劉智光，陳健云

(大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連，116024)

將混凝土看作宏觀均質材料，根據(jù)混凝土的變形特點，人們提出了許多宏觀斷裂模型。在宏觀尺度下，忽略混凝土的內部結構，假定為均質材料，反映了一種工程平均，是工程設計所必需的。但如果研究混凝土材料斷裂過程中的損傷演化問題和非線性力學行為產生的物理機制，材料細觀結構及其力學性質的非均勻性不可忽略。因此，描述混凝土材料斷裂過程的一種更為基本的方法是從其細觀組成結構進行研究。

自Roelfstra等[1]提出“數(shù)值混凝土”的概念以來，基于材料細觀層次上的結構特征和簡單本構關系，國內外學者相繼發(fā)展了一系列模擬混凝土斷裂的數(shù)值模型。在這些模型中，混凝土通常被視為由骨料、砂漿基質及其之間的界面過渡區(qū)(ITZ)組成的復合材料。三者的材料力學性能差異很大，如界面過渡區(qū)的滲透性明顯高于砂漿基質的滲透性，而其彈性模量和強度比砂漿基質低的。相關試驗和研究表明，混凝土性能(如強度、彈性模量、斷裂性能)很大程度上與界面過渡區(qū)的幾何和物理性能有關[2?3]。界面過渡區(qū)被認為是混凝土的薄弱環(huán)節(jié)，普通混凝土中裂紋通常在骨料邊緣形成的界面過渡區(qū)最先出現(xiàn)。然而，由于界面過渡區(qū)的厚度僅為0.01～0.10 mm[4]，一般不能直接進行網格剖分，難于在數(shù)值模型中直接考慮。因此，如何合理反映界面過渡區(qū)的幾何形態(tài)及其性質對混凝土材料的影響，是細觀數(shù)值模擬混凝土斷裂過程相關研究的重要內容。

Wriggers等[5]在數(shù)值模型中不考慮界面過渡區(qū)，將混凝土視為由骨料、砂漿基質組成的兩相復合材料，忽略了界面材料對混凝土整體性能的影響。Schlangen等[6?8]將界面過渡區(qū)的厚度增大以適應網格剖分，然后相應地改變其彈性模量和強度，但是如何改變并沒有明確的關系。Cusatis等[9?10]所采用的格構模型以各相材料串聯(lián)的方式考慮界面過渡區(qū)的彈性模量，而界面過渡區(qū)的強度并不能很好地反映。一些學者將界面過渡區(qū)作為獨立的材料組分，采用Goodman單元、零厚度界面單元等獨立界面單元技術[11?12]，應用于混凝土破壞過程模擬取得了較好的效果，但是混凝土材料中界面過渡區(qū)大量和無序的存在，往往需要進行煩瑣的前處理工作，而且有些界面單元的本構關系稍顯復雜。于慶磊等[13]基于數(shù)字圖像的手段表征混凝土的三相細觀結構，在數(shù)值模型中可以反映界面過渡區(qū)真實形狀與分布，但目前還難以嚴格從界面過渡區(qū)的尺寸量級上進行分析。

基于此，本文作者建立了復合型界面損傷模型應用于混凝土破壞過程的細觀數(shù)值模擬。該模型對多邊形隨機骨料試件進行規(guī)則化網格剖分，將內嵌界面過渡區(qū)的單元視為一種廣義復合材料單元，采用修正的Vogit-Reuss模型[14]描述單元的平均材料性質，單元的損傷通過各組成材料的(彈脆性)損傷表現(xiàn)。本文作者采用材料參數(shù)的隨機分布考慮混凝土材料力學性能的細觀不均勻性[7]。運用該模型，對單軸拉伸和壓縮加載形式下的混凝土破壞過程進行了數(shù)值模擬。

1 復合型界面損傷模型

圖1所示為混凝土隨機骨料結構、規(guī)則化有限元網格與細觀單元。參照從三維Fuller骨料級配曲線到二維平面骨料級配問題的Walraven公式[15]，可以生成二維混凝土多邊形隨機骨料試件(圖1(a))。將規(guī)則化有限元網格映射到試件上形成如圖1(b)所示的細觀單元，包括完全位于骨料內或砂漿基質中的單一材料單元，以及位于骨料與砂漿基質之間、包含界面過渡區(qū)的復合材料單元(圖1(c)，文中稱為內嵌界面材料單元)。細觀數(shù)值模擬中通常的做法是將界面過渡區(qū)的材料性能和本構關系賦予復合材料單元。但是有限元網格尺寸上往往數(shù)倍于界面過程區(qū)厚度(0.01～0.10 mm)，界面材料在復合材料單元中所占比例很小，如僅以界面過渡區(qū)的材料力學性能描述復合材料單元，顯然“削弱”了單元性能，界面過渡區(qū)發(fā)生損傷后更是如此。

