薛廣進(jìn)，李 強(qiáng)，王斌杰

（北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京100044）

在軌道車輛結(jié)構(gòu)動(dòng)應(yīng)力采集過程中，由于試驗(yàn)條件等一系列原因，數(shù)據(jù)中的干擾信號(hào)及部分非正常信號(hào)是無法避免的，同時(shí)在疲勞壽命預(yù)測過程中，通過線路實(shí)測獲得的應(yīng)力時(shí)間歷程都是一個(gè)有限長的子樣，由此得出的應(yīng)力譜不能確切反映某一測點(diǎn)應(yīng)力分布狀態(tài)及焊接構(gòu)架整個(gè)壽命期間出現(xiàn)的最大動(dòng)應(yīng)力參量，為此需要擬合出實(shí)測動(dòng)應(yīng)力分布，并估計(jì)其應(yīng)力最大值，然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，以得到動(dòng)應(yīng)力擴(kuò)展譜。實(shí)測動(dòng)應(yīng)力分布的擬合，一般是假設(shè)其服從某一分布，然后估計(jì)參數(shù)并檢驗(yàn)假設(shè)。通常采用的假設(shè)理論分布有威布爾分布，對數(shù)正態(tài)分布和截尾正態(tài)分布。而應(yīng)力最大值的估計(jì)一般是在應(yīng)力分布函數(shù)上反解以超越概率10-6對應(yīng)的應(yīng)力為最大應(yīng)力。

結(jié)構(gòu)應(yīng)力幅值大都服從對數(shù)正態(tài)分布或者威布爾分布［1-3］。兩種分布在動(dòng)應(yīng)力的擬合中各有其優(yōu)勢和特點(diǎn)，在實(shí)際擬合中發(fā)現(xiàn)，威布爾分布對動(dòng)應(yīng)力分布趨勢能夠很好地描述，但由于其對分布變化的敏感性，在應(yīng)力擴(kuò)展譜推斷中，表現(xiàn)出應(yīng)力最大值估計(jì)的不穩(wěn)定性。對數(shù)正態(tài)分布由于其對數(shù)特性，在最大值估計(jì)中有很好的穩(wěn)定性，但它有時(shí)對數(shù)據(jù)分布的變化反應(yīng)不明顯。

基于以上因素，利用單一的分布進(jìn)行動(dòng)應(yīng)力譜分布擬合并推斷應(yīng)力譜進(jìn)行疲勞壽命估計(jì)是不可取的，為達(dá)到良好的估計(jì)效果，本文將兩種分布結(jié)合，擬各取所長，從應(yīng)力譜統(tǒng)計(jì)推斷及疲勞損傷累計(jì)兩方面對其擬合效果進(jìn)行驗(yàn)證。

1 數(shù)據(jù)獲取

為研究不同分布類型下應(yīng)力譜統(tǒng)計(jì)推斷及疲勞損傷累計(jì)的不同效果，選取某軌道車輛結(jié)構(gòu)的某一疲勞關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行研究，測點(diǎn)位置如圖1所示，測點(diǎn)制備如圖2所示，在實(shí)際運(yùn)行過程中對該點(diǎn)進(jìn)行動(dòng)應(yīng)力數(shù)據(jù)采集。

圖1 動(dòng)應(yīng)力測試測點(diǎn)位置

圖2 動(dòng)應(yīng)力測試測點(diǎn)

試驗(yàn)采集頻率為500Hz，該頻率足以保證采樣數(shù)據(jù)的真實(shí)性。整個(gè)測試過程中列車在線路上以約250 km／h運(yùn)行，運(yùn)行期間會(huì)有各種的干擾信號(hào)，對應(yīng)力信號(hào)產(chǎn)生干擾，因此首先必須進(jìn)行信號(hào)濾波去干擾處理，其次要進(jìn)行應(yīng)力-時(shí)間歷程峰谷值挑選。并利用雨流計(jì)數(shù)法統(tǒng)計(jì)應(yīng)力循環(huán)，該計(jì)數(shù)方法的突出優(yōu)點(diǎn)是它與材料的疲勞損傷具有內(nèi)在聯(lián)系。對測點(diǎn)的應(yīng)力-時(shí)間歷程進(jìn)行雨流計(jì)數(shù)處理，可得到實(shí)測的一維應(yīng)力譜，即應(yīng)力幅值。為了統(tǒng)計(jì)描述上的方便，各級應(yīng)力幅值組和均值組采用其組中值來表示。在確定分布函數(shù)時(shí)，我們將記數(shù)后的應(yīng)力進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)，根據(jù)Luise的建議［4］，應(yīng)力分組的組間隔（應(yīng)力區(qū)間長度）由下式確定：

式中Δ為分組區(qū)間長度；R為應(yīng)力變化范圍；N為樣本總數(shù)，本文中得到一維21級應(yīng)力譜如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)21級應(yīng)力譜

