過家春

(1)安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，合肥 230036 2)江西省數(shù)字國土重點實驗室，撫州344000)

基于第二類橢圓積分的子午線弧長反解新方法*

過家春1，2)

(1)安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，合肥 230036 2)江西省數(shù)字國土重點實驗室，撫州344000)

基于第二類橢圓積分及拉格朗日反演理論，推導(dǎo)出子午線弧長反解的新方法。該方法為歸化緯度的余弦函數(shù)的泰勒級數(shù)展開，給出了子午線弧長的分析解。算例表明，其收斂速度快，精度可靠，可以滿足實際應(yīng)用精度要求。

子午線弧長反解;第二類橢圓積分;拉格朗日反演;泰勒級數(shù);超幾何函數(shù)

1 引言

子午線弧長反解問題(圖1)是大地測量學(xué)、地圖學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域中的基礎(chǔ)性問題。國內(nèi)外關(guān)于這一問題的計算方法主要分為4種類型［1-4］，文獻［1］進行了系統(tǒng)分析。當(dāng)前我國所采用的解法主要有牛頓迭代算法、基于三角級數(shù)回代理論的直接算法兩種［4］，主要用于求解高斯投影坐標(biāo)反算中的底點緯度［4，5］。已有學(xué)者指出這一問題的算法仍然不夠簡潔，沒得到完美的解決［6，7］。近年來，子午線弧長反解的遞歸算法、Hermite插值方法、冪級數(shù)展開方法等［6-8］被提出。其中，文獻［6］及［7］中的級數(shù)展開方法開辟了子午線弧長反解的新思路。筆者在文獻［9］中將子午線弧長公式變換為第二類橢圓積分的標(biāo)準(zhǔn)形式，并指出子午線弧長反解的本質(zhì)實為第二類橢圓積分的逆。本文將以此為基礎(chǔ)，引入拉格朗日反演理論，給出子午線弧長反解的新方法。

圖1 子午線弧長反解Fig.1 Inverse solution of the Meridian

2 理論基礎(chǔ)

2.1 子午線弧長與第二類橢圓積分之間的關(guān)系

在文獻［9］中，已經(jīng)得到:

式中，

為第二類不完全橢圓積分。特別地，當(dāng)大地緯度B =90°時，四分之一橢球子午線弧長為

為書寫方便，本文以下簡記為F。順便指出，按二項式定理展開計算子午線弧長公式中的首項常系數(shù)A與F之間的關(guān)系為

若以歸化緯度μ為積分變量，則有

式中，θ為歸化緯度的余角，即θ=π/2-μ。特別地，當(dāng)μ=90°時，亦得式(3)。其中大地緯度B與歸化緯度μ之間的關(guān)系為

2.2 拉格朗日反演定理(Lagrange Inversion Theorem)［10-12］

若函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)可展開為泰勒級數(shù)

且f'≠0，則其反函數(shù)x=f-1(y)在相應(yīng)的y0點的某一鄰域V(y0)內(nèi)也可展開為泰勒級數(shù)

式中，記y0=f(x0)=f(0)(x0)。進一步地，對于在鄰域U(x0)內(nèi)無窮可微的函數(shù)g(x)，也有

拉格朗日反演定理表明，在一階導(dǎo)不等于零的情況下，解析函數(shù)的反函數(shù)也可展開為泰勒級數(shù)。以下討論將以此為重要理論基礎(chǔ)。

3 基于第二橢圓積分的子午線弧長反解公式推導(dǎo)

以式(6)為基礎(chǔ)，定義

這樣，子午線弧長反解問題即轉(zhuǎn)換為了第二類橢圓積分的求逆問題。

并構(gòu)造函數(shù)

這里，視函數(shù)f(x)是以θ、β為中間變量，以t為自變量的復(fù)合函數(shù)。易得

由于第二類橢圓積分E(θ，e)在θ=0處可展開為泰勒級數(shù)，根據(jù)拉格朗日反演定理，函數(shù)(12)在t =0也可展開為泰勒級數(shù)

