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        一類具有三次項(xiàng)混沌吸引子的Si′lnikov混沌

        2012-11-22 01:46:34李建平
        關(guān)鍵詞:系統(tǒng)

        李建平,王 霞

        (河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系,河南 鄭州 451191)

        混沌系統(tǒng)在很多領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用,比如通信、信息處理、計(jì)算機(jī)圖像處理、圖像數(shù)據(jù)加密和信號(hào)檢測(cè)等.目前,非線性混沌系統(tǒng)的奇怪吸引子的研究是一個(gè)熱門課題,受到了越來越多的專家和學(xué)者的關(guān)注,比如Chen系統(tǒng)[1]、Lorenz系統(tǒng)[2]、Lü系統(tǒng)[3]與Liu系統(tǒng)[4]等.文獻(xiàn)[5]給出了一類具有三次項(xiàng)的混沌吸引子,文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]介紹了該系統(tǒng)混沌行為的存在性并給出了該系統(tǒng)的定性特征,但對(duì)這類系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的機(jī)制并沒有詳細(xì)給出,本研究將利用待定系數(shù)法和Si′lnikov定理解析地給出此類系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的機(jī)制.

        1 平衡點(diǎn)分析

        考慮如下具有三次項(xiàng)的混沌吸引子:

        (1)

        其中,x,y,z是狀態(tài)變量,a為實(shí)參數(shù).通過簡(jiǎn)單的計(jì)算可知,系統(tǒng)只有一個(gè)平衡點(diǎn)O(0,0,0),系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處的Jacobi矩陣為:

        其相關(guān)的特征方程為:

        F(λ)=λ3+aλ2+1.

        (2)

        (3)

        (4)

        因此,Δ>0和(4)保證平衡點(diǎn)O(0,0,0)是一個(gè)鞍焦點(diǎn).

        2 混沌運(yùn)動(dòng)的分析

        考慮如下的三維自治系統(tǒng):

        (5)

        其中,向量函數(shù)f(x):R3→R3∈Cr(r≥2).Si′lnikov 同宿軌道和Si′lnikov混沌的存在性如定理1.

        定理1[8]假設(shè)系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)xe是一鞍焦點(diǎn),系統(tǒng)的Jacobi矩陣在該平衡點(diǎn)處的特征值為γ和ρ±iω,滿足如下的Si′lnikov不等式:

        ω≠0,γρ<0, |γ|>|ρ|>0,

        并假設(shè)存在連結(jié)xe到其自身的同宿軌道,則

        (1) 存在定義在同宿軌鄰域內(nèi)的可數(shù)Smale馬蹄;

        (2) 對(duì)f任意充分小的C1擾動(dòng)g,擾動(dòng)系統(tǒng)

        (6)

        至少存在有限的定義在同宿軌附近的Smale馬蹄;

        (3) 原系統(tǒng)(5)和擾動(dòng)系統(tǒng)(6)均具有Smale馬蹄意義下的混沌.

        將系統(tǒng)(1)中前兩個(gè)方程代入第三個(gè)方程,得:

        (7)

        如果x(t)找到的話,y(t)和z(t)也可以被x(t)所決定.因此,尋求系統(tǒng)(1)的同宿軌可轉(zhuǎn)化為尋求滿足(7)的函數(shù)x(t)=φ(t)且滿足當(dāng)t→±∞時(shí),φ(t)→0,即可用待定系數(shù)法找到連接O點(diǎn)的同宿軌道.

        (8)

        比較上式,取等式兩邊ekαt(k≥1)的同次冪系數(shù),得到如下結(jié)果:

        當(dāng)k=1,有

        α3+aα2+1=0 .

        (9)

        式(9)恰好是系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)O處Jacobi矩陣的特征方程,故當(dāng)Δ>0時(shí),(9)式有唯一負(fù)實(shí)根α<0,且當(dāng)k>1時(shí),有F(kα)≡k3α3+ak2α2+1≠0.

        當(dāng)t<0時(shí),利用變量代換τ=-t(t<0),系統(tǒng)(1)變?yōu)椋?/p>

        (10)

        把式(10)中前兩個(gè)方程帶入第三個(gè)方程中可得:

        (11)

        (12)

        比較等式兩邊e-kβτ(k≥1)的同次冪系數(shù),當(dāng)k=1時(shí),有β3+αβ2+1=0恰好是方程(9),故α=β.當(dāng)k>1時(shí),同t>0情形,有b2k=0,b2k+1=Ψ2k+1(β)b12k+1,其中Ψ2k+1(β)同G2k+1(α).當(dāng)a1=b1時(shí),Ψ2k+1(β)=G2k+1(α),事實(shí)上,方程(12)即是方程(8).

        由系統(tǒng)的對(duì)稱性,可知其同宿軌的第一個(gè)分量具有如下的形式:

        (13)

        由上面的討論和定理1,得到下面的定理:

        定理2如果Δ>0和(4)成立,則系統(tǒng)(1)具有連接平衡點(diǎn)O自身的同宿軌道,其第一個(gè)分量具有公式(13)的形式,從而存在Smale馬蹄意義下的混沌.

        3 結(jié)語(yǔ)

        本研究討論了一類三維系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為.利用待定系數(shù)法和Si′lnikov定理詳細(xì)研究了一類具有三次項(xiàng)的混沌吸引子的混沌運(yùn)動(dòng),證明了該系統(tǒng)的同宿軌道的存在性和Smale馬蹄意義下的混沌的存在性,并給出了同宿軌道的精確表達(dá)式,從而給出了系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的判據(jù).

        參考文獻(xiàn):

        [1] Zhou T S,Chen G R,Yang Y.Chen′s attractor exists[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2004(14):3167-3178.

        [2] Wang J,Zhao M,Zhang Y,et al.Si′lnikov-type orbits of Lorenz-family systems[J].Physica A,2007(37):438-446.

        [3] Lü J,Chen G.A new chaotic attractor coined[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2002(12):659-661.

        [4] Zhou X,Wu Y,Li Y,et al.Hopf bifurcation analysis of the Liu system[J].Chaos,Solitons & Fractals,2008(36):1385-1391.

        [5] Malasoma J M.What is the simplest dissipative chaotic jerk equation which is parity invariant[J].Phys Lett A,2000(264):383-389.

        [6] Sprott J C.Chaos and Time-Series Analysis[M].New York:Oxford University Press,2003.

        [7] Vicha T,Dohnal M.Qualitative feature extractions of chaotic systems[J].Chaos,Solitons & Fractals,2008(38):364-373.

        [8] Silva C.Si′lnikov theorem-a tutorial[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I,1993,40 (10):678-682.

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