2 分布擬合及檢驗(yàn)

2.1 威布爾分布

3參數(shù)威布爾分布，分布函數(shù)為：

概率密度函數(shù)為：

式中β為形狀參數(shù)；η為尺度參數(shù)；γ為位置參數(shù)，兩參數(shù)威布爾分布γ=0［5］。

利用專用數(shù)據(jù)處理軟件數(shù)據(jù)擬合功能，對應(yīng)力幅值和頻率進(jìn)行威布爾分布擬合，得到形狀參數(shù)β=1.082 4，尺度參數(shù)η=4.827 4，位置參數(shù)γ=5.000。

2.2 對數(shù)正態(tài)分布

設(shè)隨機(jī)變量X的自然對數(shù)Y=lnX服從正態(tài)分布，既lnX·N（μ，δ2），則稱X服從對數(shù)正態(tài)分布。它的概率密度函數(shù)和累積概率分布函數(shù)分別為：

式中，Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)［6］。

利用專用數(shù)據(jù)處理軟件數(shù)據(jù)擬合功能，對應(yīng)力幅值和頻率進(jìn)行對數(shù)正態(tài)分布擬合，得到均值μ=1.996 0，方差δ2=0.508 4，截尾系數(shù)k=0.776 1。

2.3 組合分布

組合分布是組合威布爾分布和對數(shù)正態(tài)分布兩個(gè)分布，并加入一個(gè)參數(shù)φ（1＞φ＞0）來分配調(diào)節(jié)兩個(gè)分布在組合分布中所占的權(quán)重。設(shè)對數(shù)正態(tài)分布所占權(quán)重為φ，為了使得在定義域上的概率密度積分為1，則威布爾分布所占權(quán)重為（1-φ），組合分布的概率密度為：

積分可得累積概率分布函數(shù)為：

利用專用數(shù)據(jù)處理軟件數(shù)據(jù)擬合功能，對應(yīng)力幅值和頻率進(jìn)行威布爾分布擬合，得到形狀參數(shù)β=1.312 7，尺度參數(shù)η=5.947 1，位置參數(shù)γ=5.000，得到均值μ=2.389 8，方差δ2=0.460 6，截尾系數(shù)k=0.494 3，權(quán)重系數(shù)φ=0.086 0。

2.4 卡方檢驗(yàn)

對所得分布的有效性可通過卡方檢驗(yàn)來驗(yàn)證［7］。取顯著性水平α=0.05進(jìn)行卡方檢驗(yàn)，查卡方分布臨界值表得（其中k為分組數(shù)，r為未知數(shù)個(gè)數(shù)），與計(jì)算所得卡方比較，結(jié)果如表2所示。

表2 各分布的卡方檢驗(yàn)

卡方檢驗(yàn)結(jié)果表明，組合分布能夠順利通過卡方檢驗(yàn)，而單獨(dú)的威布爾分布和對數(shù)正態(tài)分布均不能通過檢驗(yàn)。即組合分布對應(yīng)力譜分布擬合的有效性比單獨(dú)的威布爾分布或者對數(shù)正態(tài)分布高很多。

3 應(yīng)力譜推斷比較

實(shí)測應(yīng)力譜，最大值77.72MPa，既75.99+（75.99-72.53）／2MPa，最小值5MPa，既6.73-（10.19-6.73）／2MPa，總頻次h=759 150次。已知分布函數(shù)，每一級頻次可按下式進(jìn)行推斷，

式中F（bi）和F（ai）分別為每一區(qū)間的上下限所對應(yīng)的分布函數(shù)值，為限制篇幅簡化計(jì)算并使對比明顯，本次應(yīng)力譜按8級來處理，推斷結(jié)果如表3所示。

表3結(jié)果表明，通過所得分布反推出應(yīng)力譜，與實(shí)際譜進(jìn)行比較，組合分布的推斷譜與實(shí)測譜的差別最小，最能夠反映實(shí)際運(yùn)行中的應(yīng)力分布狀態(tài)，最能夠代表實(shí)際的應(yīng)力譜。也就表明，組合分布最能夠有效地描述應(yīng)力譜分布。

表3 各分布的應(yīng)力譜推斷

4 最大值估計(jì)及應(yīng)力譜擴(kuò)展

在進(jìn)行應(yīng)力譜編制和疲勞壽命預(yù)估時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮車輛在運(yùn)行過程中所有可能出現(xiàn)的應(yīng)力幅值，文章所得21級實(shí)測應(yīng)力譜是在一定線路長度內(nèi)測得的，是有限的樣本，需要利用有限的樣本估計(jì)為測得的可能最大值并推斷出擴(kuò)展譜。

4.1 應(yīng)力最大值估計(jì)

根據(jù)易當(dāng)祥［8］的建議，在進(jìn)行壽命估算和應(yīng)力譜編制時(shí)應(yīng)以概率為10-6的載荷（應(yīng)力）為最大載荷（應(yīng)力），利用超越概率10-6分別反解各分布，得到各個(gè)分布所對應(yīng)的可能最大值。

