陶靖軒

（中國(guó)計(jì)量學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，浙江 杭州310018）

長(zhǎng)期以來(lái)，工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程的過(guò)程能力指數(shù)與產(chǎn)品不合格品率之間的關(guān)系研究是質(zhì)量專業(yè)學(xué)術(shù)界和實(shí)際工作者關(guān)注的一個(gè)熱點(diǎn)，人們熱衷于尋找一個(gè)確定的模型用過(guò)程能力指數(shù)準(zhǔn)確地?fù)Q算產(chǎn)品不合格品率，但是很快就發(fā)現(xiàn)單靠一個(gè)過(guò)程能力指數(shù)（CP或CPK）很難表達(dá)出過(guò)程產(chǎn)品的不合格品率［1］；而給定某個(gè)過(guò)程產(chǎn)品的不合格品率也不能唯一確定過(guò)程能力指數(shù).比如：針對(duì)過(guò)程分布中心和標(biāo)準(zhǔn)中心（規(guī)范中心）重合時(shí)的情況以及分布中心與標(biāo)準(zhǔn)中心不重合時(shí)的情況推導(dǎo)的相關(guān)數(shù)學(xué)模型：

其中，TU、TL分別表示某產(chǎn)品規(guī)定的單一質(zhì)量特性值上、下容差限，Cp表示中心重合算出的程能力指，k代表偏移系2ε／T（里T 指容差限度），p指某過(guò)程產(chǎn)品的不合格品率.

然而在生產(chǎn)過(guò)程中過(guò)程中心常常發(fā)生偏移，以上所說(shuō)CP僅僅是一個(gè)理想化的過(guò)程能力指數(shù)（又稱潛在的過(guò)程能力指數(shù)），當(dāng)過(guò)程已經(jīng)發(fā)生偏移時(shí)，利用偏移后的過(guò)程能力指數(shù)能否確定過(guò)程的產(chǎn)品不合格品率？?jī)蓚€(gè)生產(chǎn)過(guò)程產(chǎn)生了相同的不合格品率是否說(shuō)明他們有相同的過(guò)程能力？這兩個(gè)概念之間究竟是什么關(guān)系？本文對(duì)此進(jìn)行討論，就教于同行專家.以下首先從過(guò)程能力的基本概念說(shuō)起.

1 過(guò)程能力的概念

過(guò)程能力人們常常稱作工序能力，也有作者說(shuō)［1］是因?yàn)榻陮⒎?wù)業(yè)質(zhì)量管理引入質(zhì)量管理，故改稱過(guò)程能力.它被定義為過(guò)程滿足客戶期望的能力，過(guò)程能很好滿足客戶要求，就認(rèn)為過(guò)程有能力；反之就說(shuō)過(guò)程能力不足.仔細(xì)地說(shuō)是指過(guò)程加工質(zhì)量方面的能力，它是衡量過(guò)程加工一致性的準(zhǔn)繩，是穩(wěn)態(tài)下的最小波動(dòng)［3］.

當(dāng)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)時(shí)——也即處于受控狀態(tài)，這時(shí)我們認(rèn)為過(guò)程一般只受隨機(jī)因素影響，而隨機(jī)因素一般可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的，他們的合成也具有隨機(jī)性的性質(zhì)，考慮到極限定理的約束作用，質(zhì)量特性值的波動(dòng)常常按正態(tài)分布處理.1951年美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)根堡姆（Feigenbaum）和朱蘭（Juran）給出了過(guò)程能力的量化定義：即用6倍過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差描述過(guò)程內(nèi)在的波動(dòng)——用6西格瑪作為過(guò)程能力的測(cè)度.在正態(tài)分布前提下，Kane（1989）、Montgomerg （1991）、Wheeler And Chambers（1992）、Wheeler（1998）給出了更一般的定義，即處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)下（統(tǒng)計(jì)穩(wěn)態(tài)）的過(guò)程覆蓋過(guò)程分布中心99.73%的寬度.

以上定義可以說(shuō)主要表達(dá)了過(guò)程的“聲音”（Voice of process），并沒(méi)有將過(guò)程能力與過(guò)程加工產(chǎn)品的規(guī)范（規(guī)格—也即客戶期望）直接聯(lián)系起來(lái)，而產(chǎn)品的不合格品率p是與以規(guī)格為標(biāo)準(zhǔn)的量化指標(biāo)，所以它也無(wú)法與過(guò)程能力建立量化的關(guān)系模型.

當(dāng)然這并不能說(shuō)，過(guò)程能力B＝6西格瑪與不合格品率p沒(méi)有關(guān)系，從理論和實(shí)踐兩方面分析，B＝6西格瑪越小，過(guò)程質(zhì)量能力越強(qiáng)，由此過(guò)程生產(chǎn)的產(chǎn)品不合格品率應(yīng)該越低.

