宋曉俠，郭陳江，丁 君

（西北工業(yè)大學電子信息學院，陜西 西安 710129）

0 引言

在許多工程應用中，通常要求陣列天線要有窄的掃描波束和低的副瓣。同均勻陣列天線相比，非均勻陣列天線自由度更大，因而能在減少天線陣列建造成本、降低系統(tǒng)復雜度的同時，滿足工程要求［1］。

非均勻陣列天線的綜合問題（給定陣元數(shù)和陣列響應，確定位置和激勵分布）一直未得到很好的解決。由于非均勻陣列天線的最大相對旁瓣電平是陣元位置的非線性函數(shù)，沒有現(xiàn)存的解析方法來確定最大相對旁瓣電平，也就是說，即使已知所有陣元的位置，也沒有可憑借的解析方法來求得最大相對旁瓣電平出現(xiàn)的位置，因而陣元間距的優(yōu)化是一個非線性問題［2］，一直都是非均勻陣列天線研究的難點和重點。

雖然已有許多經(jīng)典的優(yōu)化方法（如微擾法、窮舉法及統(tǒng)計法等）可以借用，但隨著計算機技術(shù)的發(fā)展和天線系統(tǒng)變得復雜，越來越多的優(yōu)化方法用于陣列天線的綜合，常見的有共扼梯度法、擬牛頓法、神經(jīng)網(wǎng)絡、單純形法、遺傳算法和模擬退火法。差分進化算法（Differential Evolution，DE）是由 R.Stone和K.Price在1995年提出的一種簡單而高效啟發(fā)式的全局優(yōu)化算法［3］，在1996年的國際進化優(yōu)化競賽上，DE表現(xiàn)優(yōu)異，被證明是最快的進化算法之一。差分進化算法具有參數(shù)少、算法簡單、易編程等優(yōu)點，對于高維、非線性及不可微等特性的函數(shù)優(yōu)化問題表現(xiàn)出極強的生命力，因而廣泛應用于各個領(lǐng)域。與遺傳算法相比，收斂速度更快，且易于其他方法相結(jié)合［4］，而且此算法無論在數(shù)學還是在天線陣列優(yōu)化［4－5］方面都有很好的魯棒性。標準的DE算法一個重要缺陷就是在求解后期收斂速度較慢，對于有些多峰復雜函數(shù)容易出現(xiàn)“早熟”現(xiàn)象，文獻［6］針對這一缺點設計了一種快速高效的差分進化算法。目前該改進算法尚未在天線領(lǐng)域中應用，因此，將該改進的差分進化算法引入到非均勻線陣綜合。

1 優(yōu)化模型及差分進化算法

考慮優(yōu)化的不對稱非均勻線陣如圖1所示，陣列的孔徑為L，陣元數(shù)為N（N為正整數(shù)），為了保證陣列的孔徑為L，令dN＝L，d1＝0，取陣元位置為（d2，…，dN－1），滿足 min ｛di＋1－di≥d｝ ，使該線陣的最大峰值旁瓣電平（maxPSLL）最低。取陣元位置為優(yōu)化變量，且In為第n個電流激勵，u＝cosθ，θ是掃描角，0≤θ≤π，k＝2π／λ，u的取值區(qū)間排除主瓣區(qū)域，各陣元的激勵等副同相，即In＝1（n＝1，…，N），則非均勻線陣的方向圖為：

圖1 不對稱非均勻線陣的結(jié)構(gòu)Fig.1 Geometry of non－uniformly linear asymmetric array

以降低非均勻線陣的峰值旁瓣電平（PSLL）為優(yōu)化目標，依據(jù)最大峰值旁瓣電平構(gòu)造適應度函數(shù)：

式（2）中，fmax為主瓣峰值。

目標函數(shù)為：

1.1 標準差分進化算法

標準DE算法首先要隨機產(chǎn)生一個種群，然后對種群中的個體進行變異、交叉和選擇操作，從而產(chǎn)生新的一代，如此反復迭代最終收斂到最優(yōu)個體［7］。具體操作如下：