式中，記f(0)(0)=f(0)。根據(jù)泰勒中值定理，該級數(shù)是收斂的，ξ是0與1之間的某個值。這里記f (t)的級數(shù)展開式為f(t)M，以區(qū)分式(13)。

由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，對于二階及二階以上導(dǎo)數(shù)有:

不難發(fā)現(xiàn)，各階導(dǎo)數(shù)中的偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)均含有sinθ及sinβ因子，所以在t=0處有

此處記f(0)(0)=f(0)。由此，式(15)可化簡為

上式二階以上導(dǎo)數(shù)的手工求解是比較困難的，筆者在計算機代數(shù)系統(tǒng)Maple中求得其前11階導(dǎo)數(shù)在點t=0處的值分別為

據(jù)此，可取近似值

因此可得

上式要求f(t)M≠0。顯然，當(dāng) f(t)M→0時，Bf→90°。實際上，當(dāng)S=S90°時也不必用此式反解。這里，反算結(jié)果記為μf及Bf，以區(qū)分正算，Bf亦對應(yīng)于高斯投影坐標(biāo)反算中的底點緯度。實際應(yīng)用時，還可以根據(jù)精度需要，求出更高階導(dǎo)數(shù)。

另外，式(19)的系數(shù)是有規(guī)律可循的，其包含兩個整數(shù)數(shù)列:

1)特別地，當(dāng)e=0時，式(19)即化為sin［Farcsin(θ/F)］的麥克勞林級數(shù)展開式的奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)值，其系數(shù)規(guī)律參見整數(shù)數(shù)列線上大全A008956［13］，即為式(19)的外部系數(shù)。

2)若上述討論中不再令t=sinβ，而將f(β)= sinθ視為以β為自變量的復(fù)合函數(shù)，則其麥克勞林展開式為

顧及大地緯度B與歸化緯度μ之間的關(guān)系(6)，易得

求至11階的導(dǎo)數(shù)值為

經(jīng)驗證，式(23)與式(18)比較，其收斂速度較慢，但其系數(shù)結(jié)構(gòu)為式(19)的內(nèi)部系數(shù)。該系數(shù)涉及第二類橢圓積分，其規(guī)律需進一步研究。

4 算例與分析

對于特定的地球橢球，以上給出的基于第二類橢圓積分的子午線弧長正反解公式中的E、F及式(18)的系數(shù)為涉及橢球第一偏心率e及相應(yīng)超幾何函數(shù)F的常數(shù)。在此，首先將我國幾個常用地球橢球正反解所涉及到的一些常量，及式(18)的系數(shù)列于表1。為便于誤差分析，表中小數(shù)點后取位較多(末位采用四舍五入法)，在實際應(yīng)用時可根據(jù)精度需要對表中各參數(shù)數(shù)位進行適當(dāng)取舍。

表1數(shù)據(jù)顯示，各種橢球下該級數(shù)的收斂速度都很快。以我國CGCS2000橢球為例進行反算驗證，計算結(jié)果列于表2，f(t)M、μf及Bf的誤差曲線如圖2所示。

表2及圖2表明，式(18)收斂速度很快，反算大地緯度的誤差ΔB依賴于Δf，隨緯度增大而減小，呈非線性變化。在實際測量工作中，一般要求通過公式的解算精度應(yīng)高于觀測精度。按這樣的原則，大地緯度的解算精度應(yīng)不低于3.3×10-6″，即對應(yīng)的子午線弧長精度不低于0.1 mm。經(jīng)計算分析，在緯度大于15°的地區(qū)，將級數(shù)展開至9階導(dǎo)的緯度解算誤差在2.2×10-6″以內(nèi);在緯度大于1°的地區(qū)，將級數(shù)展開至11階導(dǎo)，誤差在4.42×10-7″以內(nèi)。在我國地理緯度范圍，展開至11階導(dǎo)即能滿足實際應(yīng)用要求，在緯度大于15°的地區(qū)展開至9階導(dǎo)即可。

圖2 子午線弧長反解新方法誤差曲線Fig.2 Error curves of the inverse solution of the Meridian Arc Length with the new methods

表1 涉及第二類橢圓積分的常用地球橢球的一些常量Tab.1 Several constants of different ellipsoids related to the Elliptic Integral of the Second Kind

