王 偉 (揚州工業(yè)職業(yè)技術學院基礎部，江蘇 揚州 225127)

反函數(shù)在高等數(shù)學中的應用歸納

王 偉 (揚州工業(yè)職業(yè)技術學院基礎部，江蘇 揚州 225127)

從極限、導數(shù)、積分、常微分等多方面對反函數(shù)的應用進行歸納，同時在較弱的條件下，給出利用反函數(shù)求導、求不定積分和定積分的相關定理，改進和推廣了相關文獻中的結果。

反函數(shù)；連續(xù)；嚴格單調；可積

反函數(shù)作為初等數(shù)學中的一個重要概念，在高等數(shù)學中仍起著非常重要的作用。鑒于反函數(shù)這一概念的特殊性，文獻[1]根據(jù)定積分的可積條件與分部積分法推出一種利用反函數(shù)求解定積分的簡捷方法；文獻[2]由換元積分和分部積分法推導利用反函數(shù)求解不定積分的方法；文獻[3]則通過建立命題、構造反例，對反函數(shù)的求導定理進行深入研究，說明定理中的條件不能保證結論成立。筆者在文獻[1-3]研究基礎上，對反函數(shù)的相關定理條件進行適當減弱，改進和推廣了相關結果，同時從極限、導數(shù)、積分、常微分等多個教學內容，對反函數(shù)的例題進行歸納，比較全面地概括了反函數(shù)在高等數(shù)學中的應用。

1 主要結果

引理1[4]設y=f(x),x∈D為嚴格增(減)函數(shù)，則f必有反函數(shù)f-1，且其f-1在其定義域上f(D)也上是嚴格增(減)函數(shù)。

引理2[4]若函數(shù)f在[a,b]上嚴格單調并連續(xù)，則反函數(shù)f-1在其定義域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上連續(xù)。

引理3[4]若f為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則f在[a,b]上可積。

引理4[4]若f為[a,b]上的單調函數(shù)，則f在[a,b]上可積。

定理1設函數(shù)y=f(x)在[a,b]上嚴格單調并連續(xù)，若存在y0∈[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]，使得[f-1(y0)]′≠0，則：

定理2設函數(shù)y=f(x)在[a,b]上嚴格單調并連續(xù)，則：

證明根據(jù)題意及引理1，2可知，函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)x=f-1(y)，且x=f-1(y)在[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上連續(xù)，即x=f-1(y)在[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上存在原函數(shù)。

根據(jù)分部積分公式，可知：

定理3設函數(shù)y=f(x)在[a,b]上嚴格單調，則:

證明不妨設函數(shù)y=f(x)在[a,b]上嚴格單調遞增。此時f(x)的值域即反函數(shù)x=f-1(y)的定義域為[f(a),f(b)]，并且反函數(shù)x=f-1(y)在[f(a),f(b)]上也嚴格單調遞增。

根據(jù)題意及引理1，4可知，函數(shù)y=f(x)在[a,b]上可積，其反函數(shù)x=f-1(y)在[f(a),f(b)]上可積。

(1)

即：

(2)

此時，可在分割T上選取點集{ξi}={xi-1}，結合式(1)可知：

即有:

又由式(2)，得：

即:

3 應 用

無論是在極限、導數(shù)或是積分的教學中，都能看見反函數(shù)存在的縮影。下面著重以函數(shù)y=arcsinx為例，對高職數(shù)學中反函數(shù)的應用進行歸納。

例1已知y=arcsinx，求導數(shù)y′。

解設y=arcsinx，其反函數(shù)為x=siny。根據(jù)定理1，可知：

解設y=arcsinx，其反函數(shù)為x=siny，則當x=a時，y=arcsina；當x=b時，y=arcsinb。根據(jù)定理3，可知：

例4求微分方程y′=arcsinx。

[1]傅湧.反函數(shù)求定積分[J].大學數(shù)學，2009，6(3)：157-160.

[2]何曉娜.應用反函數(shù)求不定積分[J].高等函授學報(自然科學版)，2010，2(1)：40-41.

[3]沈晨，金貴榮.關于反函數(shù)求導定理的注記[J].高等數(shù)學研究，2007，9(5)：43-44.

[4]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊)[M].第3版.北京：高等教育出版社，2001.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.08.057

O171.2

A

1673-1409(2012)08-N172-02

2012-04-23

王偉(1983-)，女，2005年大學畢業(yè)，碩士，講師，現(xiàn)主要從事高等數(shù)學教育方面的教學與研究工作。

[編輯] 洪云飛