1）變異操作

對每個目標矢量變異如下

式中，r1、r2、r3∈ ［1，2，…，N］為隨機選擇的不同于i的互不相同的3個數(shù)；di（n）為第n代產(chǎn)生的新個體，F(xiàn) ∈ ［0，2］為縮放因子。

2）交叉操作

對于目標矢量di（n），將與式（1）中產(chǎn)生的變異矢量Di（n＋1），按如下規(guī)則進行交叉產(chǎn)生實驗矢量：

式中，R∈［0，1］為交叉概率因子。

3）選擇操作

DE在交叉操作之后，通常采用貪婪選擇產(chǎn)生如下子代：凡交叉后所產(chǎn)生個體之目標函數(shù)優(yōu)于其父體，就代替父代進入再下一代循環(huán)；否持父代不變。

1.2 改進的差分進化算法

針對標準DE算法易陷入早熟的缺點，在變異和交叉操作中引入文獻［6］提出的自適應縮放因子F及交叉概率因子R：

式中，F(xiàn)max為0.6，F(xiàn)min為0.2，Rmin為0.2，Rmax為0.9，nmax為迭代的最大代數(shù)?？s放因子F和交叉概率因子R的大小對算法的收斂性和收斂速度有極大的影響。為了在搜索的初始階段保持種群的多樣性，進行全局搜索，而在搜索的后期應加強局部搜索能力和加速收斂速度，以提高算法的精度。該改進DE算法能夠很好地平衡局部搜索能力和全局搜索能力。該改進算法的具體步驟如下：

1）創(chuàng)建初始群體；

2）計算群體中個體的適應度；

3）判斷是否滿足收斂準則，若滿足則輸出最佳個體，否則繼續(xù)迭代；

4）自適應變異操作；

5）自適應交叉操作；

6）選擇最佳個體作為新父代；轉(zhuǎn)到第2）步驟。

2 用改進的差分進化算法綜合非均勻線陣

將該改進的差分進化算法用來綜合非均勻線陣，在進化過程中增加了改進DE算法預處理和后處理兩個步驟，因而在優(yōu)化過程中不需要反復測定陣元是否滿足條件，簡化了優(yōu)化過程。具體描述如下：

1）初始群體的創(chuàng)建

該直線陣的優(yōu)化參數(shù)即各點源的坐標di，在［0，L］的范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生，并在優(yōu)化的過程中不斷趨近于最優(yōu)值。無論是隨機產(chǎn)生的還是進化得到的最優(yōu)值di，都需要測定其是否滿足最小間距條件，這樣會使優(yōu)化過程非常復雜。非均勻線陣的約束條件為：為了從物理上保證最大陣列孔徑，在兩端各放置一個陣元，即，dN＝L，d1＝0，假設前N－1個陣元都向后占據(jù)長度為d，則共有（N－1）d的區(qū)間上不能分布陣元，這樣孔徑上共剩余的區(qū)間為：S＝L－（N－1）d，在區(qū)間［0，S］上隨機生成N－2個隨機數(shù)并按照從小到大的順序排列，這樣即可生成陣元向量：

不難證明，上述方法生成的個體滿足了陣元數(shù)為N，孔徑為L，最小陣元間距為d。再根據(jù)上述描述，可以隨機生成M個向量X構(gòu)成初始種群。

2）改進DE算法預處理和后處理

由于陣列的陣元間距約束，通過通用的DE算法交叉變異得到子代群體很有可能不再滿足陣元間的距離約束。為了避免該問題的出現(xiàn)，需要對父代群體進行差分操作預處理提取基因信息，然后對基因信息進行自適應交叉和自適應變異兩種差分操作，最后對新的基因信息矩陣進行差分操作后處理，得到子代群體。

