謝旺生,翁佩萱

(華南師范大學數(shù)學科學學院,廣東廣州 510631)

一類具有斑塊擴散與反饋控制的捕食者-食餌模型周期解的存在性

謝旺生,翁佩萱*

(華南師范大學數(shù)學科學學院,廣東廣州 510631)

研究一類具有斑塊擴散與反饋控制的捕食者-食餌模型,把微分方程求解問題轉(zhuǎn)化為算子方程求解問題, 利用重合度的連續(xù)性定理證明了這一模型至少存在一個正周期解.

捕食者-食餌系統(tǒng); 周期解;反饋控制; 重合度; Mawhin連續(xù)性定理

1 引言與預備知識

捕食-被捕食模型一直是種群生態(tài)學的一個十分基本和重要的研究模型. 由于人為或大自然的因素,野生動物的整個生存環(huán)境被鐵路、公路、小島等分割成許多斑塊,形成斑塊生態(tài)環(huán)境.越來越多的生物學和生理學證據(jù)表明,在許多情況下,特別是當捕食者不得不搜尋食物因而不得不分享或競爭食物時,一個更切合實際且更一般的捕食-被捕食模型應基于“比率依賴”理論,也就是說捕食者種群密度的平均增長率應該是食餌種群密度與捕食者種群密度之比的函數(shù). 例如,XU 和 CHEN在文獻[1]中討論了2個斑塊且功能性反應為Michaelis-Menten型的捕食者-食餌模型的持續(xù)生存和穩(wěn)定性.

在生態(tài)模型中加入反饋控制項,是近20年來生態(tài)數(shù)學研究的一個課題,其意義在于人們能根據(jù)得到的信息來決定控制策略,進而進行相關(guān)的調(diào)整,使物種之間達到新的平衡.這個思想在以微分方程為模型的生態(tài)系統(tǒng)的體現(xiàn)最早來自GOPALSAMY和WENG的工作[2]. 自GOPALSAMY和WENG的工作之后,對于帶有反饋控制項的不同生物模型,許多學者都做了不少研究工作[3-8].

考慮周期環(huán)境對生物系統(tǒng)的影響有理論和實際意義,啟發(fā)我們對文獻[1]中將周期系數(shù)函數(shù)引進反饋控制作捕食者之間的競爭以及反饋控制作用,從而得到了下面的生物模型：

(1)

其中,xi(t) (i=1,2)表示第i個斑塊食餌種群在t時刻的密度,y(t)表示捕食者種群在t時刻的密度,bi(t),ai(t),ki(t),Di(t),ηi(t),ξi(t),βi(t) (i=1,2),c(t),r(t)都是以ω為周期的正連續(xù)函數(shù),ω>0為常數(shù). 考慮初始條件:

本文主要利用MAWHIN重合度理論中的連續(xù)性定理討論系統(tǒng)(1)正周期解的存在性,相關(guān)理論和應用參考文獻[9]-[10]. 下面首先給出一些關(guān)于重合度理論的基本概念和定理,這些知識將在后面的證明中用到.

設X,Z為賦范向量空間,L：DomL?X→Z為線性映射,N:X→Z為連續(xù)映射.稱映射L為指標為零的Fredholm映射,如果滿足dimKerL=codimImL<+∞并且ImL是Z中的閉子集. 如果L是指標為零的Fredholm映射,P：X→X,Q：Z→Z是連續(xù)的投影算子,使得 ImP=KerL, ImL=KerQ=Im(I-Q),并有X=KerLKerP,Z= ImLImQ.記Lp為L在DomL∩KerP上的限制,記Kp為Lp=L|Dom L∩Ker P的逆映射. 設Ω是X中的有界開集,如果QN(Ω) 和Kp(I-Q)N(Ω):Ω→X分別是Z和X的相對緊集, 則稱N在上是L-緊的. 由映射L為指標為零的Fredholm映射可以推知,ImQ與KerL同構(gòu),故同構(gòu)映射J： ImQ→KerL一定存在. 因為 ImQ?Z, KerL?X, 如果X=Z, 則可取J=I, 這里I是恒等算子.

(a)Lx≠Nx,?(0,1),x?Ω∩DomL;

2 主要結(jié)果與證明

其中,

通過變換：x1(t)=ev1(t),x2(t)=ev2(t),y(t)=ev3(t),u1(t)=ev4(t),u2(t)=ev5(t),則系統(tǒng)(1)變?yōu)槿缦滦问?

(2)

其中

f1(v(t),t)=b1(t)-a1(t)ev1(t)-

f2(v(t),t)=b2(t)-a2(t)ev2(t)-β1(t)ev4(t)+

D2(t)(ev1(t)-v2(t)-1),

f3(v(t),t)=-r(t)-a3(t)ev3(t)+

f4(v(t),t)=-η1(t)+ξ1(t)ev2(t-2)-v4(t),

f5(v(t),t)= -η2(t)+ξ2(t)ev3(t-3)-v5(t).

因此證明系統(tǒng)(1)有ω-正周期解(x1(t),x2(t),y(t),u1(t),u2(t))T,即轉(zhuǎn)化為證明系統(tǒng)(2)有ω-周期解(v1(t),v2(t),v3(t),v4(t),v5(t))T.

