屈小媚

(西南民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川成都610041)

0 引言

多傳感器信息融合是將來自多信息源的數(shù)據(jù)和信息加以智能化的合成，產(chǎn)生比單一傳感器更精確、更完整、更可靠的描述和判斷，是一個(gè)涉及信息科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、自動(dòng)化科學(xué)的復(fù)合型學(xué)科。它的結(jié)構(gòu)模型主要有4種形式:分布式、中心式、混合式和分級式。這4種結(jié)構(gòu)的信息融合的理論研究均已取得了很大進(jìn)展。

文獻(xiàn)［1～3］針對多傳感器數(shù)據(jù)的融合問題進(jìn)行了研究，這些研究基于一個(gè)重要假設(shè)，即多傳感器信息融合的數(shù)學(xué)模型是精確知道的。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，不論軍事還是民用方面，多傳感器信息融合的數(shù)學(xué)模型常常是不準(zhǔn)確的。在多傳感器分布式系統(tǒng)中，當(dāng)觀測噪聲范數(shù)有界的情況下，如何得到系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)的穩(wěn)健估計(jì)融合是多傳感器信息融合領(lǐng)域中一個(gè)受到廣泛關(guān)注的研究方向［4～8］。解決這類問題的常用方法是最小二乘法［4］，即求使得估計(jì)誤差的范數(shù)最小的參數(shù)估計(jì)，其中范數(shù)取歐幾里德范數(shù)。最小二乘在本質(zhì)上是確定性的方法，因?yàn)椴⑽磳Ω髯兞考僭O(shè)任何統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。當(dāng)一些統(tǒng)計(jì)信息(比如觀測噪聲的方差)已知，可以用加權(quán)最小二乘。但當(dāng)出現(xiàn)異常值時(shí)，現(xiàn)有的許多估計(jì)方法表現(xiàn)出不穩(wěn)健的現(xiàn)象，模型的解不一定是在估計(jì)絕對誤差意義下最好的估計(jì)。特別是當(dāng)觀測矩陣是病態(tài)的時(shí)候，可能得到很差的估計(jì)。雖然很多方法試圖尋找有偏且是更接近真實(shí)參數(shù)z的估計(jì)，但是都不一定能使得估計(jì)的絕對誤差小，參見文獻(xiàn)［5～7］。

本文的主要策略是:首先描述出未知參數(shù)z的可行集合，為線性系統(tǒng)的所有可行解，命名為可行參數(shù)集(feasible parameter set，F(xiàn)PS)。然后選擇FPS的一個(gè)使得估計(jì)絕對誤差穩(wěn)健的中心來作為融合的估計(jì)，即切比雪夫中心。

然而，一般情況下，求一個(gè)凸集的切比雪夫中心是一個(gè)很難的問題，核心的困難在于里層的極大問題非凸。對于這個(gè)問題，文獻(xiàn)［8］提出了一個(gè)松弛的切比雪夫中心方法。本文的主要目的在于建立另外一種策略來求解FPS的切比雪夫中心。雖然這個(gè)問題在一般情況下很難，但是有2個(gè)例外情況［9，10］:一是 FPS是多面體，且包含 FPS的球是l∞范數(shù)下的球;二是FPS是有限集。本文主要利用后面一種情況，因?yàn)榭梢宰C明:在二維情況下，即z∈R2時(shí)，F(xiàn)PS的切比雪夫中心等價(jià)于有限個(gè)特殊點(diǎn)的切比雪夫中心。在高維情況下，近似的切比雪夫中心則通過投影到二維平面的方法得到。

1 多傳感器系統(tǒng)估計(jì)的穩(wěn)健切比雪夫中心融合

考慮如下的多傳感器系統(tǒng)中確定性參數(shù)z的參數(shù)估計(jì)問題

其中，Ai是已知的矩陣，wi是范數(shù)有界的噪聲。為了得到使得估計(jì)絕對誤差小且穩(wěn)健的估計(jì)融合，首先描述出未知參數(shù)z的可行集合，為線性系統(tǒng)的所有可行解，命名FPS

