尤冬梅，史敬灼

(河南科技大學(xué)，河南洛陽(yáng)471003)

0 引 言

超聲波電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型是其控制系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)與性能評(píng)估的重要基礎(chǔ)。為提高超聲波電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)控制裝置的性能，研究更為合理的控制策略，必須得到適合于控制應(yīng)用的超聲波電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型。

由于超聲波電動(dòng)機(jī)運(yùn)行機(jī)理的復(fù)雜性，基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的辨識(shí)方法成為建立超聲波電動(dòng)機(jī)控制模型的主要方法［1］。但通常認(rèn)為，辨識(shí)模型只是對(duì)超聲波電動(dòng)機(jī)在最小二乘意義下的近似，難以表述其全貌。即，辨識(shí)模型能夠描述超聲波電動(dòng)機(jī)的主要運(yùn)行特征，但不是對(duì)超聲波電動(dòng)機(jī)的完整準(zhǔn)確描述。這就使得基于辨識(shí)模型的超聲波電動(dòng)機(jī)控制器設(shè)計(jì)必須適應(yīng)于這一模型偏差。

吳宏鑫院士提出的特征模型［2］是一種基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的模型，可將其歸入辨識(shí)模型的范疇。但不同的是，已有理論證明，實(shí)時(shí)修正的低階(二階或三階)特征模型是對(duì)高階實(shí)際對(duì)象的準(zhǔn)確描述。基于特征模型，有可能得到較為簡(jiǎn)單的控制器結(jié)構(gòu)。

本文給出了超聲波電動(dòng)機(jī)特征模型的辨識(shí)建模方法，提出了三種確定辨識(shí)算法參數(shù)初值的確定方法，通過(guò)誤差比較確定了適合于超聲波電動(dòng)機(jī)建模與控制的參數(shù)初值和在線(xiàn)遞推算法，計(jì)算結(jié)果表明了所建特征模型的有效性。

1 超聲波電動(dòng)機(jī)的特征模型

廣義地說(shuō)，特征模型是一種辨識(shí)模型形式。因?yàn)闄C(jī)電能量轉(zhuǎn)換及摩擦傳遞過(guò)程的復(fù)雜性、時(shí)變性與分散性，難于通過(guò)理論分析得到能夠精確描述超聲波電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)運(yùn)行特征的數(shù)學(xué)建模。因此，目前在超聲波電動(dòng)機(jī)控制裝置的研究過(guò)程中，辨識(shí)建模方法應(yīng)用越來(lái)越廣。

辨識(shí)建模方法以實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為主要依據(jù)。建模的目的是獲取一個(gè)能夠逼近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所描述的動(dòng)態(tài)特征的模型。對(duì)于時(shí)變對(duì)象，可以采用在線(xiàn)遞推的辨識(shí)算法，來(lái)獲取系數(shù)變化的辨識(shí)模型。辨識(shí)理論指出，無(wú)論是通過(guò)辨識(shí)得到的固定系數(shù)模型還是時(shí)變系數(shù)模型，都只是對(duì)實(shí)際對(duì)象的一種近似。理想情況下，這種近似是在誤差平方和意義上的最佳逼近。由于辨識(shí)模型的“近似”特征，基于該模型的控制器離線(xiàn)設(shè)計(jì)和在線(xiàn)自適應(yīng)，也就都有了“近似”的性質(zhì)。

那么，采用適當(dāng)?shù)谋孀R(shí)方法和適當(dāng)?shù)哪Ｐ托问?，是否有可能得到更好的?duì)象模型?特征模型理論［2］表明，時(shí)變的低階模型與高階系統(tǒng)等價(jià)。即通過(guò)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)牡碗A模型形式，并采用適當(dāng)?shù)脑诰€(xiàn)辨識(shí)算法獲取時(shí)變的模型系數(shù)，所得的變系數(shù)低階模型與高階系統(tǒng)等價(jià)。

