李春華,汪立民

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631; 2.華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,江西南昌 330013)

關(guān)于右型B半群的真覆蓋

李春華1,2,汪立民1*

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631; 2.華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,江西南昌 330013)

給出了右型B半群真覆蓋的定義. 證明了相應(yīng)于一右型B半群的任意真覆蓋為作用于左消去幺半群上的相應(yīng)于該右型B半群的真覆蓋,并給出了相應(yīng)于右型B半群的真覆蓋的結(jié)構(gòu)定理.

右型B半群; 真覆蓋; 左消去幺半群

1 引言與預(yù)備知識(shí)

自FOUNTAIN[1]給出了右ample半群與右型B半群的定義，國內(nèi)外許多半群學(xué)者對(duì)各類右ample半群(左ample半群等)進(jìn)行了研究[2-3],但對(duì)右型B半群(型B半群等)的研究還不多見[4]. 作為后續(xù)研究，本文將研究右型B半群的真覆蓋.

據(jù)文獻(xiàn)[5]，半群S上的等價(jià)關(guān)系*定義為:S的元素a,b具有關(guān)系*當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x,yS1,ax=ay?bx=by.

(1)a*e;

對(duì)應(yīng)地,可定義lpp半群及左型B半群. 關(guān)于rpp(或lpp) 半群類的研究可參見文獻(xiàn)[6]、[7].

證明由σ及右型B半群的定義容易推得.

定義1 令T為右型B半群, 在T上給出如下定義：

(D1)若σ∩*=1T, 則稱T為真右型B半群；

(D2) 若T為真右型B半群，φ為T到另一右型B半群S上的*-同態(tài)，且對(duì)任意eE(S),有e=φ(f), 其中fE(T)(即φ滿足冪等元提升)，則稱T為相應(yīng)于S的真覆蓋；

(D3) 若T為相應(yīng)于S的真覆蓋，M為左消去幺半群且T/σ?M, 則稱T為相應(yīng)于S作用在M上的真覆蓋.

引理3 令S為右型B半群, 若S為真的，則S為E-酉的.

2 主要結(jié)果

定義2 令S為右型B半群,M為含幺元1的左消去幺半群，θ為M到P(S)的映射，其中P(S)為S的子集族. 則稱θ為全滿的，若下列各款成立：

(A4)θ(1)=E(S);

(s1,m1)(s2,m2)=(s1s2,m1m2)

顯然，T關(guān)于上述乘法為半群. 若θ為全滿的，則下列各款成立：

(3)T為右型B半群;

[(e,1)(f,1)(a,h)]*=(efa,h)*=((efa)*,1)=

((ea)*(fa)*,1)=((ea)*,1)((fa)*,1)=

(ea,h)*(fa,h)*=[(e,1)(a,h)]*[(f,1)(a,h)]*.

下證T為相應(yīng)于S的真覆蓋.為此，按如下建立映射φ:T→S, (a,g)a. 則φ為好定義且為滿同態(tài).另一方面，令φ[(a,g)]=φ[(b,h)]. 則a=b. 故a*(S)b,即φ為*-同態(tài). 又令eE(S), 則存在 (b,h)S使得e=φ[(b,h)]. 即e=bθ(h).又由條件(A4), 得h=1.故(b,h)=(e,1)E(T). 因此，T為相應(yīng)于S的真覆蓋.

現(xiàn)證T為相應(yīng)于S作用在M上的真覆蓋. 為此，建立映射α:Tσ→M, (a,g)σg. 則α為雙射. 事實(shí)上，令(a,g)σ,(b,h)σTσ,且 (a,g)σ=(b,h)σ, 即(a,g)σ(b,h). 則由定理1的(4), 得aσSb,g=h. 故α為好定義. 又令α[(a,g)σ]=α[(b,h)σ], 其中(a,g)σ,(b,h)σTσ.則g=h. 進(jìn)而，a,bθ(g). 由條件(A6),aσSb. 又由定理1的(4), 得(a,g)σ(b,h).即(a,g)σ=(b,h)σ,故α為單的. 而α為滿的是顯然的. 因此，α為雙射.另一方面，對(duì)任意 (a,g)σ,(b,h)σTσ, 有

α[(a,g)σ(b,h)σ]=α[(ab,gh)σ]=gh=

α[(a,g)σ]α[(b,h)σ].