早在1991年，Carr就提出將期望不合格率（不合格品率之比——作者注）作為過(guò)程能力指數(shù)，用觀測(cè)值來(lái)估計(jì).Yeh Bhattacharya提出了兩個(gè)新過(guò)程能力指數(shù)，一個(gè)是用期望的不合格品率與實(shí)際的不合格品率（不合格品率觀測(cè)值）的比值p0／.另一個(gè)過(guò)程能力指數(shù)是：

其中，上標(biāo)L、U分別表示X 是小于LSL（的不合格品率），還是大于USL（的不合格品率）.但這兩個(gè)過(guò)程能力指數(shù)只不過(guò)是從不合格品率符合程度的角度觀察過(guò)程能力，與本文所述過(guò)程能力不是一個(gè)概念.

2 過(guò)程能力指數(shù)

朱蘭（Juran）1961年用過(guò)程波動(dòng)B與規(guī)格長(zhǎng)度T來(lái)決定是否改進(jìn)過(guò)程，從而使過(guò)程的波動(dòng)B和規(guī)格極限（規(guī)范限，也即加工產(chǎn)品質(zhì)量特性值合格與否的標(biāo)準(zhǔn)）緊密聯(lián)系起來(lái)，從而使B與產(chǎn)品的不合格品率p建立了某種聯(lián)系.重大的突破是1974年，Juran提出了過(guò)程能力比這一過(guò)程波動(dòng)與過(guò)程規(guī)范（規(guī)格）相比的標(biāo)準(zhǔn).從此之后，各種關(guān)于過(guò)程能力的研究全面展開(kāi)，尤其是近20年間美國(guó)、日本、中國(guó)、英國(guó)等國(guó)家至少發(fā)表了500多篇相關(guān)的學(xué)術(shù)論文，一大批學(xué)者修改了過(guò)程能力假設(shè)的前提，向非正態(tài)、非對(duì)稱公差、多元化等方向發(fā)展.但是，這些研究不論做了多少改進(jìn)，其基本的研究模式并未脫離能力比這一框架.

傳統(tǒng)的過(guò)程能力指數(shù)計(jì)算要求滿足四個(gè)基本條件：（1）過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)，沒(méi)有異常因素出現(xiàn)，也沒(méi)有發(fā)生漂移和震蕩.因此對(duì)于需要評(píng)價(jià)的對(duì)象過(guò)程，應(yīng)首先判斷是否處于穩(wěn)態(tài)，只有穩(wěn)態(tài)才能計(jì)算過(guò)程能力指數(shù)；（2）過(guò)程觀測(cè)的產(chǎn)品質(zhì)量特性值服從正態(tài)分布（本文不涉及非正態(tài)分布情形）；（3）樣本具有代表性而且相互獨(dú)立；（4）規(guī)范限能夠準(zhǔn)確地反映顧客要求.在此前提之下，最早（Kane 1986）提出的過(guò)程能力指數(shù)是：

（4）式（5）式稱為單側(cè)過(guò)程能力指數(shù)，綜合（4）、（5）人們規(guī)定了CPK即第二代過(guò)程能力指數(shù)：

從式（1）人們可以在中心重合的理想條件下由過(guò)程能力指數(shù)CP唯一確定過(guò)程產(chǎn)品的不合格品率，而利用（6）的派生公式則有：

由此可得：

但是公式（8）并不是CPK與p的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系；換言之，給定CPK不可能唯一確定過(guò)程產(chǎn)品的不合格品率（詳細(xì)的論述請(qǐng)參看文獻(xiàn)［5］）；他們的具體關(guān)系是利用CPK推斷出了過(guò)程產(chǎn)品的不合格品率p的一個(gè)上界（詳細(xì)推導(dǎo)請(qǐng)參看文獻(xiàn)［7］）.

（9）式說(shuō)明CPK提供了過(guò)程產(chǎn)品的不合格品率的一個(gè)上界，所以CPK（實(shí)際的過(guò)程能力指數(shù)）與CP相比更能反映實(shí)際的質(zhì)量能力水平.而且由此我們知道了較強(qiáng)的過(guò)程能力（CP或CPK較大），不合格品率p至多不會(huì)超過(guò)上界2φ（-3CPK）.也就是說(shuō)好的過(guò)程能力必將導(dǎo)致產(chǎn)品的合格品率1-p較高；而較高的產(chǎn)品合格品率1-p是好的過(guò)程能力的一個(gè)必要條件——或者說(shuō)沒(méi)有較高的合格品率1-p，就不可能會(huì)有較高的過(guò)程能力.

3 過(guò)程產(chǎn)品的不合格品率與過(guò)程能力指數(shù)的關(guān)系

現(xiàn)在我們提出另一個(gè)問(wèn)題，過(guò)程產(chǎn)品的合格品率1-P較高，是否意味著一定是較好的過(guò)程能力呢？以下我們從兩個(gè)方面進(jìn)行討論：

現(xiàn)在我們將A廠和B廠的產(chǎn)品進(jìn)行比較，盡管A廠和B廠的產(chǎn)品都滿足公差要求，甚至B廠產(chǎn)品的不合格品率比A廠還要小，但從質(zhì)量水平來(lái)看，A廠卻優(yōu)于B廠，一個(gè)內(nèi)行（專業(yè)）的采購(gòu)人員如果想購(gòu)買一批產(chǎn)品（而不是一個(gè)產(chǎn)品），一定會(huì)購(gòu)買A廠的產(chǎn)品，因?yàn)锳廠產(chǎn)品質(zhì)量特性值小誤差的比例比B廠高.其原因在于A，B兩廠產(chǎn)品質(zhì)量特性值分布性質(zhì)有本質(zhì)不同，A廠產(chǎn)品測(cè)量值近似服從正態(tài)分布，因此有更大比率產(chǎn)品接近理想目標(biāo)值m0，在使用過(guò)程中其損失較小，也就是說(shuō)有更高的質(zhì)量水平，其生產(chǎn)過(guò)程有更強(qiáng)的工序能力.

