萬振華，周 林，孫德軍

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系，安徽 合肥230027）

0 引 言

一般認(rèn)為長高比L／D＜6的方腔流動為開式流動，其在航空、航天以及其它工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，如起落架艙、武器艙、敞篷汽車等。開式方腔流動會產(chǎn)生強(qiáng)烈的振蕩，有可能引發(fā)結(jié)構(gòu)疲勞損傷和噪聲污染。振蕩的誘因、幅值、抑制方法等都很值得研究，涉及流動失穩(wěn)、波渦非線性作用、自持振蕩等許多理論問題。故20世紀(jì)50年代以來，方腔流致振蕩和發(fā)聲問題就已經(jīng)引起了眾多研究者的興趣［1］。Krishnamurty［2］最早從實(shí)驗(yàn)得到方腔聲場結(jié)構(gòu)，Rossiter［3］總結(jié)了預(yù)測振蕩頻率的半經(jīng)驗(yàn)公式，Tam和Block［4］引入線性穩(wěn)定性分析提出了新的頻率預(yù)測模型，Rowley等［1，5－6］對方腔的空間穩(wěn)定性、降維模型、理論模型、控制等問題進(jìn)行了一系列研究，Shieh［7］等對高Reynolds數(shù)下不同構(gòu)型方腔進(jìn)行了湍流數(shù)值模擬研究。衣云峰［8］研究了低亞聲速突出和陷落式圓柱空腔流動，并歸納了頻率公式。羅柏華等［9］實(shí)驗(yàn)研究了純音激勵方式的噪聲抑制。此外，羅柏華［10］、侯中喜等［11］、李曉東等［12］等使用不同數(shù)值方法都成功模擬出了方腔流場的振蕩、聲波傳播性質(zhì)。

雖然國內(nèi)外研究內(nèi)容已經(jīng)很多，但仍然有很多問題有待深入研究，如目前對方腔的振蕩存在兩種認(rèn)識［1，6］：一種認(rèn)為它是自持的，另外一種認(rèn)為它是輕微衰減的系統(tǒng)，所以具體振蕩性質(zhì)需由實(shí)際情況具體分析。關(guān)于方腔振蕩的低頻成分也有幾種不同產(chǎn)生方式，如渦－后拐角撞擊方式變化導(dǎo)致低頻產(chǎn)生［13］，湍流間歇結(jié)構(gòu)導(dǎo)致模態(tài)切換［14］引入低頻等。此外，目前對回流區(qū)與剪切層相互作用研究較少。

本文采用直接數(shù)值模擬方法，研究了低Reynolds數(shù)、亞聲速開式方腔流動的振蕩及噪聲問題，特別是回流區(qū)與剪切層相互作用及其與低頻的關(guān)系。首先，研究了來流邊界層厚度的影響，探討了所涉及參數(shù)范圍內(nèi)的方腔流動振蕩機(jī)制；針對來流邊界層變薄后出現(xiàn)的低頻成分，從回流區(qū)與剪切層相互作用出發(fā)分析了其產(chǎn)生的機(jī)制。其次，采用本征正交分解（POD）方法，分析了回流區(qū)與剪切層相互作用對剪切層渦結(jié)構(gòu)的影響，以及渦結(jié)構(gòu)改變與渦－后拐角撞擊方式的關(guān)聯(lián)。最后，計(jì)算得到了方腔的聲場結(jié)構(gòu)，通過脹量場的分析得到了聲波產(chǎn)生和傳播的過程。

1 數(shù)值方法

1.1 計(jì)算方法

采用直角坐標(biāo)系下二維可壓縮Navier－Stokes方程：

考慮到捕捉噪聲，所以空間使用了的6階緊致格式離散［15］，時間方向使用低耗散和低色散的Runge－Kutta格式［16］，粘性項(xiàng)使用的6階中心差分格式。方程以遠(yuǎn)場聲速a∞進(jìn)行無量綱化。Reynolds數(shù)定義為Re＝ρ∞a∞D(zhuǎn)／μ∞，取Prandtl數(shù)Pr＝0.72。粘性系數(shù)以Sutherland公式給出，其中遠(yuǎn)場溫度T∞＝300K。

計(jì)算模型如圖1所示，方腔的高度定義為D，長度為L，方腔前端延伸到－6D，尾端延伸到13D，上端延伸到15D。邊界條件設(shè)定如下：方腔上部左、右端分別為無反射亞聲速出、入口，上方設(shè)定為無反射出口，固壁邊界設(shè)為等溫壁［17］。在方腔上部三個方向施加海綿層邊界條件［18］以抑制邊界反射。另外，采用了10階中心濾波抑制數(shù)值偽振蕩。初始條件給定如下：腔體上部以基本流速度型進(jìn)行初始化；腔體內(nèi)部速度設(shè)為0。密度和壓力設(shè)為遠(yuǎn)場條件。

圖1 方腔設(shè)定與計(jì)算域的示意圖Fig.1 Schematic diagram of cavity configuration and computational domain

