宋士勤 唐樹(shù)喬

(亳州師范高等?？茖W(xué)校理化系，安徽 亳州 236800；安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039) (亳州師范高等?？茖W(xué)校理化系，安徽 亳州 236800；東南大學(xué)數(shù)學(xué)系，江蘇 南京 211100)

帶有梯度項(xiàng)的非線性雙曲方程正解的爆破

宋士勤 唐樹(shù)喬

(亳州師范高等?？茖W(xué)校理化系，安徽 亳州 236800；安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039) (亳州師范高等?？茖W(xué)校理化系，安徽 亳州 236800；東南大學(xué)數(shù)學(xué)系，江蘇 南京 211100)

研究了具有齊次Dirichlet邊界和變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)的非線性雙曲方程ut-div(|u|p-2u)=|u|q(x)(p>2)在(x,t)∈Ω×(0,T)(T>0)內(nèi)非負(fù)解的爆破性質(zhì)，并運(yùn)用特征函數(shù)方法得到方程解在有限時(shí)刻爆破的條件。

變指標(biāo)；梯度項(xiàng)；非線性雙曲方程；特征函數(shù)方法；爆破

近幾年來(lái)，帶有變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)的非線性雙曲方程的爆破問(wèn)題開(kāi)始慢慢步入人們的視野［1-5］。下面，筆者討論帶有變指標(biāo)反應(yīng)項(xiàng)和梯度項(xiàng)的非線性雙曲方程：

(1)

式中，Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域；p>2；初值u0(x),u1(x)是非平凡的非負(fù)連續(xù)有界函數(shù)；連續(xù)函數(shù)q(x)則滿足條件：

(2)

1 預(yù)備知識(shí)

2 解的有限時(shí)刻爆破

Ω1={x∈Ω:|u(x,t)|<1}Ω2={x∈Ω:|u(x,t)|≥1}

于是：

根據(jù)Ω2的定義，可以得到：

(3)

由Poincaré不等式，當(dāng)u∈C1(Ω)時(shí)，有：

(5)

(6)

考慮方程：

(7)的非負(fù)解產(chǎn)生爆破的條件，有如下結(jié)論：

定理2設(shè)Ω?RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，p>2,α>-1,q>1,q(x)是滿足條件(2)的連續(xù)函數(shù)，且u(x,t)是方程(1)的一個(gè)正解。那么對(duì)于任意的一個(gè)充分大的初值u0(x)，一定存在一個(gè)有限的時(shí)間T>0，使得u(x,t)在有限時(shí)刻T爆破。

證明類似于定理1的證明，有:

［1］Antontsev S N,Shmarev S I. Existence and uniqueness of solutions of degenerate hyperbolic equations with variable exponents of nonlinearity［J］.J Math Sci，2008，150：2289-2301.

［2］Bokalo M M,Pauchok I B.On the well-posedness of a Fourier problem for nonlinear hyperbolic equations of higher order with variable exponents of nonlinearity［J］.Mat Stud，2006，26：25-48.

［3］Antontsev S N,Shmarev S I. A model porous medium equation with variable exponent nonlinearity: existence,uniqueness and localization properties of solutions［J］.Nonlinear Anal，2005，60：515-545.

［4］Pinasco J P. Blow-up for hyperbolic and hyperbolic problems with variable exponents［J］. Nonlinear Anal，2009,71：1094-1099.

［5］Bai Xueli,Sining Zheng. A semilinear hyperbolic system with coupling variable exponents［J］. Annali di Mathematic Pura ed Application,2011,190 (3): 525-537.

［6］Alaa N，Pierre M.Weak solutions of some quasilinear elliptic equations with data measures ［J］.SIAM J Math AnaI，1993，24：23-25.

［7］ Glassey R T. Blow-up theorems for nonlinear wave equations［J］. Math Z，1973，32：183-203.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.07.002

O175.26

A

1673-1409(2012)07-N003-02

2012-04-16

安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(KJ2011Z258)；江蘇省基礎(chǔ)研究計(jì)劃(自然科學(xué)基金項(xiàng)目)(BK2010404)；亳州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)教育專業(yè)(安徽省省級(jí)特色專業(yè)建設(shè)點(diǎn))。

宋士勤(1973-),男，1998年大學(xué)畢業(yè)，碩士，講師,現(xiàn)主要從事微分方程方面的教學(xué)與研究工作。

［編輯］ 洪云飛