2）在質(zhì)量特性值為屬性總體（比如只考慮產(chǎn)品是否合格品或不合格品）的離散情況下，如果我們研究總體的過(guò)程不合格品率P，假設(shè)也是對(duì)比兩家工廠的產(chǎn)品，當(dāng)其不合格品率相同情況下，能否說(shuō)明他們有相同的過(guò)程能力（指數(shù)）呢？不能.因?yàn)檫@還應(yīng)該看兩個(gè)樣本的大小——即樣本量.單純看不合格品率P1＝P2＝P是不能說(shuō)明問(wèn)題的，因?yàn)闃颖玖咳绻煌╪1≠n2），那么兩個(gè)樣本的不合格品率p1、p2的抽樣誤差是不相同的：

我們看到，樣本量越大抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差就越小，這一不合格品率P就越穩(wěn)定，過(guò)程能力就越強(qiáng).

我們可以用下面的例子進(jìn)一步說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題：要比較兩個(gè)優(yōu)秀射手的能力水平問(wèn)題，如果他們的命中率都是100%，而其中一個(gè)人是只射擊一槍而碰巧命中，而另一個(gè)人是連續(xù)打了100槍，槍槍命中.顯然，我們判斷后者的命中水平應(yīng)該更高一些，主要原因在于后者的射擊水平發(fā)揮比較穩(wěn)定，其擊中能力是久經(jīng)考驗(yàn)的.從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度看就是后者命中率的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差更小.

4 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，過(guò)程能力指數(shù)與過(guò)程生產(chǎn)的產(chǎn)品不合格品率是兩個(gè)有密切聯(lián)系同時(shí)又有本質(zhì)不同的概念，過(guò)程能力指數(shù)是穩(wěn)態(tài)情況下過(guò)程波動(dòng)大小的相對(duì)測(cè)度，而不合格品率是將產(chǎn)品總體看作屬性總體時(shí)不合格品數(shù)的結(jié)構(gòu)（比重）相對(duì)數(shù)指標(biāo)；通常用來(lái)表示符合性質(zhì)量水平.它們都與性能指標(biāo)的規(guī)范限發(fā)生聯(lián)系，從不同的角度、不同的層面描述了過(guò)程的質(zhì)量水平：好的過(guò)程能力（質(zhì)量能力）可以保正產(chǎn)品的不合格品率限制在某一水平之下，也就是說(shuō)好的不合格品率是良好的過(guò)程能力的必要條件，如果沒(méi)有好的產(chǎn)品不合格品率，就不可能有較高的過(guò)程能力.

另一方面，僅僅能保證產(chǎn)品的不合格品率并不是過(guò)程能力好的充分條件；產(chǎn)品合格與否只不過(guò)是其質(zhì)量特性值是否符合起碼的規(guī)范限，而僅僅符合起碼的規(guī)范限只是一個(gè)較低的要求，并不是說(shuō)過(guò)程產(chǎn)品都達(dá)到了優(yōu)質(zhì)品的要求，不足以說(shuō)明生產(chǎn)過(guò)程一定有好的過(guò)程（質(zhì)量）能力.要提高產(chǎn)品的質(zhì)量水平，不僅要盡最大努力降低產(chǎn)品的不合格品率，而且更需要查找分析波動(dòng)產(chǎn)生的原因，采取措施加以消除，納入標(biāo)準(zhǔn)，真正提高過(guò)程能力.

［1］王斌會(huì)，胡志萍，過(guò)程能力指數(shù)與不合格品綠的關(guān)系模型［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2007（1）：57-61.

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［3］全國(guó)質(zhì)量專業(yè)技術(shù)人員職業(yè)資格考試用書編委.質(zhì)量專業(yè)理論與實(shí)務(wù)（中級(jí)）［M］.北京：中國(guó)人事出版社，2012：167-171.

［4］伍 愛(ài).質(zhì)量管理學(xué)［M］.廣州：暨南大學(xué)出版社，99：135.

［5］陶靖軒，陳意華，宋明順，等.關(guān)于過(guò)程能力分析的若干思考［J］.科技通報(bào)，2006（3）：34-37.

［6］SON S，KENT T，ZACKS S.現(xiàn)代工業(yè)統(tǒng)計(jì)：質(zhì)量與可靠性的設(shè)計(jì)及控制［M］.北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2002：378-380.

［7］陶靖軒，度量工業(yè)過(guò)程能力的重要指標(biāo)CPK［J］.中國(guó)計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（3）：63-69.