對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)而言，其特征模型是由特征變量和部分特征參量通過(guò)線(xiàn)性組合所構(gòu)成的慢時(shí)變差分方程。其中，特征變量是實(shí)際系統(tǒng)的量測(cè)輸入和量測(cè)輸出，特征參量指的是在特征模型中能夠反映這些特征變量之間關(guān)系的參量，如階次、時(shí)變的模型系數(shù)等。該模型的參數(shù)是時(shí)變的，而不是固定的。特征模型的建立過(guò)程就是一個(gè)在線(xiàn)、實(shí)時(shí)的遞推辨識(shí)過(guò)程。建立系統(tǒng)的特征模型，就是建立一個(gè)包含在線(xiàn)辨識(shí)過(guò)程的低階時(shí)變模型，每一時(shí)刻的特征模型都可以完全表述該時(shí)刻的實(shí)際系統(tǒng);即每一時(shí)刻的特征模型均與實(shí)際系統(tǒng)等價(jià)。

下面，嘗試建立超聲波電動(dòng)機(jī)的特征模型。

2 超聲波電動(dòng)機(jī)的固定參數(shù)模型

為建立超聲波電動(dòng)機(jī)的特征模型，首先需要建立其固定參數(shù)模型。原因有三，一是為特征模型結(jié)構(gòu)的選擇做準(zhǔn)備，確定具有較小誤差平方和的模型結(jié)構(gòu);二是對(duì)比辨識(shí)方法，確定合適的辨識(shí)算法來(lái)辨識(shí)特征模型的參數(shù)初值;三是用來(lái)與所建特征模型進(jìn)行模型誤差對(duì)比。

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的篩選

辨識(shí)建模方法以實(shí)測(cè)的輸入、輸出數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)。自行設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)速控制實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)［3］結(jié)構(gòu)如圖1 所示，所用兩相行波超聲波電動(dòng)機(jī)為Shinsei USR60 型，關(guān)于該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的描述參見(jiàn)文獻(xiàn)［3］。改變圖1 中的電機(jī)轉(zhuǎn)速給定值Nref及轉(zhuǎn)速控制器控制方式，測(cè)取不同轉(zhuǎn)速、不同控制動(dòng)態(tài)過(guò)程情況下的階躍響應(yīng)過(guò)程數(shù)據(jù)用于建模。選擇其中10 組數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)涵蓋了實(shí)驗(yàn)電機(jī)轉(zhuǎn)速的可調(diào)范圍0～120 r/min。除此之外，另選5 組轉(zhuǎn)速給定值分別為120 r/min、100 r/min、90 r/min、80 r/min、30 r/min的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證數(shù)據(jù)，用來(lái)驗(yàn)證所建模型的有效性，也有助于選擇辨識(shí)算法。

圖1 轉(zhuǎn)速控制實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

應(yīng)指出的是，為了保證數(shù)據(jù)測(cè)量的完整性，所測(cè)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)中包含較多的轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)運(yùn)行數(shù)據(jù)。從原理上講，辨識(shí)建模的過(guò)程是一個(gè)以擬合建模數(shù)據(jù)為目的的優(yōu)化過(guò)程，過(guò)多的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行數(shù)據(jù)可能使辨識(shí)結(jié)果背離所期望的超聲波電動(dòng)機(jī)動(dòng)態(tài)模型。所以在辨識(shí)之前，剔除了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中過(guò)多的穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)。

本文所述模型以電機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓的頻率u(k)為輸入，輸出y(k)為電機(jī)轉(zhuǎn)速。

2.2 辨識(shí)方法的選擇與對(duì)比

一般地，辨識(shí)模型可表述:

A(z－1)和B(z－1)的階次na、nb，及延遲階次d，由基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最小二乘模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)確定。選取轉(zhuǎn)速給定值為90 r/min 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型結(jié)構(gòu)的辨識(shí)，計(jì)算結(jié)果表明當(dāng)na= 3、nb= 2、d = 0 時(shí)，所得模型損失函數(shù)和最終預(yù)報(bào)誤差最小。下文按此階次進(jìn)行超聲波電動(dòng)機(jī)模型辨識(shí)。

為了確定適合于超聲波電動(dòng)機(jī)的辨識(shí)方法，分別采用最小二乘一次完成算法(LS)、遞推最小二乘法(RLS)、遞推增廣最小二乘法(RELS)、遞推極大似然法(RML)進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)，通過(guò)對(duì)比每種方法的誤差平方和來(lái)確定辨識(shí)方法。計(jì)算結(jié)果如表1 所示。

