李 敏 王家序 肖 科 黃 超 徐 超

重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400030

0 引言

隨著非線性、強(qiáng)耦合、多輸入多輸出機(jī)器人，數(shù)控機(jī)床，以及動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)等精密機(jī)械系統(tǒng)對(duì)定位精度要求的不斷提高，因摩擦的存在而引發(fā)的跟蹤誤差（特別是低速的情況下）、黏滑運(yùn)動(dòng)以及極限環(huán)振蕩等非線性現(xiàn)象，對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響越來(lái)越大。特別是對(duì)于一些重載的機(jī)器人［1］，摩擦甚至造成了50%的誤差。若負(fù)載、潤(rùn)滑條件以及環(huán)境條件改變，機(jī)器人系統(tǒng)中的摩擦也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，即摩擦具有非線性、時(shí)變性、不確定性及復(fù)雜性。因此，對(duì)摩擦力進(jìn)行辨識(shí)和補(bǔ)償是一項(xiàng)不可缺少、重要和關(guān)鍵的研究任務(wù)。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者以及技術(shù)人員采用了多種方法對(duì)機(jī)器人的摩擦進(jìn)行補(bǔ)償［2］，若從控制策略角度來(lái)分類，主要有以下四種：①固定摩擦補(bǔ)償技術(shù)；②基于部分摩擦特性的補(bǔ)償技術(shù)；③自適應(yīng)補(bǔ)償方法；④不基于模型的補(bǔ)償算法和神經(jīng)模糊技術(shù)。

在處理動(dòng)態(tài)摩擦這類具有不確定性、非線性的問(wèn)題方面，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種特殊的三層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有并行計(jì)算、分布式信息存儲(chǔ)、容錯(cuò)能力強(qiáng)、自適應(yīng)、學(xué)習(xí)收斂速度快等一系列優(yōu)點(diǎn)，而模糊邏輯具有較強(qiáng)的定性知識(shí)表達(dá)能力和推理能力。因此，Kosko［3］綜合兩者長(zhǎng)處，提出了基于結(jié)構(gòu)等價(jià)型融合的模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和權(quán)值都有一定的物理含義，在設(shè)計(jì)其結(jié)構(gòu)時(shí)，可以根據(jù)問(wèn)題的復(fù)雜程度及精度要求，并結(jié)合先驗(yàn)知識(shí)來(lái)構(gòu)造合適的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，這樣，網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)速度就會(huì)大大加快，并且避免了局部極值。

本文在遵循摩擦學(xué)的3個(gè)公理的前提下［4］，結(jié)合機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型及7種重要典型的動(dòng)態(tài)摩擦模型的特性［5－8］，分析、總結(jié)了各種不同的摩擦補(bǔ)償方法或技術(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了一種基于動(dòng)態(tài)摩擦模型——LuGre模型的模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分塊補(bǔ)償?shù)臋C(jī)器人數(shù)字魯棒滑?？刂扑惴?，對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)中的摩擦不確定項(xiàng)進(jìn)行有效的估計(jì)、逼近、補(bǔ)償，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)器人系統(tǒng)高精度、高可靠、長(zhǎng)壽命、大轉(zhuǎn)矩、低能耗的目標(biāo)。

1 帶摩擦補(bǔ)償?shù)臋C(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)于一個(gè)n自由度關(guān)節(jié)機(jī)器人，基于拉格朗日運(yùn)動(dòng)學(xué)建立的機(jī)器人動(dòng)態(tài)方程為

在式（1）中，F(xiàn)為非線性動(dòng)態(tài)摩擦補(bǔ)償項(xiàng)。LuGre模型是一個(gè)比較完善的摩擦模型，能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)摩擦的各種重要特性，且對(duì)摩擦環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償效果較好，已有學(xué)者用實(shí)驗(yàn)方法辨識(shí)了LuGre模型的參數(shù)［9］。但是，該模型動(dòng)態(tài)參數(shù)的辨識(shí)迄今仍是一個(gè)難題。因此，本文采用模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)估計(jì)、逼近LuGre模型的動(dòng)態(tài)參數(shù)。LuGre摩擦模型是基于鬃毛的平均變形來(lái)建模的。

鬃毛的平均變形用狀態(tài)變量zi（關(guān)節(jié)i＝1，2，…，n）表示［10］，按照下式來(lái)建模：

式中，σ0i為鬃毛的剛度。

摩擦力由鬃毛的撓曲產(chǎn)生，可以描述為

其中，σ1i是微觀阻尼系數(shù)，σ2i是黏性摩擦因數(shù)。

函數(shù)g（x2）描述了Stribeck效應(yīng)：

根據(jù)式（3）～ 式（5），可以得出：

表 2 結(jié)果顯示，三組被試的自尊和職業(yè)認(rèn)同不存在顯著差異，這是每組被試作為一個(gè)整體的結(jié)果，但死亡凸顯及親密關(guān)系喪失的壓力可能會(huì)對(duì)不同自尊水平的被試產(chǎn)生不同效應(yīng)，為進(jìn)一步明確二者對(duì)不同自尊水平被試職業(yè)認(rèn)同產(chǎn)生的影響，研究者在被試中區(qū)分了高自尊者和低自尊者，高自尊者是自尊問(wèn)卷得分中排名前27%的被試，低自尊者是自尊問(wèn)卷得分中排名后27%的被試，詳見(jiàn)表 3。