圖1 混凝土隨機骨料結構、規(guī)則化有限元網格與細觀單元Fig.1 Random aggregate structure of concrete,regular FE mesh and mesoscopic element

為了在細觀數(shù)值模擬中考慮界面過渡區(qū)材料，應用復合材料力學中的勻質化技巧，建立了復合型界面損傷模型，該模型從2方面對內嵌界面材料單元進行了復合：(1)采用修正Vogit-Reuss模型確定內嵌界面材料單元的平均材料性質；(2)單元的損傷通過各組成材料的損傷體現(xiàn)。

1.1 內嵌界面材料單元的平均材料性質

考慮圖2所示的標準型內嵌界面材料單元，假設各相材料的應力和應變是均勻的，，和分別為骨料、砂漿基質和界面過渡區(qū)材料的應力(應變)張量。

圖2 標準型內嵌界面材料單元Fig.2 Standard interface embedded element

和為內嵌界面材料單元的平均應力和平均應變張量，根據(jù)修正的Vogit-Reuss模型有：

式中：la，lb和lm為單元中各相材料的組成比例。各相材料均為線彈性各向同性材料，以Cijkl為表示材料的柔度張量，它們的本構關系可表述為：

由式(1)～(9)可以得到

其中：

式中：Ea(Em,Eb)，va(vm,vb)和Ga(Gm,Gb)分別為骨料(砂漿基質、界面過渡區(qū))的彈性模量、泊松比和剪切模量。若界面過渡區(qū)材料向單元的邊傾斜(圖1(c))，則保持材料之間的比例不變，在傾斜界面確定的局部坐標系下求得內嵌界面材料單元的復合彈性矩陣，然后將其轉換到整體坐標系。由上述分析可知：(1)內嵌界面材料單元本構關系由各組分的材料力學參數(shù)、組成比例以及界面的方向確定；(2)在細觀層次上，盡管各組成材料是各向同性，但內嵌界面材料單元表現(xiàn)出各向異性。

此外，若已知內嵌界面材料單元的平均應力、平均應變，利用式(1)～(9)可得到各相材料的局部應力和局部應變。

需要說明的是，骨料形狀和位置是隨機的，規(guī)則化網格剖分會產生少量其他形式的包含多條界面過渡區(qū)的單元，這時在程序實現(xiàn)過程中做一些簡化處理，只考慮包含一條界面材料的內嵌界面材料單元。

1.2 內嵌界面材料單元的損傷

內嵌界面材料單元的損傷通過其組成材料的依次損傷體現(xiàn)，采用彈脆性損傷本構關系描述材料的細觀力學行為，且各組成材料的損傷計算模型是一致的。

采用拉斷的Mohr-Coulomb準則作為損傷判據(jù)。當材料的應力狀態(tài)或者應變狀態(tài)滿足損傷閾值時，材料開始損傷，在此之前材料為線彈性。假設材料在單軸受力狀態(tài)下滿足如圖3所示的損傷本構關系，圖中σ為應力，ε為應變，以拉為正，壓為負。

單軸拉伸作用下以理想彈脆性損傷模型描述材料的力學行為，當材料的最大拉應力超過其拉伸強度時發(fā)生拉伸破壞而失去承載力，拉伸損傷演化方程如下：

式中：D為損傷變量，εt0為單軸拉伸損傷閾值。單軸拉伸損傷判據(jù)為：

圖3 單軸載荷作用下彈性損傷本構關系Fig.3 Elastic damage constitutive law of material under uniaxial stress state

式中：1σ為最大主應力，ft為單軸抗拉強度，滿足為材料初始彈性模量。

當材料的應力狀態(tài)滿足Mohr-Coulomb準則時發(fā)生剪切損傷，即

式中：φ為細觀材料的摩擦角；fc為單軸抗壓強度(正數(shù))；3σ為最小主應力。單軸受壓狀態(tài)下?lián)p傷變量表達式為：

式中：εc0為材料達到其單軸抗壓強度時對應的最大壓縮主應變，εc0=?fcE0；λ為單元的殘余強度系數(shù)；fcr為材料的殘余抗壓強度(正數(shù))，有fcr=λfc。