表1 不同辨識(shí)算法建模誤差對(duì)比

從建模數(shù)據(jù)的誤差平方和來(lái)看，LS 和RML 均取得了相對(duì)較小的值，分別為229．134 5和229．393 0。從驗(yàn)證數(shù)據(jù)來(lái)看，LS 的驗(yàn)證結(jié)果也與RML 相近，由于RML 相對(duì)復(fù)雜，故選用LS 來(lái)辨識(shí)特征模型參數(shù)初值。用LS 所建模型，驗(yàn)證數(shù)據(jù)的模型輸出與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比如圖2 所示，可見(jiàn)模型輸出與實(shí)測(cè)值基本一致，最大誤差絕對(duì)值為6．577 r/min。

圖2 模型輸出與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比(Nref = 120 r/min)

3 特征模型的建立

根據(jù)上述建立固定參數(shù)模型的過(guò)程，通過(guò)比較不同模型結(jié)構(gòu)時(shí)的誤差平方和，特征模型的結(jié)構(gòu)可選為三階，即na= 3、nb= 2。通過(guò)對(duì)比辨識(shí)算法的辨識(shí)效果，可選擇最小二乘一次完成算法來(lái)辨識(shí)特征模型參數(shù)初值。于是，超聲波電動(dòng)機(jī)的特征模型可寫(xiě)成:

式中:y(k－n)、u(k－n)分別為前n 時(shí)刻的轉(zhuǎn)速和頻率控制字;a1(k)、a2(k)、a3(k)、b0(k)、b1(k)、b2(k)為時(shí)變的特征模型參數(shù)。

確定模型結(jié)構(gòu)后，建立特征模型還需確定辨識(shí)算法初值和在線(xiàn)遞推算法。

3.1 辨識(shí)算法的參數(shù)初值

為使辨識(shí)算法可在線(xiàn)計(jì)算，需給定遞推算法中矩陣θ(k)、P(k)的初值θ(0)、P(0)。考慮超聲波電動(dòng)機(jī)運(yùn)行特性，提出下列三種矩陣θ(0)確定方法(下文簡(jiǎn)稱(chēng)這三種初值確定方法為方法1、方法2、方法3):

(1)由上述分析，通過(guò)比較幾種辨識(shí)方法所得的固定參數(shù)模型的誤差平方和，用誤差平方和最小的那個(gè)辨識(shí)方法所得模型參數(shù)作為參數(shù)初值。

(2)由于電機(jī)系統(tǒng)由零轉(zhuǎn)速開(kāi)始運(yùn)轉(zhuǎn)，θ 初值主要對(duì)控制的起始階段起作用，而這一起始階段必定是從零轉(zhuǎn)速開(kāi)始的低速運(yùn)行區(qū)域。所以，可將θ初值設(shè)置為低速情況下的離線(xiàn)辨識(shí)所得參數(shù)。

(3)對(duì)于不同的給定轉(zhuǎn)速，分別用最小二乘一次完成算法作三階的模型辨識(shí)，每個(gè)給定轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)一組模型參數(shù)，該參數(shù)分別作為各給定轉(zhuǎn)速辨識(shí)參數(shù)的初值，若有多組相同給定轉(zhuǎn)速的數(shù)據(jù)，其初始參數(shù)值θ(0)為該多組觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)組合起來(lái)最終辨識(shí)的結(jié)果。

狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差陣P 與模型參數(shù)修正作用大小直接相關(guān)，協(xié)方差越大，說(shuō)明估計(jì)值與真實(shí)值相差越大，增益向量也會(huì)越大，所產(chǎn)生的模型參數(shù)修正作用也越大。本文在辨識(shí)計(jì)算過(guò)程中，取P 的最初值為足夠大的正值，并將辨識(shí)計(jì)算結(jié)束時(shí)的P值取做下次辨識(shí)計(jì)算過(guò)程的初值，以增加辨識(shí)算法在少量數(shù)據(jù)情況下的收斂能力。

3.2 辨識(shí)算法的確定

在確定了初始參數(shù)的取值后，就要確定特征模型的在線(xiàn)遞推算法，為了選擇更為合適的在線(xiàn)遞推算法，分別采用RLS、RELS、RML 進(jìn)行遞推計(jì)算，根據(jù)特征模型具有參數(shù)時(shí)變的特點(diǎn)，計(jì)算程序在遞推過(guò)程中的誤差平方和，即每一次采樣就計(jì)算一次誤差平方和。通過(guò)對(duì)比每種方法的誤差平方和來(lái)選擇合適的辨識(shí)方法。計(jì)算結(jié)果如表2 所示。