表4 各分布超越概率下的最大值估計(jì) MPa

通過估值與實(shí)測值比較表明，威布爾分布對最大值的估計(jì)偏小，與文章開頭所述，威布爾分布對最大值的估計(jì)不夠穩(wěn)定的說法一致。對數(shù)正態(tài)和組合分布的估值最大值均大于實(shí)測最大值，而本次所測得分析的數(shù)據(jù)不足106，故符合實(shí)際。

4.2 應(yīng)力譜擴(kuò)展

最大載荷的概率為10-6，既最大載荷是在106次循環(huán)中出現(xiàn)一次。所測數(shù)據(jù)其有效應(yīng)力循環(huán)次數(shù)不足106次，為了取得含有最大值的載荷譜，需要利用已求得分布函數(shù)將應(yīng)力循環(huán)次數(shù)擴(kuò)展到總次數(shù)n=106次，最大值為各分布所求最大值，最小值按5MPa，進(jìn)行應(yīng)力譜推斷。為了后面的疲勞損傷計(jì)算對比明顯，本次推斷應(yīng)力譜級數(shù)為8級，并將實(shí)測應(yīng)力譜的各級統(tǒng)一乘以系數(shù)，使總數(shù)也達(dá)到106。推斷結(jié)果如表5所示。

5 疲勞損傷計(jì)算

已獲得擴(kuò)展應(yīng)力幅值譜，可根據(jù)結(jié)構(gòu)材料焊接接頭的S—N曲線和Miner累計(jì)損傷法則計(jì)算各擴(kuò)展應(yīng)力幅值譜造成的損傷如式（9）：

則每一級的損傷可按下式計(jì)算：

ni為各級應(yīng)力幅值的循環(huán)次數(shù)，C1和m為S—N曲線參數(shù)。為使得對比效果明顯，按照式（10）計(jì)算各分布擴(kuò)展譜的各級損傷，結(jié)果如圖3所示，可以認(rèn)為是損傷分布圖。

表5 各分布下的擴(kuò)展應(yīng)力譜

圖3 各分布擴(kuò)展譜各級損傷對比

分析圖3，威布爾分布擴(kuò)展譜的每一級損傷都低于實(shí)際損傷，結(jié)合威布爾分布下最大值估計(jì)的結(jié)果，說明利用威布爾分布進(jìn)行應(yīng)力譜推斷和疲勞壽命預(yù)估，其結(jié)果是很保守的，不能夠使結(jié)構(gòu)的性能達(dá)到充分利用。在所有幅值的應(yīng)力中，低幅值應(yīng)力由于頻數(shù)數(shù)量大，所以對整體損傷起很大影響，而高幅值區(qū)影響較小。但通過4個(gè)分布的橫向?qū)Ρ确治?，發(fā)現(xiàn)最大幅值的確定對其他各幅值的頻次起到很大影響作用，即高幅值實(shí)際損傷小，但在應(yīng)力譜推斷中的作用是很大的，因此對整體損傷的估計(jì)也起到至關(guān)重要的作用。對數(shù)正態(tài)分布以及組合分布的擴(kuò)展譜損傷均稍大于實(shí)際譜的損傷，同時(shí)對數(shù)正態(tài)分布的擴(kuò)展譜總體趨于平坦，如文章開頭所述，對數(shù)正態(tài)分布對分布擬合有穩(wěn)定性，但對變化不夠敏感，所以線條走勢平坦。在小的地方偏大，在大的地方偏小，圖3對數(shù)正態(tài)分布線條與實(shí)際線條相比，在第2級偏低，第1級及3級以上偏高。相比之下組合分布與走勢一致，每一級均稍大于實(shí)際損傷，符合實(shí)際情況，也說明了組合分布在應(yīng)力譜分布擬合及應(yīng)力譜推斷和疲勞壽命預(yù)估方面有其獨(dú)特的優(yōu)勢。

6 結(jié)論

（1）威布爾分布與對數(shù)正態(tài)分布的組合分布對應(yīng)力譜分布擬合的有效性比單獨(dú)的威布爾分布或者對數(shù)正態(tài)分布高很多。

（2）應(yīng)力譜推斷和疲勞壽命預(yù)估中，威布爾分布的結(jié)果偏于保守，不能夠使材料性能達(dá)到充分利用；對數(shù)正態(tài)分布的結(jié)果偏于平坦；而組合分布則恰到好處，體現(xiàn)出其獨(dú)特的優(yōu)勢。

（3）在應(yīng)力擴(kuò)展譜中，低幅值應(yīng)力由于頻數(shù)數(shù)量大對整體損傷起很大影響，而高幅值區(qū)由于在應(yīng)力譜推斷中影響低幅值區(qū)的頻次而對整體損傷的估計(jì)也起到至關(guān)重要的作用。

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