表2 基于第二類橢圓積分的子午線弧長反解新方法例證表Tab.2 Illustration of the new method for inverse solution of Meridian by Elliptic Integral of the Second Kind

在赤道附近，需展開至更高階項方能達到上述精度要求，公式較為冗長，解決的途徑是可按本文方法在β=π/2處展開為泰勒級數(shù)，此不贅述。

與現(xiàn)有的方法對比，本文的反解方法的特點主要體現(xiàn)在:

1)提供了一種新的子午線弧長反解直接算法，相對于傳統(tǒng)的3種直接算法精度有明顯提高:基于三角級數(shù)回代理論的直接算法、Helmert公式直接算法及表達為子午線弧長S的多項式逼近算法的最弱精度分別約 1.3×10-5″、2.0×10-5″及 1.0× 10-4″［1，4］，本文算法精度如前所述，且可通過將級數(shù)展開至更高階項，以達到任意精度的結(jié)算。

2)高斯超幾何函數(shù)的引入對子午線弧長正反解理論的完善具有一定的推動作用。首先，如式(5)所示，該參數(shù)出現(xiàn)在子午線弧長的正解中。而在反解中，除在本文出現(xiàn)外，經(jīng)典的迭代算法及直接算法的初值實際為S/aF，也涉及該參數(shù)。在其他大地測量問題中，該參數(shù)是否仍會出現(xiàn)，需進一步研究。

3)新方法還主要體現(xiàn)在其分析特點。已有的直接算法、迭代算法、插值方法、高斯-勒讓德求積法等方法均屬于數(shù)值計算方法的范疇，事實上仍有許多其他的數(shù)值近似解方法可以用于子午線弧長的反解計算，能夠滿足實際應(yīng)用的精度要求。而本文方法為緯度函數(shù)的常系數(shù)、收斂的冪級數(shù)展開，可以根據(jù)精度需要任意展開，可擴展性好。該方法屬于數(shù)學(xué)分析范疇，給出了子午線弧長反解的分析解，是對已有方法的補充，并有助于研究子午線弧長的函數(shù)規(guī)律。

5 結(jié)語

本文基于勒讓德第二類橢圓積分，利用拉格朗日反演定理，將子午線弧長反解問題轉(zhuǎn)換為第二類橢圓積分的求逆問題，得到子午線弧長反解的泰勒級數(shù)展開新方法，精度可靠，可以滿足實際應(yīng)用的精度要求。

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5 丁佳波.利用底點緯度進行高斯投影換代計算［J］.測繪學(xué)報，1993，22(3):212-217.(Ding Jiabo.The transforming the zones of Gauss projection from latitudes of low points［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1993，22(3):212-217)

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11 http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_inversion_theorem.

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13 Sloane N J A.The on-line Encyclopedia of Integer Sequence:http://oeis.org/A008956.

NEW METHOD FOR INVERSE SOLUTION OF MERIDIAN BASED ON ELLIPTIC INTEGRAL OF SECOND KIND

Guo Jiachun1，2)

(1)School of Science，Anhui Agricultural University，Hefei 230036 2)Jiangxi Province Key Lab.for Digital Land，F(xiàn)uzhou344000)

According to the theory of the elliptic integral of the second kind and Lagrange inversion theorem，we present a new method to solve the inverse problem of Meridian arc length，which is expressed by Taylor Series generated from the cosine function of reduced latitude.It gives a analytical solution for this problem.Numerical calculations are used to illustrate the accuracy of the method and the results show that it is applicable and useful in practice.

inverse solution of meridian;elliptic integrals of the second kind;Lagrange inversion theorem;Taylor series;hypergeometric function

1671-5942(2012)03-0116-05

2011-12-25

江西省數(shù)字國土重點實驗室開放研究基金資助項目(DLLJ201211);國家農(nóng)業(yè)信息化工程技術(shù)研究中心開放課題(KF2010W40-046)

過家春，男，1981年生，碩士，講師，主要研究方向為大地測量學(xué)、地圖學(xué)與地理信息系統(tǒng).E-mail:guojiachun@ahau.edu.cn

P226

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