賈 寧，陶 勝，楊志林

（合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，安徽 合肥230009）

近幾十年來，隨著計算技術(shù)和計算機應用技術(shù)的不斷普及，庫存控制模型的應用越來越廣泛。許多學者致力于變質(zhì)性物品的生產(chǎn)與銷售的庫存模型的研究，之前的大多經(jīng)典庫存模型均假設單位時間單位物品的庫存費和短缺費是常數(shù)。然而，在實際中，并非所有物品的單位時間單位物品的庫存費和短缺費是常數(shù)，如某貴重物品的儲存和短缺時這些費用也會隨著時間的增加而增加，后來，許多學者研究了庫存費和短缺費是時間函數(shù)的庫存模型。1982年，Weiss［1］較早地研究了庫存費為非線性時變函數(shù)的庫存問題；1994年，M Goh.［2］進一步分析了單位物品庫存費與庫存量呈非線性關(guān)系的庫存問題；2001年，毛曉麗［3-4］在Goh的基礎上建立了單位庫存費可變的變質(zhì)物品EOQ模型，但未考慮短缺現(xiàn)象；2007年，Mark Ferguson等［5］提出的庫存模型也認為單位庫存費與時間有關(guān)，并結(jié)合實際進行了運用，得到一些有價值的結(jié)論；2007年，Benkherouf等［6］建立了一種單位庫存費和缺貨費用均為線性時變函數(shù)的庫存模型。這些都是涉及庫存費和缺貨費用可變的庫存模型，但都未考慮變化問題，且都是假設訂貨費是固定不變的，然而一般訂貨費用應包括以下2個部分；一部分是差旅費、通訊費等，這部分費用可認為是固定不變的；另一部分是所訂物品的運輸費、裝卸費等，這部分費用則是與訂貨量有關(guān)的可變費用，本文在訂貨費用是可變的假設下，分別建立了庫存費和短缺費均是時間的函數(shù)及庫存費是庫存量的函數(shù)的2個庫存模型，并且從理論上給出了其最優(yōu)解。

1 模型的記號與假設

（1）系統(tǒng)運行在無限計劃期內(nèi)，前置期為零，瞬時補貨，補貨量不受限制，在此過程中生產(chǎn)廠家無折扣活動。允許短缺發(fā)生，且短缺量完全延期供給。

（2）Q1表示一個周期內(nèi)系統(tǒng)的最大庫存水平，Q2表示一個周期內(nèi)系統(tǒng)的最大短缺水平，而Q為每個周期的訂貨量，即Q＝Q1＋Q2。

（3）t1表示一個周期內(nèi)庫存量降為0的時刻，T是一個訂貨周期長度。

（4）p表示單位商品的進貨價格，Ar表示每次訂貨費用，且Ar＝A＋cQ，其中c表示單位訂貨的附加費用。

（5）D表示常數(shù)需求率；產(chǎn)品的變質(zhì)率α是假定是一個常數(shù)，且商品變質(zhì)后無殘值。

（6）HC表示一個周期的庫存費；SC表示一個周期的短缺費；PC表示一個周期的進貨成本；DC表示一個周期的訂貨費；TC表示庫存系統(tǒng)的平均費用。

2 基于庫存費用和短缺費用為時間的函數(shù)的庫存模型

在實際中，并非所有物品的單位時間單位物品的庫存費和短缺費是常數(shù)，如某貴重物品的儲存和短缺時這些費用也會隨著時間的增加而增加，針對這些情形可假設庫存費HC和短缺費用SC滿足下列方程：

其中h1（t），s1（t-t1）和h′1（t），s′1（t-t1）在t∈（0，＋∞）上均大于0。由以上假設可知，設I（t）為t時刻的庫存水平，則I（t）應滿足下列方程：

且I（t1）＝0，則得

則一個訂貨周期內(nèi)最大庫存量Q1＝I（0）＝D（eαt1-1）／α，最大短缺量為Q2＝I（T）＝D（T-t1）即每個周期的訂貨量為Q＝Q1＋Q2＝D（eαt1-1）／α＋D（T-t1）。