表2 各辨識(shí)方法不同確定參數(shù)初值方法的誤差平方和對(duì)比

表2 中，對(duì)于RLS、RELS、RML 這三種辨識(shí)方法，不論從建模數(shù)據(jù)還是驗(yàn)證數(shù)據(jù)來(lái)看，第三種參數(shù)初值確定方法的誤差平方和都小于前兩種;再對(duì)比第三種參數(shù)初值確定方法，RELS 和RML 的誤差平方和都小于RLS 的誤差平方和，其中RML 略大于RELS。綜合考慮，特征模型的建立選擇增廣最小二乘辨識(shí)方法(RELS)作為在線(xiàn)遞推算法，同時(shí)選擇第三種參數(shù)初值的確定方法。

基于超聲波電動(dòng)機(jī)的特征模型式(2)，選用第三種參數(shù)初值的確定方法，通過(guò)增廣最小二乘辨識(shí)算法的循環(huán)遞推計(jì)算，驗(yàn)證數(shù)據(jù)的模型輸出與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖如圖3 所示，分別選取Nref= 120 r/min和Nref= 30 r/min 的驗(yàn)證數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。與圖2 相比，圖3(a)中最大誤差絕對(duì)值僅為2．62 r/min，模型誤差有明顯改善;圖3 (b)中最大誤差絕對(duì)值0. 56 r/min，誤差也較小，模型計(jì)算輸出逼近實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)輸出。

圖3 模型輸出與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比

圖4 為數(shù)據(jù)在辨識(shí)過(guò)程中的誤差變化情況。從圖中可以看出，誤差在零值上下浮動(dòng)，并且偏離0 值不遠(yuǎn)，即轉(zhuǎn)速誤差不大，所建特征模型的模型輸出與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相當(dāng)接近，特征建模能夠準(zhǔn)確逼近對(duì)象特性。

圖4 辨識(shí)過(guò)程中的誤差變化

3.3 固定參數(shù)模型與特征模型對(duì)比

由固定參數(shù)模型與特征模型的建立過(guò)程可得表3。

表3 不同辨識(shí)算法固定參數(shù)模型與特征模型誤差平方和對(duì)比

通過(guò)對(duì)比固定參數(shù)模型與特征模型建模、驗(yàn)證數(shù)據(jù)的誤差平方和可知，分別從建模數(shù)據(jù)和驗(yàn)證數(shù)據(jù)來(lái)看，對(duì)于這三種辨識(shí)算法的計(jì)算結(jié)果，無(wú)論哪一種算法均是特征模型的誤差平方和小于固定參數(shù)模型的誤差平方和。

另外，由表4 的誤差對(duì)比可知，轉(zhuǎn)速為120 r/min 時(shí)，與固定參數(shù)模型輸出相比特征模型輸出誤差明顯較小;轉(zhuǎn)速為30 r/min 時(shí)，特征模型的誤差也不大?？梢?jiàn)，特征模型輸出更逼近實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)輸出，能夠?qū)?shí)際系統(tǒng)更完全的表述。

表4 驗(yàn)證數(shù)據(jù)的模型輸出誤差對(duì)比

4 結(jié) 語(yǔ)

數(shù)據(jù)對(duì)比表明，與通常的辨識(shí)模型相比，特征模型能夠更好地表述超聲波電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)的內(nèi)在非線(xiàn)性特征。本文的工作為超聲波電動(dòng)機(jī)的控制建模提供了一種可行方法，也為進(jìn)一步運(yùn)動(dòng)控制策略設(shè)計(jì)提供了必要基礎(chǔ)。

本文所述建模方法也可用于傳統(tǒng)電磁電機(jī)的建模。

［1］ 張新良，譚永紅．行波型超聲電機(jī)基于輸入電壓變化的參數(shù)模型辨識(shí)［J］．系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2008，20(13):3492－3495．

［2］ 吳宏鑫，胡軍，謝永春．基于特征模型的智能自適應(yīng)控制［M］．北京:中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，2008．

［3］ 呂琳，史敬灼．基于蟻群優(yōu)化的超聲波電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模糊辨識(shí)建模［J］．微特電機(jī)，2011，39(10):58－60．