李延升，竇滿峰，樊 鑫

(1．西北工業(yè)大學(xué)，陜西西安710129;2．第二炮兵駐西安地區(qū)軍事代表室，陜西西安710032)

0 引 言

隨著永磁材料、新型控制理論及電機(jī)理論的發(fā)展，永磁電動機(jī)在航空、航天和航海領(lǐng)域顯示出廣泛應(yīng)用前景。永磁電動機(jī)的定子鐵心有齒槽，導(dǎo)致電機(jī)氣隙磁場是非理想梯形波，其中含有幅值較大的齒諧波，當(dāng)電機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)永磁體與有槽電樞鐵心相互作用產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩，使電機(jī)振動，產(chǎn)生噪聲。要準(zhǔn)確計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩，應(yīng)先計(jì)算永磁電動機(jī)氣隙內(nèi)的磁場分布。傳統(tǒng)的磁路法估算氣隙磁場誤差較大，有限元分析法雖然可以保證計(jì)算精度，但其前處理過程復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間長，尤其在設(shè)計(jì)初步階段，電機(jī)尺寸參數(shù)需多次調(diào)整時(shí)計(jì)算麻煩。

解析法可以較準(zhǔn)確地計(jì)算氣隙磁場分布，觀察氣隙磁場與結(jié)構(gòu)尺寸之間關(guān)系。文獻(xiàn)［1－2］忽略了電機(jī)齒槽的影響，利用解析方法求解出氣隙磁場的分布波形。文獻(xiàn)［3］考慮了電機(jī)的齒槽效應(yīng)，采用等效磁路方法構(gòu)造氣隙磁導(dǎo)分布函數(shù)求解氣隙磁場分布，但等效磁路法忽略了齒槽效應(yīng)對氣隙磁場徑向分布的影響，使得計(jì)算結(jié)果與實(shí)際磁場分布有一定偏差。文獻(xiàn)［4－5］通過對齒槽槽型變換，構(gòu)造出氣隙相對比磁導(dǎo)函數(shù)，該磁導(dǎo)函數(shù)只能求出電機(jī)氣隙磁場分布的徑向分量，切向分量無法計(jì)算。文獻(xiàn)［6－7］均采用文獻(xiàn)［3］中的氣隙磁導(dǎo)分布函數(shù)，分析計(jì)算電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)［8－10］利用基于能量法和傅里葉分解的解析法得到齒槽轉(zhuǎn)矩的表達(dá)式，通過分析氣隙磁密的傅里葉系數(shù)來獲得減小齒槽轉(zhuǎn)矩的方法。與能量法相比，麥克斯韋應(yīng)力法計(jì)算得到的齒槽轉(zhuǎn)矩更接近有限元分析法［11］。

本文采用一種基于復(fù)數(shù)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)計(jì)算表貼式永磁電動機(jī)空載氣隙磁場分布的解析方法。該方法以施瓦茲－克里斯托夫方程式為基礎(chǔ)，通過對無齒槽電機(jī)氣隙磁場的分析，構(gòu)造無齒槽電機(jī)氣隙磁密的解析模型，再通過四組保角變換，構(gòu)造出考慮齒槽效應(yīng)的復(fù)數(shù)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步獲得有齒槽電機(jī)的空載氣隙磁場解析模型;基于這個(gè)模型，利用齒壁兩側(cè)受力計(jì)算出齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型。通過有限元分析驗(yàn)證了該解析模型的準(zhǔn)確性，并通過對極弧系數(shù)和槽口寬度的研究，提出減小齒槽轉(zhuǎn)矩的方法。

1 氣隙磁場的解析分析

永磁電動機(jī)的氣隙磁場是影響電機(jī)性能的重要指標(biāo)。用解析的方法計(jì)算氣隙磁場分布，可以觀察到氣隙磁場分布與結(jié)構(gòu)尺寸之間的關(guān)系。圖1 是表貼式永磁樣機(jī)的結(jié)構(gòu)剖圖，區(qū)域I 為氣隙，區(qū)域II 為永磁體，定子上的槽型為梯形槽，Rr為轉(zhuǎn)子外徑，Rm為磁鋼外徑，Rs為定子內(nèi)徑。

圖1 永磁電動機(jī)的結(jié)構(gòu)剖圖

1.1 定子無齒槽時(shí)氣隙磁場

解析法求解有齒槽電機(jī)的氣隙磁密需要求解無齒槽模型的氣隙磁密。為獲得無齒槽情況下表貼式永磁電動機(jī)的氣隙磁密解析方程，作如下假設(shè):