故α為同構(gòu). 即T為相應(yīng)于S作用在M上的真覆蓋. 至此，定理前半部分已證畢.

反之，令φ為某一真右型B半群T到S的滿的*-同態(tài)且φ滿足冪等元提升. 取M=Tσ(T). 則T為相應(yīng)于S作用在M上的真覆蓋. 按如下定義映射θ:

M→P(S),gθ(g),

下證T?T′. 建立映射ψ:T→T′,t(tφ,tσ), 易證ψ為T到T′的滿同態(tài). 令(tφ,tσ)=(uφ,uσ), 其中t,uT. 則tφ=uφ,tσ=uσ. 又由φ為*-同態(tài)， 得t*(T)u. 于是，t(*(T)∩σ(T))u. 由T為真右型B半群，得t=u. 故T?T′, 進(jìn)而T′為真右型B半群. 為了證θ滿足條件(A5)，令s,s′θ(g)且s*s′.則(s,g),(s′,g)T′. 由定理1, (s,g)*(T′)(s′,g). 又ψ為同構(gòu)，故?t,t′T,使得ψ(t)=(tφ,tσ)=(s,g)及ψ(t′)=(t′φ,t′σ)=(s′,g). 于是tσ(T)t′.又由σ定義，得et=et′, 其中eE(T). 進(jìn)而，

[ψ(e)[(s,g)]=ψ(e)ψ(t)=ψ(et)=

ψ(et′)=ψ(e)ψ(t′)=[ψ(e)][(s′,g)].

于是，(s′,g)σ(T′)(s,g). 因此，(s′,g)(*(T′)∩σ(T′))(s,g). 又T′為真右型B半群， 故(s′,g)=(s,g). 即s=s′, 于是θ滿足條件(A5).

[1] FOUNTAIN J B. Adequate semigroups[J]. Proc Edinburgh Math Soc, 1979, 22(1): 113-125.

[2] FOUNTAIN J B. Proper left type A monoids revisited[J]. Glasgow Math J, 1993,35(2): 293-306.

[3] GUO Xiaojiang, GUO Yuqi. The translational hull of a strongly right type A semigroup[J]. Science in China :Ser A, 2000,43(1): 6-12.

[4] LI Chunhua, WANG Limin. On the translational hull of a type B semigroup[J]. Semigroup Forum, 2011, 82(3):516-529.

[5] FOUNTAIN J B. Abundant semigroups[J]. Proc London Math Soc, 1982, 44(1): 103-129.

[6] SHUM K P, REN Xueming. The structure of right C-rpp semigroups[J]. Semigroup Forum, 2004, 68(2): 280-292.

[7] GUO Xiaojiang, YU Bingjun, ZHAO Ming. Pseudo C-rpp semigroups[J]. Acta Math Sin:Engl Ser, 2010, 26(4): 629-646.

[8] PETRICH M. Inverse semigroups[M]. New York: Jhon Wiley and Sons Inc, 1984.

[9] 趙娟,汪立民.一類冪等元集閉包是Clifford半群的逆半群上的同余[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2009,33(1): 10-12.

[10] FOUNTAIN J B. A class of right pp monoids[J]. Quart J Math Oxford, 1977,28(2):285-330.

Keywords： right type B semigroup; proper cover; left cancellative monoid

AProperCoveronaRightTypeBSemigroup

LI Chunhua1,2, WANG Limin1*

(1. School of Mathematics, South China Normal University， Guanzhou 510631, China;2. School of Basic Sciences, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China)

The concept of a proper cover of a right type B semigroup is introduced. Furthermore, it is proved that any proper cover for a right type B semigroup is a proper cover over a left cancellative monoid. A structure theorem of proper covers for a right type B semigroup is also given.

2010-11-15

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11061014);江西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(07GZS0715);江西省教育廳科研基金項(xiàng)目(10GJJ453)

*通訊作者，wanglm@scnu.edu.cn

1000-5463(2012)01-0054-04

O152.7

A

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】