序列，ak為白噪聲。

2 基于ARIMA(2，1，2)模型的卡爾曼濾波

基于ARIMA(2，1，2)模型，利用傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法來抑制誤差，其表達(dá)式：

C=[ 1 0 0]。W和V分別為均值為零方差為Q和R的白噪聲且互不相關(guān)。

卡爾曼濾波的遞推方程[6]：

預(yù)測(cè)、估計(jì)誤差方差陣分別為：

增益矩陣為：

預(yù)測(cè)、估計(jì)狀態(tài)分別為：

卡爾曼濾波是一種遞推算法，給定初始狀態(tài)向量及誤差方差陣，就可以通過上面的遞推方程進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證上述建立的時(shí)間序列模型及卡爾曼濾波算法的有效性，對(duì)某三軸MEMS陀螺實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真。取卡爾曼濾波初值為：X(0)=[ 0 0 0]T，P0/0為單位陣。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖3～圖5。同時(shí)也通過計(jì)算得到三軸數(shù)據(jù)濾波前后的均值和方差并進(jìn)行了比較，如表2～表4所示。

圖3 MEMS陀螺X軸濾波前后對(duì)比圖

圖4 MEMS陀螺Y軸濾波前后對(duì)比圖

圖5 MEMS陀螺Z軸濾波前后對(duì)比圖

表2 MEMS陀螺X軸濾波前后數(shù)據(jù)比較

表3 MEMS陀螺Y軸濾波前后數(shù)據(jù)比較

表4 MEMS陀螺Z軸濾波前后數(shù)據(jù)比較

由圖3～圖5得：濾波前后曲線的變化規(guī)律沒有改變，而噪聲明顯減小，濾波后的隨機(jī)漂移至少減小了原來的50%。由表2～表4得：其均值在MEMS陀螺精度范圍內(nèi)可認(rèn)為沒有發(fā)生變化，但方差卻比濾波前明顯減小了一個(gè)數(shù)量級(jí)。仿真實(shí)驗(yàn)表明：建立的ARIMA模型及卡爾曼濾波器有效減小了隨機(jī)誤差，明顯降低了隨機(jī)漂移，從而提高了陀螺精度。

4 結(jié)論

提出了一種MEMS陀螺隨機(jī)漂移誤差的有效補(bǔ)償方法。采用時(shí)間序列分析的方法對(duì)MEMS陀螺隨機(jī)漂移動(dòng)態(tài)信號(hào)數(shù)據(jù)建立ARIMA模型，運(yùn)用Matlab函數(shù)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并基于該模型設(shè)計(jì)了卡爾曼濾波器對(duì)其進(jìn)行誤差補(bǔ)償。最后對(duì)實(shí)測(cè)的MEMS陀螺數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：建立的模型和卡爾曼濾波算法有效的減小了隨機(jī)誤差，明顯的降低了隨機(jī)漂移，從而提高了導(dǎo)航精度。

[1]王棟，萬寶琳.微機(jī)械陀螺隨機(jī)漂移誤差分析與建模[J].中國(guó)水運(yùn)，2008，8(11)：147－148.

[2]李杰，張文棟，劉俊.基于時(shí)間序列分析的Kalman濾波方法在MEMS陀螺儀隨機(jī)漂移誤差補(bǔ)償中的應(yīng)用研究[J].傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2006，19(5)：2215－2219.

[3]楊叔子，吳雅，軒建平.時(shí)間序列分析的工程應(yīng)用[M].2版.武漢：華中理工大學(xué)出版社，2007.

[4]于寧莉，易東云，涂先勤.時(shí)間序列中自相關(guān)與偏相關(guān)函數(shù)分析[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2007，27(1)：54－57.

[5]曹鮮花，吳美平，胡小平.MATLAB在光纖陀螺隨機(jī)漂移建模中的應(yīng)用[J].航天控制，2007，25(1)：18－20.

[6]王志賢.最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)與系統(tǒng)辨識(shí)[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2004.