(1)定、轉(zhuǎn)子鐵心的導(dǎo)磁率為無限大;

(2)忽略端部影響與定子齒槽影響;

(3)永磁體均勻充磁，充磁后每極磁鋼上磁化強(qiáng)度大小相等。

那么，磁場強(qiáng)度矢量H 和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B 在氣隙和永磁體中有以下關(guān)系:

式中:μ0為真空中磁導(dǎo)率;μr為磁介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率;M 為永磁體的磁化強(qiáng)度，在極坐標(biāo)下磁化強(qiáng)度可表示:

式中:Mr和Mθ為磁化矢量的徑向和切向分量，分別進(jìn)行Fourier 展開如式(3)，F(xiàn)ourier 系數(shù)Mrn和Mθn由磁鋼的充磁方式?jīng)Q定。

當(dāng)電機(jī)的磁鋼徑向充磁時(shí)，式(3)中磁化強(qiáng)度徑向和切向分量的Fourier 系數(shù)分別:

式中:Br為永磁體剩磁;αm為極弧系數(shù)。

根據(jù)磁通連續(xù)性原理▽B = 0，區(qū)域Ⅰ中的Laplace 方程和區(qū)域II 中的準(zhǔn)泊松方程分別:

求解區(qū)域Ⅰ、Ⅱ中的基于標(biāo)量磁位的方程［1］，由磁位與磁場強(qiáng)度的關(guān)系，最終求得表貼式永磁電動機(jī)忽略齒槽時(shí)在區(qū)域Ⅰ中的氣隙磁場解析表達(dá)式，其徑向與切向分量分別用式(6)表示［2］。

1.2 定子有齒槽時(shí)氣隙磁場

考慮定子齒槽結(jié)構(gòu)對電機(jī)氣隙磁場的影響是分析和計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩的關(guān)鍵。對于有齒槽電機(jī)，進(jìn)入齒槽內(nèi)的磁場主要分布在槽口附近［4］，所以假設(shè)用一無限槽深的徑向開口槽代替梯形槽，如圖2 所示。槽口寬度等于實(shí)際槽口寬，θ1是槽下沿角，θ2是槽上沿角，θs是槽距角。

針對S 域下無限槽深模型，以施瓦茲－克里斯托夫方程式為基礎(chǔ)，通過4 種保角變換，如圖3 所示，將有齒槽情況下的定子變換為無齒槽進(jìn)行分析，如圖4 所示，K 域?yàn)闊o齒槽時(shí)的坐標(biāo)系，Z、W、T 為中間坐標(biāo)系。

圖2 S 域一無限槽深模型

圖3 4 種坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換過程

圖4 K 域槽模型

四種保角變換的變換公式T1～T4 如下［12］:

在K 域下，無齒槽影響的氣隙磁密Bk復(fù)數(shù)表達(dá)式為:

那么，考慮定子有齒槽的氣隙磁密Bs和Bk的關(guān)系可通過4 組變換獲得，即:

將式(7)代入式(9)，得:

式中:λ = λa+ jλb，λ 為復(fù)數(shù)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)，其實(shí)部和虛部分別對應(yīng)著氣隙磁密的徑向和切向分量，其波形如圖5 所示。通過對λ 進(jìn)行傅里葉分解，可得到一極下的復(fù)數(shù)氣隙磁導(dǎo)分布:

式中:Qs為電機(jī)槽數(shù)，N 為傅里葉級數(shù)展開相數(shù)，λan和λbn為傅里葉系數(shù)，可由圖5 計(jì)算而來。

圖5 齒槽兩側(cè)磁力矢量圖

綜合式(6)和式(8)～式(11)，計(jì)算得到有齒槽表貼式永磁電動機(jī)的氣隙磁密的徑向和切向分量解析表達(dá)式:

2 齒槽轉(zhuǎn)矩的解析分析

永磁電動機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的存在是由永磁體與定子間的作用力在切向方向的分量產(chǎn)生的。根據(jù)麥克斯韋理論，齒槽轉(zhuǎn)矩可根據(jù)單個(gè)齒槽兩側(cè)齒壁所受的切向力求得［10］。如圖5 所示，n 為槽壁上的法向量，B 為槽表面的磁密矢量，tm為槽壁上的切向力矢量。

根據(jù)麥克斯韋應(yīng)力法，單個(gè)槽壁上切向力tm可表示:

在S 域內(nèi)，槽壁上受到的切向力徑向分布，對tm沿著定子表面(r = Rs)處向磁密可忽略(r→∞)處進(jìn)行曲線積分，如式(14)所示。通過保角變換，將齒槽映射到W 域，齒槽表面受到的切向力效果不變。所以，計(jì)算切向力的曲面積分的積分變量ds 可換成W 域內(nèi)的dw 計(jì)算，積分區(qū)間w = a 和w = b 對應(yīng)著S域內(nèi)齒尖位置，w = 1 對應(yīng)S 域中槽無限深處，如圖5 所示。

式中:la為電機(jī)有效長度，將代入式(14)，那么切向力在W 域內(nèi)的表達(dá)式可寫為:

式中:

所以，切向力Fslot就等于單個(gè)齒槽產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩。綜合式(6)、式(16)、式(17)和式(18)，計(jì)算單個(gè)齒槽的齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式:

式中:k 由式(7)計(jì)算，Bk(w)由式(6)和式(8)在氣隙半徑r = Rs時(shí)求解，此時(shí)無齒槽影響的氣隙磁密切向分量Bθ為零。根據(jù)疊加法，可以得到N 個(gè)槽時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩Tc:

利用式(19)計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩時(shí)，當(dāng)w 取a 或b時(shí)，式(17)中分母等于零，所以a、b 必須用a + ε 和b－ε 代替，ε 是a 和b 的一個(gè)無窮小量。假定定子鐵心的磁導(dǎo)率為無限大，那么a 和b 處的磁密通過保角變換計(jì)算為無限大。從定子表面齒尖位置(w= a 和w = b)沿著槽壁到槽底部(w = 1)，磁密以指數(shù)方式依次遞減［12］。

3 解析模型實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證解析模型的正確性，針對已成功應(yīng)用某領(lǐng)域的一臺高速永磁電動機(jī)，相關(guān)參數(shù)如表1 所示，根據(jù)式(6)、式(11)、式(12)、式(19)和式(20)建立永磁電動機(jī)氣隙磁通密度和齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型，與有限元模型對比分析。

表1 電機(jī)的主要參數(shù)

圖7 表明，本文解析法求解的氣隙磁密分布與有限元法分析的結(jié)果吻合，驗(yàn)證了本文解析模型的正確性。圖8 是永磁電動機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析法和有限元分析波形對比圖。其中，有限元法計(jì)算的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值Tcmax為0．009 1 N·m;解析法為0．008 4 N·m，相差7．6%?？梢?，此解析方法計(jì)算的齒槽轉(zhuǎn)矩準(zhǔn)確度高，滿足電機(jī)設(shè)計(jì)初期參數(shù)多次調(diào)整時(shí)對齒槽轉(zhuǎn)矩的計(jì)算需求。

4 齒槽轉(zhuǎn)矩參數(shù)分析

通過對永磁電動機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析計(jì)算，其大小主要受槽數(shù)、極對數(shù)、極弧系數(shù)、槽口寬度、有效氣隙寬度等因素影響。針對表1 的永磁樣機(jī)，在槽數(shù)和極對數(shù)不變的情況下，利用齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型分析不同極弧系數(shù)和槽口寬度對電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。

圖9(a)是槽口寬度為2 mm，不同極弧系數(shù)αm時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩對比，當(dāng)極弧系數(shù)αm= 0．9 時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩隨角度的變化先正后負(fù);當(dāng)αm= 0．85 和αm= 0．8時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩隨角度的變化先負(fù)后正。可見，極弧系數(shù)在0．85 和0．9 之間存在一個(gè)臨界點(diǎn)，當(dāng)αm=0. 858 時(shí)，通過解析法計(jì)算的齒槽轉(zhuǎn)矩最小，與有限元計(jì)算的結(jié)果相同，如表2 所示。圖9(b)為極弧系數(shù)為0. 85，不同槽口寬度b0時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩對比，當(dāng)槽口寬度b0越小，齒槽轉(zhuǎn)矩越小，但b0過小時(shí)，加工電機(jī)時(shí)定子繞組下線困難。圖9(c)是不同αm和b0，有限元法計(jì)算的齒槽轉(zhuǎn)矩。表2 是不同極弧系數(shù)和槽口寬度，解析法和有限元法計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩幅值的對比。