按照等效應變原理，材料損傷后的應力?應變關系為：

在程序實現(xiàn)中，內嵌界面材料單元的損傷計算可按如下方式進行：得到各組成材料的應力(應變)后計算各組成材料的損傷，而單元的損傷體現(xiàn)在其復合本構關系的弱化中。為避免問題的復雜性，假設內嵌界面材料單元內各組成材料的損傷是各向同性的，但是得到的單元損傷顯然是各向異性的。

1.3 單一材料單元的損傷

對于只含骨料和砂漿基質的單一材料單元也采用上述彈脆性損傷本構關系，只是如果單元發(fā)生拉伸損傷，則考慮細觀單元的正交各向異性損傷，而如果單元發(fā)生剪切損傷，其損傷是各向同性的。

當未損傷單元最大拉應力達到拉伸損傷閾值時，在最大拉應力方向發(fā)生損傷，材料的主軸之一指向該方向，另一材料主軸方向上彈性模量不變，但剪切模量發(fā)生相應的折減；之后單元的應力狀態(tài)簡化為平面應力問題的單軸狀態(tài)，一旦簡化的應力狀態(tài)滿足拉伸損傷準則，則另一軸的損傷就會發(fā)生。材料正交異性損傷的本構關系矩陣為

其中：d1=(1?D1)，d2=(1?D2)，D1和D2分別為 2 種材料主軸上的損傷值。損傷后材料主軸與整體坐標系不重合時需將轉換到整體坐標系。

2 單軸拉伸和壓縮破壞過程模擬

考慮平面應力問題，采用邊長為100 mm的正方形混凝土多邊形隨機骨料結構數(shù)值試件(斷面骨料填充率為 45%，最大骨料粒徑為 10 mm)，界面厚度取0.1 mm，生成100×100個同一尺寸的正方形單元，包括骨料單元、砂漿基質單元和內嵌界面材料單元。這里考慮抗壓強度為30.0 MPa的混凝土，假定骨料、砂漿基質和界面材料的強度和彈性模量等力學參數(shù)服從 Weibull統(tǒng)計分布。對于材料細觀力學參數(shù)統(tǒng)計量選定問題，人們已進行了大量的研究[7,17?18]，得到了一系列較為合理、可靠的參數(shù)(數(shù)值配比方案)，基于此本文取值如表1所示。骨料、砂漿基質和界面材料的泊松比離散性相對較小，其值分別為0.18，0.20和0.25；摩擦角均取為30°，殘余強度系數(shù)為0.05，單軸抗拉強度為單軸抗壓強度的1/15。試件加載過程采用位移控制，單軸拉伸加載位移步長取0.5 μm，單軸壓縮為5 μm。試件底面節(jié)點為法向約束，其他自由。

表1 混凝土試件的 Weibull 分布力學參數(shù)Table 1 Mechanical parameters of Weibull distribution of concrete specimen

2.1 單軸拉伸試驗

為驗證數(shù)值結果的合理性，說明建議的復合型界面損傷模型有效，與文獻[19]的物理試驗進行了對比。需要指出的是，本文細觀數(shù)值試驗并不是文獻[19]試驗的模擬，無法與試驗結果進行定量比較，但比較兩者應力－應變曲線的形狀，研究相似特征和變化趨勢，驗證本文數(shù)值模型是合適的。試件在單軸拉伸荷載作用下的應力－應變全曲線如圖4所示(單軸抗拉強度為2.59 MPa，峰值點對應的拉伸應變?yōu)?.105×10?3，上升段30%峰值應力處的割線模量為34.1 GPa)。曲線包括線性上升段、非線性強化段和應變軟化段，較好地反映了試驗過程中混凝土材料的宏觀非線性力學行為，說明建立的復合型界面損傷模型能較好地模擬混凝土的應力?應變全過程曲線。

單軸拉伸斷裂過程如圖5所示，圖中黑色部分表示發(fā)生了損傷的單元，A，B，C，D表示圖4中不同加載水平。

圖4 混凝土軸拉應力?應變曲線對比Fig.4 Comparison of stress?strain curves between numerical result and laboratory experimental result of concrete specimen under uniaxial tension