若系統(tǒng)從t＝0開始運行，則一個周期［0，T］內(nèi)的費用由以下幾個部分組成：

（1）庫存費

（2）短缺費

（3）訂貨成本

（4）訂貨費用

則一個周期［0，T］內(nèi)的庫存系統(tǒng)的平均費用為

下面問題是確定兩個決策變量t，T的最優(yōu)值，使得系統(tǒng)的平均費用TC最小，即求解如下的最優(yōu)問題：

由函數(shù)的極小值必要條件知，T和t1的最優(yōu)值應滿足下列方程

由分析可得出以下結(jié)論：

定理1 上述方程組（5）、（6）存在唯一的一組解。

證明可令（6）式左邊為

則

定理2 上述方程組的唯一的一組解（T＊，t＊1）使得平均費用函數(shù)TC達到最小值。

證明由于

則有

所以TC在（T＊，t＊1）處的海森矩陣正定。故（T＊，t＊1）是TC的整體唯一的最小值點。

3 基于庫存費為庫存量的函數(shù)的庫存模型

在現(xiàn)實生活中，庫存費用和短缺費用一般是可變情形的，且這些物品的價值一般較高，為了減少物品的變質(zhì)或因隨時間的增加而產(chǎn)生庫存費和短缺費的損失，人們就需要采取一些措施來使其總費用最少?？杉僭O此模型下單位時間單位物品短缺費用為s是常量，庫存費HC滿足方程dHC／dt＝h2（I）且h2（I）＞0在（0，＋∞）內(nèi)可導，即

而

所以庫存費

短缺費

其余費用同2中的模型，則系統(tǒng)的平均費用

類似于模型1，要確定兩個決策變量t1，T的最優(yōu)值，使得系統(tǒng)的平均費用TC最小。同理t1，T的最優(yōu)值必滿足下列方程組：

同理可得下面的結(jié)論。

定理3 上述非線性方程組（7）、（8）存在唯一的一組解。

證明令（8）等式的左邊為

而

定理4 上述方程組的唯一的一組解（T＊，t＊1）使得平均費用函數(shù)TC達到最小值。

證明由于

以及

而

所以

則

所以TC在（T＊，t＊1）處的海森矩陣正定。故（T＊，t＊1）是TC的整體唯一的最小值點。

4 特例

5 結(jié)束語

在假設經(jīng)典的經(jīng)濟批量模型中允許短缺，但短缺量完全延期供給的變質(zhì)物品庫存的基礎上，假定了在訂貨費用是可變的前提下，建立了2個模型。模型1是庫存費和短缺費均是關(guān)于時間的變化函數(shù)，模型2庫存費是關(guān)于庫存量的變化函數(shù)。并且對2個模型決策變量的解的存在性與唯一性給予證明，從不同角度研究了這些變量對庫存系統(tǒng)的最優(yōu)決策的影響，更全面而真實地揭示了這類物品的存儲規(guī)律，從而具有一定的實際意義。

［1］Weiss H.Economic order quantity models with nonlinear holding costs ［J］.European Journal of Operational Research，1982，9（1）：56-60.

［2］M.Goh.EOQ Models with General Demand and Holding Cost Functions［J］.European Journal of Operational Research，1994，73（1）：50-54.

［3］毛曉麗.變庫存費的變質(zhì)性物品的EOQ模型［J］.武漢科技大學學報（自然科學版），2001，24（3）：322-324.

［4］毛曉麗.變庫存費的變質(zhì)性物品的最優(yōu)訂貨策略［J］.經(jīng)濟數(shù)學，2001，18（3）：70-74.

［5］Mark Ferguson，Vaidy Jayaraman，Gilvan C Souza.Note：An application of the EOQ model with nonlinear holding cost to inventory management of perishables［J］.European Journal of Operational Research，2007，180（2）：485-490.

［6］Lakdere Benkherouf.On a stochastic inventory model with ageneralized holding costs［J］.European Journal of Operational Research，2007，182（2）：730-737.