表2 表明，極弧系數(shù)和槽口寬度變化時(shí)，解析法和有限元法計(jì)算的Tcmax變化趨勢相同。與樣機(jī)所選極弧系數(shù)0．85 和槽口寬度2 mm 相比，當(dāng)αm=0. 858 時(shí)，解析法計(jì)算的Tcmax減小75%，有限元計(jì)算的Tcmax減小88%;當(dāng)b0= 1mm 時(shí)，解析法計(jì)算的Tcmax減小57%，有限元計(jì)算的Tcmax減小78%。所以，有限元方法驗(yàn)證了解析法分析極弧系數(shù)和槽口寬度對齒槽轉(zhuǎn)矩影響的正確性。

表2 不同極弧系數(shù)和槽口寬度時(shí)Tcmax對比

綜上所述，利用解析法計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩時(shí)，通過分析電機(jī)參數(shù)對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，合理選擇相關(guān)參數(shù)可有效減小齒槽轉(zhuǎn)矩。

5 結(jié) 論

本文采用一種基于復(fù)數(shù)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)的解析方法計(jì)算表貼式永磁電動機(jī)氣隙磁場分布和齒槽轉(zhuǎn)矩，利用此方法分析極弧系數(shù)和槽口寬度對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，結(jié)果表明:

(1)本文解析法計(jì)算氣隙磁場分布曲線與有限元法分析結(jié)果吻合，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值相差7．6%，驗(yàn)證了解析模型的正確性;

(2)針對本文仿真的4 極24 槽電機(jī)，當(dāng)極弧系數(shù)等于0．858 時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩最小，與樣機(jī)選取的0. 85 相比，齒槽轉(zhuǎn)矩減小75%;考慮到電機(jī)加工時(shí)繞組下線，選取槽口寬度1 mm，齒槽轉(zhuǎn)矩減小57%;

(3)該解析模型可反映電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化與所求氣隙磁場及齒槽轉(zhuǎn)矩的對應(yīng)關(guān)系，在電機(jī)設(shè)計(jì)前期可作為參考依據(jù)。

［1］ Zhu Z Q，Howe D，Bolte E，et al．Ackermann．Instantaneous magnetic field distribution in brushless permanent magnet dc motors，Part I:Open－circuit field［J］．IEEE Transactions on Magnetics，1993，29(1):124－135．

［2］ Zhu Z Q，Howe D，Chan C C．Improved analytical model for predicting the magnetic field distribution in brushless permanent magnet machines［J］．IEEE Transactions on Magnetics，2002，38(1):229－238．

［3］ Zhu Z Q，Howe D．Instantaneous magnetic field distribution in brushless permanent magnet DC motors，Part III:Effect of stator slotting［J］．IEEE Transactions on Magnetics，1993，29(1):143－151．

［4］ 王興華，勵(lì)慶孚，王曙鴻．永磁無刷直流電機(jī)磁阻轉(zhuǎn)矩的解析計(jì)算方法［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2002，22(10):104－108．

［5］ 王興華，勵(lì)慶孚，王曙鴻．永磁無刷直流電機(jī)空載氣隙磁場和繞組反電勢的解析計(jì)算［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2003，23(3):126－130．

［6］ Kumar Y P，Bauer P．Improved Analytical model of a permanent magnet brushless DC motor［J］．IEEE Transactions on Magnetics，2008，44(10):2299－2309．

［7］ Proca A B，Keyhani A．Analytical model for permanent magnet motors with surface mounted magnets［J］．IEEE Transactions on Energy Conversion，2003，18(3):386－391．

［8］ Lin D，Zhou P，Cendes Z J．Analytical prediction of cogging torque in spoke type permanent magnet motors［C］/ /International Conference on Electrical Machines，2008:1－5．

［9］ 楊玉波，王秀和，丁婷婷，等．極弧系數(shù)組合優(yōu)化的永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩削弱方法［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2007，27 (6):7 －11．

［10］ Li Zhu，Jiang S Z，Zhu Z Q，et al．Comparison of alternate analytical Models for predicting cogging torque in surface mounted permanent magnet machines［C］/ /IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference，2008:2－6．

［11］ Zarko D，Ban D．Analytical calculation of magnetic field distribution in the slotted air gap of a surface permanent－magnet motor using complex relative air－gap permeance［J］．IEEE Transaction on Magnetics，2006，42(7):1828－1837．

［12］ 范堅(jiān)堅(jiān)，吳建華．計(jì)及齒槽極間隔Halbach 型磁鋼的PMSM氣隙磁場解析分析［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2010，30 (12):98－105．