2 模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)字魯棒滑?？刂?/h2>

2.1 控制結(jié)構(gòu)

2.2 控制律的設(shè)計(jì)

設(shè)位置指令為x1d（k），x1（k）為實(shí)際的位置，則跟蹤誤差定義為

滑模函數(shù)設(shè)計(jì)為

其中，Λ為正定陣。

與滑模面函數(shù)相關(guān)的設(shè)定速度為

式中，x2di（k）為機(jī)器人各關(guān)節(jié)的給定速度；si、di對(duì)應(yīng)不同的機(jī)器人關(guān)節(jié)。

圖1 基于模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)摩擦補(bǔ)償?shù)臋C(jī)器人數(shù)字魯棒滑?？刂瓶蚣?/p>

其中，KD＝diag（Ki），Ki＞0，克服模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模誤差的魯棒項(xiàng)為Kssat（si），Ks＝diag（Ksi），Ksi＞0，i＝1，2，…，n。飽和函數(shù)設(shè)計(jì)為

式中，si為每個(gè)時(shí)刻滑模面函數(shù)的值。

自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為

其中，Γ0i、Γ3i、Γ4i為對(duì)稱正定矩陣。

2.3 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為

根據(jù)D（k＋1）－2C（k）的斜對(duì)稱特性，并將式（1）、式（7）～ 式（13）代入式（14）得

3 仿真結(jié)果及分析

圖 兩關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)

表1 機(jī)器人參數(shù)及其摩擦力參數(shù)

圖3～圖8反映了兩關(guān)節(jié)機(jī)器人的軌跡跟蹤、摩擦力矩、控制力矩隨時(shí)間的變化關(guān)系及摩擦力矩與速度的變化關(guān)系。由圖3、圖4對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)可以得出，兩關(guān)節(jié)機(jī)器人的軌跡跟蹤精度高，最大位置誤差為1×10－3rad，且動(dòng)態(tài)摩擦補(bǔ)償?shù)男Ч埠芎?。由圖5、圖6可以看出，是否對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)建模的不確定性進(jìn)行動(dòng)態(tài)LuGre摩擦補(bǔ)償，對(duì)機(jī)器人控制力矩的穩(wěn)定性影響非常大：特別是在速度換向（如2.446s）時(shí)，有動(dòng)態(tài)摩擦補(bǔ)償時(shí)，機(jī)器人連桿1控制力矩為28.0046N·m；無(wú)摩擦補(bǔ)償時(shí)，連桿1控制力矩為32.0270N·m，控制力矩產(chǎn)生跳躍式增大。而在7.3750s時(shí)則產(chǎn)生了跳躍式減小，這對(duì)機(jī)器人高精度、高可靠的操作來(lái)說(shuō)都是要極力避免或不允許的。因此，非常有必要對(duì)機(jī)器人中的摩擦力矩進(jìn)行補(bǔ)償。

圖3 機(jī)器人軌跡跟蹤

圖4 機(jī)器人摩擦力矩及補(bǔ)償

圖5 機(jī)器人控制力矩（有摩擦補(bǔ)償）

圖6 機(jī)器人控制力矩（無(wú)摩擦補(bǔ)償）

圖7 機(jī)器人摩擦模型（低速，qd（0）＝［－0.1 0］）

圖8 機(jī)器人摩擦模型（低速，qd（0）＝［00］）

圖7、圖8是低速運(yùn)行時(shí)機(jī)器人中摩擦力矩隨速度變化的相圖，其形狀類似菱形。由初始狀態(tài)O→平衡狀態(tài)時(shí)，其啟動(dòng)摩擦力矩存在一定程度的波動(dòng)或者速度超調(diào)，即機(jī)器人的初始位置姿態(tài)對(duì)機(jī)器人的穩(wěn)定性影響非常大。而達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，幅值達(dá)到最大，為24.1199N·m，且隨著時(shí)間的推移，摩擦力矩與角速度x2之間存在菱形穩(wěn)定吸引子。此時(shí)，在圖7中，連桿1相圖曲線由D→A時(shí)，速度逐漸增大，而摩擦力矩幅值由正向最大→0→負(fù)向最大，摩擦力矩表現(xiàn)為負(fù)斜率現(xiàn)象，即Stribeck現(xiàn)象。同樣地，該規(guī)律也存在于機(jī)器人連桿2。

圖9 機(jī)器人摩擦模型（高速）

4 結(jié)論

（1）本文提出了用模糊RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分塊補(bǔ)償機(jī)器人中的動(dòng)態(tài)摩擦不確定項(xiàng)及數(shù)字滑模機(jī)器人魯棒控制算法，分析了控制器的Lyapunov穩(wěn)定性，利用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線自適應(yīng)訓(xùn)練LuGre模型中的各摩擦分項(xiàng)，從而實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人高精度的軌跡跟蹤、高品質(zhì)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

（2）發(fā)現(xiàn)了在該兩自由度機(jī)器人低速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其關(guān)節(jié)中存在著Stribeck效應(yīng)、類菱形吸引子等非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象；高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其黏性摩擦為主。不合適的初始條件會(huì)使機(jī)器人的啟動(dòng)摩擦力矩出現(xiàn)較大振蕩。

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