式中 ρi為噪聲wi的范數(shù)的上界。

可行參數(shù)集的切比雪夫中心可以通過如下的minimax優(yōu)化問題定義

切比雪夫中心的幾何意義是包含集合FPS的最小球(圓)的中心，即使得FPS上的最壞情況下的估計(jì)誤差最好的點(diǎn)。本質(zhì)上來說，這是一個(gè)優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)為估計(jì)的絕對誤差，而非數(shù)據(jù)誤差。

2 二維切比雪夫中心估計(jì)融合的求解

為了得到參數(shù)在最壞估計(jì)誤差最好意義下的穩(wěn)健估計(jì)，需要求解FPS(1)的切比雪夫中心。圖1是2個(gè)橢圓的交集的切比雪夫中心的一個(gè)例子，其中虛線的圓是最小的包含實(shí)線橢圓的交集的圓。

松弛的切比雪夫中心方法是首先將內(nèi)層的非凸極大問題松弛為對偶問題，再解對應(yīng)的凸優(yōu)化問題。關(guān)于松弛切比雪夫中心(RCC)方法的細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn)［8］。這種方法得到的切比雪夫中心不是嚴(yán)格的切比雪夫中心。下面的定理1給出在二維情況下，F(xiàn)PS的切比雪夫中心等價(jià)于幾個(gè)特殊點(diǎn)的切比雪夫中心:

定理1 設(shè)E1和E2為二維平面上的2個(gè)相交橢圓，Xi(i=1，2，3，4)為交點(diǎn)。如果E1和E2的相交區(qū)域包含k個(gè)長軸上的頂點(diǎn)，記為Dj(j=1，…，k)，那么，E1和 E2的相交區(qū)域的切比雪夫中心與集合 Xi(i=1，2，3，4)∪Dj(j=1，…，k)的切比雪夫中心是等價(jià)的。

圖1 兩個(gè)橢圓交集的切比雪夫中心Fig 1 Chebyshev center of the intersection of two ellipses

3 高維近似切比雪夫中心的算法

式中 A+i為矩陣Ai的廣義逆。并且，每一個(gè)投影FPSk，l(k≠l)都是非空的，因?yàn)樗辽侔粋€(gè)內(nèi)點(diǎn)，即真實(shí)參數(shù) z的投影 zk，l。所以，F(xiàn)PSk，l僅僅表示的是二維平面上橢圓的交，F(xiàn)PSk，l的切比雪夫中心可以通過定理1求得，記為^zk，l，對應(yīng)的半徑記為 ^rk，l。

取高維情況的ACC為式中zk=zk，lk，使得

這樣選取ACC的原因是，F(xiàn)PS在各個(gè)坐標(biāo)平面的投影的切比雪夫中心反映了投影的中心位置，即在該平面最小的最壞情況的估計(jì)誤差，因此，ACC選取對應(yīng)的每一維上的最小的最壞情況的估計(jì)誤差。

算法1高維情況下求ACC的算法

1)令z=0n，k=1，l=2，將 FPS 表示為式(3)的形式;

2)按照式(4)表示出FPS的投影FPSk，l;

3)計(jì)算出FPSk，l里面橢圓的交點(diǎn)，并選出包含在橢圓的交里的長軸頂點(diǎn)，記這些點(diǎn)的集合為Xk，l;

4)求解下面的凸優(yōu)化問題

若 l≤n-1，令 l=l+1，回到步驟(2)，否則，若 k＜n-1，令 k=k+1，l=k+1，回到步驟(2);

5)按照式(5)計(jì)算zACC。

ACC融合算法的計(jì)算復(fù)雜度集中在步驟(4)上，需要求解一個(gè)二次約束的線性規(guī)劃。因此，將原始的非凸優(yōu)化問題式(2)近似成n(n-1)/2個(gè)凸優(yōu)化問題，其中的每一個(gè)都可以高效的求解。所以，在未知參數(shù)z的維數(shù)不是很高的情況下，這里建議用ACC融合估計(jì)方法。

4 數(shù)值例子

下面通過模擬例子來比較ACC融合估計(jì)方法，RCC融合估計(jì)方法以及最小二乘方法。

例1 考慮一個(gè)未知參數(shù)為二維的兩傳感器的例子，真實(shí)參數(shù)z=［1，1］'，各傳感器的觀測由下面的線性模型產(chǎn)生

其中，矩陣Ai∈R5×2的各個(gè)元素均由均勻分布隨機(jī)產(chǎn)生，觀測噪聲wi的各個(gè)分量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，觀測噪聲的范數(shù)的上界選為 ρ‖σwi‖2，ρ=5。表1為隨機(jī)采樣100次后得到的平均融合估計(jì)誤差的平方‖z-z‖2(z是zRCC，zACC或者 zLS)。