令由陣元數(shù)N和最小陣元間距d確定的數(shù)量矩陣為約束矩陣：

定義1：由選擇后的形式如F父代群體F1到差分操作（廣義交叉和廣義變異）前的基因矩陣P的如下變換為DE算法操作預處理：

定義2：交叉和變異操作之后的基因信息矩陣P1到子代群體F2的DE算法操作后處理：

3）改進DE算法的變異和交叉操作

通過預處理得到的父代個體，按照式（4）進行自適應變異操作，產(chǎn)生變異矢量Di（n＋1），自適應縮放因子F由式（6）確定。再判斷變異矢量是否在［0，S］，若不在，將變異矢量用［0，S］區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)取代，最后對該變異矢量的元素從小到大排列；對于目標矢量和變異矢量按照式（5），產(chǎn)生實驗矢量Ui，j，其中自適應交叉因子按照式（7）確定。

3 仿真實例

為了驗證改進的DE算法在天線應用中的有效性和穩(wěn)健性，下面用它綜合兩例線陣具有不同陣元數(shù)同一孔徑非均勻線陣，并分別與同一孔徑同一陣元數(shù)的均勻線陣進行比較。

仿真實例1：對于陣列孔徑為9.744λ（λ為波長），陣元數(shù)為17，任意陣元間距不小于0.5λ的非均勻線陣。算法的基本參數(shù)為：種群數(shù)為100，終止代數(shù)為300，采用截斷選擇，截斷閥值為0.5。為保證該方法的有效性，隨機進行了9次仿真實驗，表1列出了優(yōu)化后的PSLL最優(yōu)線陣的陣元坐標和陣元間距，PSLL值為－20.080 1dB，圖2為最優(yōu)非均勻線陣和均勻線陣方向圖。仿真結(jié)果表明：該方法可用于非均勻天線綜合，有效地降低陣列天線最大旁瓣電平。

表1 仿真實例優(yōu)化的陣元坐標Tab.1 The element positions in simulation

圖2 陣元數(shù)為17均勻陣與非均勻陣方向圖比較Fig.2 Comparison of Radiation pattern for the non－uniformly and uniform 17－element array

仿真實例2：圖3為陣列孔徑為9.744λ（λ為波長），陣元數(shù)為10的均勻陣列和非均勻線陣的方向圖，算法參數(shù)與仿真實例1相同。從圖中可以看出，均勻陣列的方向圖會出現(xiàn)柵瓣，而DE優(yōu)化的非均勻陣列沒有，因此該方法能有效避免柵瓣。圖4為仿真實例的收斂曲線，可以看出該方法具有高魯棒性，快速達到預期目標。

圖3 陣元數(shù)為10均勻陣與非均勻陣方向圖比較Fig.3 Comparison of Radiation pattern for the non－uniformly and uniform 10－element array

圖4 DE收斂曲線Fig.4 Convergence characteristics of DE

仿真實例3：運用遺傳算法（GA）綜合仿真實例1，GA的基本參數(shù)為：種群數(shù)為200，最大迭代次數(shù)為300，采用截斷選擇，截斷閾值為0.5，單點交叉，交叉概率0.6，變異概率為m ＝0.3－0.29n／nmax，隨機運行9次。圖5為DE和GA算法隨機運行9次最大旁瓣電平值對比，由圖可知，DE算法得到的結(jié)果比GA算法更優(yōu)，算法更加穩(wěn)定。

圖5 GA和DE算法運行9次的maxPSLL對比Fig.5 Contrast of maxPSLL by GA and DE running nine times

4 結(jié)論

本文將改進的差分進化算法引入非均勻陣列綜合。該改進的DE算法在天線綜合過程中，增加了預處理和后處理兩個步驟，簡化了綜合過程。仿真結(jié)果表明：該方法能有效地改善其陣列天線的性能，迅速找到最佳陣列天線單元的位置，簡單實用，快速有效，魯棒性和穩(wěn)定性好，為解決天線綜合這一問題提供了有益的參考。

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