圖5 混凝土單軸拉伸的損傷演化過程Fig.5 Failure process of concrete under direct tensile test

試件開始加載后，損傷在試件中緩慢、均勻地發(fā)展。加載到峰值應力的70%～80%時(如點A)，大量界面過渡區(qū)發(fā)生了損傷，形成的微裂紋均布在試件中，且都處于獨立的發(fā)展狀態(tài)。此后試件損傷發(fā)展加快，部分微裂紋出現(xiàn)貫通趨勢，在若干薄弱位置形成局部裂紋，應力?應變曲線可看到明顯的非線性響應。到峰值應力時(點B)，在試件最薄弱位置形成包含幾條局部化裂紋的主裂紋帶，但此時并未形成宏觀裂紋。隨著宏觀應變的進一步增加，新增損傷主要集中發(fā)生在主裂紋帶，其他部分的微裂紋和局部裂紋發(fā)展緩慢甚至休止(點C)。在主裂紋帶內，多條局部化裂紋繞過骨料、在界面和砂漿基質中擴展、橋接，最終形成一條大致垂直于拉伸荷載方向的宏觀裂紋，這是眾多裂紋成核過程。

在試樣破壞過程中，損傷主要發(fā)生在界面過渡區(qū)，峰值應力狀態(tài)后才有少量砂漿基質單元損傷；另外，由于采用材料參數(shù)的隨機分布考慮了混凝土各相材料的力學性能細觀不均勻性，損傷總是發(fā)生在較弱的單元材料中。圖6所示為峰值應力狀態(tài)和加載終止時發(fā)生損傷的界面過渡區(qū)和砂漿基質的抗拉強度直方圖，同時還給出了初始未加載時抗拉強度的分布。雖然混凝土被認為是宏觀均勻的，但材料細觀層次的局部性能是有差異的，通過反映這種細觀非均質性，數(shù)值模擬能夠得到損傷局部化和材料的漸進破壞過程。

圖6 不同加載狀態(tài)發(fā)生損傷的界面過渡區(qū)和砂漿基質抗拉強度直方圖Fig.6 Histogram of tensile strength in specimen of interfacial transition zone and matrix

2.2 單軸壓縮試驗

圖7所示為單軸壓縮加載作用下試件的標準化應力?應變全曲線，峰值應力為31.59 MPa，約為單軸拉伸時峰值應力的12倍，峰值應變?yōu)?.30×10?3。直到30%峰值應力，曲線上升段均保持線性，此時的彈性模量為34.0 GPa。之后可看到非線性響應，當應力增加到70%～80%峰值應力時，非線性更加明顯。從這一應力水平直至峰值應力時，應力－應變曲線顯著彎曲，隨著宏觀應變的增加，進入應變軟化段，曲線明顯下降。對比van Vliet和van Mier[20]的物理試驗結果(峰值應力約為36.5 MPa，對應的應變?yōu)?.85×10?3)，除了殘余強度段有差別，數(shù)值模擬得到的應力?應變曲線形狀與試驗結果是相似的，而且應力和應變與試驗結果都在同一量級。

圖7 混凝土單軸壓縮應力?應變曲線(軸向)Fig.7 Axial stress?strain curves of concrete specimen under uniaxial compression

圖8所示為單軸壓縮軸向應力?應變曲線與軸向應力?側向應變曲線。直至 80%峰值應力時，橫向應變(ε2)隨縱向應變(ε1)成比例增長，泊松比仍近似保持為常數(shù)(0.19～0.21)；之后，表觀泊松比開始增加。到峰值應力時，橫向應變增加越來越快，試件表觀泊松比約為0.58，與試驗值接近[21]；在軟化段橫向應變比軸向應變增加更快，表觀泊松比大于 1。文中算例模擬的是加載端光滑情況，故橫向變形增加越快。

圖8 單軸壓縮軸向應力?應變曲線與軸向應力?側向應變曲線Fig.8 Axial stress?strain curve and axial stress?lateral strain curve of concrete specimen under uniaxial compression

圖9 單軸壓縮軸向應力?“虛擬”體積應變曲線Fig.9 Axial stress?“fictitious” volumetric strain curves of concrete specimen under uniaxial compression

這里將(ε1+2ε2)定義為“虛擬”體積應變，如圖 9所示，從開始加載至應力為80%峰值應力處“虛擬”體積應變幾乎為線性減小的。當應力達到90%峰值應力時，“虛擬”體積應變達到最小值，隨后，“虛擬”體積應變的變化趨勢反向，并在達到峰值應力時發(fā)生體積膨脹。因為加載端是光滑的，峰值應力后試件擴容幅度很大。

