張希娜，張 霞

(蘭州理工大學(xué)技術(shù)工程學(xué)院理學(xué)部，甘肅 蘭州 730050)

簡(jiǎn)單迭代法的斂散性討論

張希娜，張 霞

(蘭州理工大學(xué)技術(shù)工程學(xué)院理學(xué)部，甘肅 蘭州 730050)

通過(guò)分析判斷簡(jiǎn)單迭代法的收斂條件ρ(B)(迭代矩陣B的譜半徑)的不同情況，比較完整系統(tǒng)地給出了簡(jiǎn)單迭代法斂散性的各種情況。

簡(jiǎn)單迭代法；斂散性

設(shè)方程組AX=b，則簡(jiǎn)單迭代法(Jacobi迭代)的迭代格式為:

(1)

1 主要結(jié)果

命題1若ρ(B)<1，則對(duì)于任何初始向量X(0)和常數(shù)項(xiàng)g，由迭代格式(1)產(chǎn)生的向量序列{X(k)}收斂且極限與初值無(wú)關(guān)。

有εk+1=Bεk，k=1,2,…。即：

εk+1=Bεk=B2εk+1=…=Bk+1ε0

由命題1可以看出，迭代是否收斂只與迭代矩陣的譜半徑有關(guān)，而迭代矩陣B是由系數(shù)矩陣A演變過(guò)來(lái)的，所以迭代是否收斂只與系數(shù)矩陣A以及變換的方式有關(guān)，而與初始迭代向量的選擇無(wú)關(guān)。

(2)

式(1)與式(2)相減，并反復(fù)遞推，有：

(3)

又在復(fù)數(shù)域上任何矩陣B相似于它的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，即有可逆陣P，使得P-1BP=J，其中：

式中，ni是B的特征值λi的重?cái)?shù)，并且有(n1+n2+…+nr=n),i=1,2,…,r。從而：

代入式(3)有：

(4)

不妨設(shè)Y1=(y1,…,yn1)′≠0，將其代入式(4)中得:

(5)

其中：

所以：

(6)

又因Y1≠0,即y1,y2,…,yn1不全為零，如果yn1≠0，則：

(7)

命題4若ρ(B)=0，則對(duì)任意初始向量X(0)，X(n)一定是方程X=BX+g的解向量，其中n是矩陣B的階數(shù)。

(8)

由于迭代格式(1)收斂的快慢與迭代矩陣B的譜半徑ρ(B)的大小有關(guān)，ρ(B)越小，收斂越快，當(dāng)ρ(B)最小為零時(shí)，此時(shí)收斂最快，由命題4知當(dāng)?shù)鷑步時(shí)就可以得到精確解。

2 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單迭代法迭代矩陣的譜半徑的討論可以看到，對(duì)于任一方程組的斂散性都可以通過(guò)計(jì)算ρ(B)并加以判斷而得到，也就是說(shuō)計(jì)算ρ(B)是一種通用的方法，而對(duì)于一些特殊的矩陣，有一些特殊的判別方法，如對(duì)稱(chēng)正定、嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)等等［1］。

［1］徐萃薇，孫繩武.計(jì)算方法引論［M］.北京：高等教育出版社,2003.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.07.004

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A

1673-1409(2012)07-N008-02

2012-04-13

張希娜(1983-)，女，2005年大學(xué)畢業(yè)，碩士，助教，現(xiàn)主要從事馬爾可夫骨架過(guò)程及其應(yīng)用方面教學(xué)與研究工作。

［編輯］ 洪云飛