L:DomL→Z,Lv=v′,

N:X→Z,

[Nv](t)=(f1(v,t),f2(v,t),f3(v,t),f4(v,t),f5(v,t))T,

P:X→X,v

Q:Z→Z,v

則有ImP=KerL, ImL=KerQ=Im(I-Q).

令Lp∶=LDom L∩Ker P. 通過簡單計算,得到Lp的逆算子Kp: ImL→DomL∩KerP為:

因此

這里

引理2 設參數(shù)(0,1),(v1(t),v2(t),v3(t),v4(t),v5(t))T是下面系統(tǒng)的一個ω-周期解

(3)

則有

|v1(t)|+|v2(t)|+|v3(t)|+|v4(t)|+|v5(t)|

其中

R1=G1+G2+G3,G1=2|lnR|+2|M1|,

(i=1,2,3,4,5),

則

(4)

由式(3)與式(4),得

fi(v(ti),ti)=0,fi(v(si),si)=0

(i=1,2,3,4,5).

(5)

若v1(t1)≥v2(t2),則v1(t1)≥v2(t1).由式(5)可得

D1(t1)(ev2(t1)-v1(t1)-1)

從而得到

(6)

若v1(t1)

a2(t2)ev2(t2)=b2(t2)-β1(t2)ev4(t2)+

D2(t2)(ev1(t2)-v2(t2)-1)

從而得到

(7)

由式(5)可得

從而得到

(8)

若v1(s1)≤v2(s2),則v1(s1)≤v2(s1).由式(5)可得

注意到假設(A1),有

(9)

若v1(s1)>v2(s2),則v1(s2)>v2(s2).由式(5)可得

a2(s2)ev2(s2)≥b2(s2)-β1(s2)ev4(s2)≥

b2(s2)-β1(s2)ev4(t4).

結(jié)合式(8),得

注意到假設(A2),有

(10)

由式(6)、(7)、(9)、(10),得

|v1(t)|+|v2(t)|<2|lnR|+2|M1|=∶G1.

(11)

由式(5)可得

結(jié)合式(9)與式(10),得

(12)

由式(8)和式(12),得

(13)

由式(5)可得

β2(t3)ev5(t3)

從而得到

(14)

由式(5)可得

(15)

結(jié)合式(14),得

(16)

對式(3)的第3個方程兩邊關(guān)于t從0到ω積分,可得

(17)

由式(15)和式(17),得到

(18)

由式(9)、(10)和式(14),得到

(19)

由式(18)和式(19)得

注意到假設(A3),得到

(20)

由式(3)的第3個方程及式(17),可得

(21)

由式(20)、(21)得到

特別地,

(22)

由式(5)及f5(v(t),t)的表達式可得

(23)

結(jié)合式(22),得

(24)

由式(14)、(16)、(22)和式(24),得到

(25)

(26)

則 |v1|+|v2|+|v3|+|v4|+|v5|≤R2,其中

(27)

(28)

|v1|≤N2, |v2|≤N2.

(29)

由式(26)的第3個方程,得到

(30)

由式(26)的第3個方程和式(26)的第5個方程,得

(31)

由式(27)、(28)和式(30),得

(32)

注意到假設(A3),由式(31)和式(32)得

(33)

由式(30)和式(33)得|v3|≤N3. 由式(26)的第4個方程和式(26)的第5個方程,并且結(jié)合式(29)與式(33),可得

(34)

定理1 設系統(tǒng)(1)滿足假設(A1)～(A3),則系統(tǒng)(1)至少有一個ω-正周期解.

證明令

X:‖(v1(t),v2(t),v3(t),v4(t),v5(t))T‖<

R1+R2},

其中R1和R2由引理2和引理3所定義.下面關(guān)于系統(tǒng)(2),我們驗證引理1的3個條件成立.

由于(a)和(b)顯然，下面僅驗證(c).

(c)作映射Φμ:DomL×[0,1]→Z,

deg(JQN,Ω∩KerL,(0,0,0,0,0)T)=

deg(Φ0,Ω∩KerL,(0,0,0,0,0)T).

由于下面代數(shù)方程系統(tǒng)

deg(JQN,Ω∩KerL,(0,0,0,0,0)T)=

至此,本文已經(jīng)驗證了引理1的3個條件在Ω上成立.因此,系統(tǒng)(2)至少存在一個ω-周期解,從而可知,系統(tǒng)(1)至少存在一個ω-正周期解.

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Keywords： predator-prey system; periodic solution; feedback control; coincidence degree; Mawhin’s continuation theorem

ExistenceofPeriodicSolutionforaPredator-PreyModelwithPatch-DiffusionandFeedbackControl

XIE Wangsheng, WENG Peixuan*

(School of Mathematics, South China Normal niversity, Guangzhou 510631, China)

A periodic predator-prey model with patch-diffusion and feedback control is studied. By changing the ordinary differential system into an operator equation and using Mawhin’s continuation theorem, the existence of at least one positive periodic solution for this model is proved.

2011-07-06

教育部高等學校博士學科點專項科研基金項目(20094407110001);廣東省自然科學基金項目(10151063101000003)

*通訊作者，wengpx@scnu.edu.cn

1000-5463(2012)01-0042-06

O175.14

A

【責任編輯 莊曉瓊】