圖10和11所示為試件單軸壓縮斷裂過程中不同加載點(圖7中A，B，C，D和E)的損傷分布和變形示意圖。圖10中黑色部分為發(fā)生損傷的單元，白色多邊形表示骨料顆粒；圖11中黑色部分代表骨料。

在加載的初始階段，直到加載到最大壓應力的80%(點A)，在試件中只有少量與加載方向平行的界面過渡區(qū)材料發(fā)生損傷。隨著加載的進行，損傷的單元增多，出現(xiàn)新的微裂紋，應力?應變曲線的斜率迅速減?。煌瑫r微裂紋不斷擴展，形成多處損傷相對集中的平行于加載方向的局部裂紋。在峰值應力點B，試件中部和右部首先出現(xiàn)了貫通的局部裂紋。進入軟化段，損傷急劇增加，大量的局部裂紋形成、彼此貫通；隨著宏觀應變的增加，如圖11中加載點C，D和E的變形圖所示，在試件中形成3條主要的宏觀裂紋，順著荷載方向(未完全)分割試件，試件最終表現(xiàn)為劈裂破壞。從圖10中加載點E的損傷發(fā)展可以看出：大部分的單元都發(fā)生了破壞，可以解釋單軸壓縮破壞的試件通常都比較碎的試驗現(xiàn)象。圖12所示為單軸壓縮試件形態(tài)試驗結果。數(shù)值模擬得到的試件破壞形式和裂紋形態(tài)與圖12的物理試驗結果[22]比較，均表現(xiàn)出較好的相似性。

圖10 單軸壓縮試件的損傷演化過程Fig.10 Failure process of concrete specimen under uniaxial compression

圖11 單軸壓縮試件變形圖Fig.11 Deformed configuration of concrete specimen under uniaxial compression

圖12 單軸壓縮試件壞形態(tài)試驗結果Fig.12 Experiments results of specimen failure mode under uniaxial compression

就本文研究內容而言，試件在單軸拉伸和單軸壓縮荷載作用下所表現(xiàn)的局部變形的形式和內容各有異同。在單軸拉伸荷載作用下，峰值應力后試件表現(xiàn)出非常明顯的局部變形，在與荷載方向垂直的一段臨界區(qū)域內形成一條宏觀主裂紋帶。隨后，破壞過程中的變形主要集中在主裂紋帶，在遠離主裂紋帶的區(qū)域為卸載，但總的變形繼續(xù)發(fā)展。考慮加載端為理想無摩擦的單軸壓縮荷載作用，試件發(fā)生劈裂破壞，形成 3條明顯的宏觀劈裂裂紋，與單軸拉伸時一樣，也是由材料的拉伸破壞造成的；峰值應力后在3條宏觀劈裂裂紋帶出現(xiàn)局部變形。因此，這進一步印證了單軸試驗中得到的、包含應變軟化段的(名義)應力?應變曲線并不能作為純粹的材料行為[9,19]。同時也表明了通過反映混凝土材料細觀結構的隨機性和非均勻性，復合型界面損傷模型具有反映材料破壞過程中的局部化變形的內蘊能力，而僅通過改進材料本構關系是難以做到的。

雖然數(shù)值模型考慮了受拉損傷和剪切損傷2種基本的機制，但是單軸拉伸和單軸壓縮破壞過程表明，在多數(shù)情況下，材料發(fā)生拉伸損傷而破壞，剪切損傷機制參與工作比例很小。

3 結論

(1)建立復合型界面損傷模型模擬混凝土材料的非線性力學行為和斷裂過程。與以往數(shù)值模型最大的不同在于：將界面過渡區(qū)作為單元的內嵌組分材料，利用復合材料力學中的勻質化技巧，充分考慮了混凝土材料的細觀結構特征和材料性能的細觀非均質性。

(2)該模型可以較好地模擬混凝土試件的單軸拉伸和壓縮破壞特征，包括斷裂行為、峰后軟化和局部化變形，特別是得到加載端無摩擦軸壓破壞的劈裂形式。

(3)基于復合型界面損傷模型的細觀數(shù)值模擬適應于規(guī)則化有限元網格，避免了直接對界面過渡區(qū)進行剖分，既簡化了前處理工作、減少了單元數(shù)量，提高了計算效率，又簡單而很合理地將界面過渡區(qū)反映在混凝土材料斷裂過程的模擬中。因此，該模型適合應用于動態(tài)荷載作用下混凝土斷裂的數(shù)值模擬和處理三維問題。

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