表1的結(jié)果說明:ACC融合估計(jì)方法的平均估計(jì)誤差要低于RCC方法，并且LS估計(jì)方法的平均估計(jì)誤差最大。這是因?yàn)樵诙S情況下，ACC融合方法是精確的FPS的切比雪夫中心，RCC是松弛的切比雪夫中心。而ACC和RCC都是關(guān)于優(yōu)化估計(jì)性能的方法，LS則是基于最小數(shù)據(jù)誤差得到的估計(jì)，因此，LS估計(jì)方法的平均估計(jì)誤差是最大的。

表1 三種融合方法的估計(jì)誤差的比較Tab 1 Comparison of estimation error of the three fusion methods

例2 考慮未知參數(shù)是三維的情況，即 z=［111］'。2只傳感器的觀測也由線性模型產(chǎn)生，Ai∈R7×3，其他參數(shù)與上面的例子相同。表2為該模型隨機(jī)采樣100次后得到的平均融合估計(jì)誤差的平方‖z-z‖(z是 zRCC，zACC或者zLS)。

表2 三種融合方法的估計(jì)誤差的比較Tab 2 Comparison of estimation error of the three fusion methods

通過表2的結(jié)果可以得出:盡管ACC和RCC分別為FPS近似的切比雪夫中心估計(jì)融合和FPS松弛的切比雪夫中心估計(jì)融合，但從平均估計(jì)誤差來看，ACC方法要優(yōu)于RCC方法。

5 結(jié)論

本文主要針對多傳感器參數(shù)估計(jì)的融合問題，基于穩(wěn)健融合的策略，將未知參數(shù)的所有可行點(diǎn)作為估計(jì)范圍，然后選取它的切比雪夫中心作為估計(jì)的融合。然而，求解一個(gè)集合的切比雪夫中心是一個(gè)非常困難的問題。本文首先證明了在二維情況下，切比雪夫中心可以精確求解。對于高維情況，采取投影到各坐標(biāo)平面再融合的方法，得到一個(gè)近似的切比雪夫中心作為多傳感器估計(jì)的融合。數(shù)值模擬的結(jié)果說明:在多傳感器估計(jì)融合問題中，提出的ACC融合方法優(yōu)于已有的RCC融合方法。

［1］唐驥鋒，劉國棟.基于多傳感器融合的機(jī)器人蒙特—卡洛定位決策［J］.傳感器與微系統(tǒng)，2012，31(3):18-21.

［2］孟秀峰.一種多傳感器信息融合的優(yōu)化方法［J］.傳感器與微系統(tǒng)，2010，29(12):67-68.

［3］萬樹平，潘 鵬.基于信息熵的多傳感器數(shù)據(jù)的融合方法［J］.傳感器與微系統(tǒng)，2008，27(5):64-68.

［4］Kailath T.Lectures on linear least-squares estimation［M］.Springer-Verlag，New York，1976.

［5］Eldar Y C，Ben-Tal A，Nemirovski A.Robust mean-squared error estimation in the presence of model uncertainties［J］.IEEE Trans on Signal Process，2005，53(1):168-181.

［6］Ben-Haim Z，Eldar Y C.Maximun set estimators with bounded estimation error［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2005，53(8):3172-3182.

［7］Milanese M，Tempo R.Optimal algorithms theory for robust estimation and perdiction［J］.IEEE Trans on Automat Control，1985，30(3):730-738.

［8］Beck A，Eldar Y C.Regularization in regression with bounded noise:A Chebyshev center approach［J］.SIAM J Matrix Anal Appl，2007，29(2):606-625.

［9］Beck A，Eldar Y C.Strong duality in noncovex quadratic optimization with two quadratic constraints［J］.SIAM J Optim，2006，17(3):844-860.

［10］Xu S，F(xiàn)reund M，Sun J.Solution methodologies for the smallest enclosing circle problem［J］.Comput Optim Appl，2003，25(2):283-292.