1.2 計(jì)算參數(shù)選擇

本文主要研究高亞聲速低Reynolds數(shù)（相對于湍流發(fā)生的Reynolds數(shù)）方腔流動振蕩和發(fā)聲問題。選擇典型的方腔長高比為L／D＝2，Re＝2500，同時也便于和已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對。來流為層流狀態(tài)，研究了不同來流馬赫數(shù)M、來流邊界層動量厚度θ的影響，具體計(jì)算參數(shù)如表1所示。

表1 算例列表Table 1 Computational cases

1.3 網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證

本文使用的程序由文獻(xiàn)［19－20］中程序發(fā)展而來，涉及的空間格式、邊界條件等均已很好驗(yàn)證，如采用本文中的數(shù)值算法計(jì)算文中［21］的Taylor－Green渦算例，條件設(shè)定與文獻(xiàn)［21］相同，在13×13的網(wǎng)格上求解得到了Taylor－Green渦速度隨時間的衰減（如圖2），無量綱時間t＝1／（8π2）時的計(jì)算解與理論解的相對誤差小于0.03%?？紤]到聲學(xué)問題對網(wǎng)格分辨率要求很高，所以為了確保文中使用的網(wǎng)格滿足要求，本文做了網(wǎng)格收斂性分析。計(jì)算采用單向拉伸網(wǎng)格，針對L／D＝2的情形，文中使用的計(jì)算網(wǎng)格為：腔外網(wǎng)格為918×416，腔內(nèi)網(wǎng)格為262×118，總網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)約為40萬，與文獻(xiàn)［5］網(wǎng)格數(shù)相當(dāng)，網(wǎng)格在固壁附近和唇口處最密，唇口兩端靠近壁面（x方向）的網(wǎng)格間距Δx／D≈0.005，在－0.1＜y／D＜0.1區(qū)間內(nèi)集中了32層網(wǎng)格，最小的網(wǎng)格間距Δy／D≈0.005。再考慮一套加密的網(wǎng)格：腔外網(wǎng)格為1118×510，腔內(nèi)網(wǎng)格為308×152，總網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)約為60萬。比較算例1在兩套網(wǎng)格下后拐角位置的密度隨時間的變化。如圖3（a）所示，二套網(wǎng)格下密度的變化基本相同，相應(yīng)峰值差別很小，且相位基本保持同步。為了更精確地比較頻譜誤差，圖3（b）給出了前200個無量綱時間密度的FFT變換后在譜空間上幅值。從圖中可以看出在各種頻率下，二者幅值相差很小，如在主頻f＝0.216上幅值的誤差小于1×10－3，故說明當(dāng)前選擇的計(jì)算網(wǎng)格密度已經(jīng)足夠。

圖2 Taylor－Green渦的速度隨時間衰減Fig.2 The decaying of velocity for a Taylor－Green vortex

圖3 網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證Fig.3 Validation of mesh convergence

2 計(jì)算結(jié)果及討論

2.1 流場的振蕩現(xiàn)象

目前，對方腔流場振蕩機(jī)制的認(rèn)識存在兩種觀點(diǎn)。一種觀點(diǎn)認(rèn)為，振蕩是自持的：腔體內(nèi)外流體的剪切誘導(dǎo)Kelvin－Helmholtz不穩(wěn)定性，產(chǎn)生渦卷起；渦卷起后向下游運(yùn)動，進(jìn)而與后拐角撞擊壓縮產(chǎn)生往前傳的聲波；聲波到達(dá)方腔前端會再次激發(fā)剪切層失穩(wěn)，使新渦卷起，完成自持振蕩過程。所以，在無任何外部持續(xù)激勵時，方腔流動仍會持續(xù)地振蕩。此時方腔流動的動力學(xué)系統(tǒng)可認(rèn)為是一個關(guān)于不穩(wěn)定平衡點(diǎn)（Navier－Stokes方程定常解）的穩(wěn)定的極限環(huán)［5－6］，振蕩的幅值取決于非線性效應(yīng)，如剪切層失穩(wěn)中擾動增長達(dá)到飽和。還有一種觀點(diǎn)認(rèn)為，方腔流動是穩(wěn)定的、輕微衰減的系統(tǒng)，只有在外界持續(xù)激勵下（如邊界層內(nèi)湍流脈動，壁面粗糙引起擾動等）才能維持振蕩［1，6］；撤除激勵，振蕩現(xiàn)象也將消失。

本文的計(jì)算中沒有施加任何外部激勵，在所計(jì)算的參數(shù)范圍內(nèi)得到了流場的振蕩現(xiàn)象，計(jì)算結(jié)果支持第一種觀點(diǎn)，即屬于自持振蕩。振蕩的強(qiáng)弱可以采用聲壓級來表征（圖4），結(jié)果表明，邊界層動量厚度θ越小，則方腔底部聲壓級越高，即振蕩幅值越大。這與剪切層的不穩(wěn)定性特性相吻合，即剪切層θ減小導(dǎo)致擾動的空間增長率增加。所以，振蕩幅值與θ的變化關(guān)系主要與剪切層的空間不穩(wěn)定性增長率有關(guān)，這種剪切層的對流不穩(wěn)定性與下游方腔中的反饋機(jī)制相結(jié)合，仍然可以形成自持的振蕩，而無需來自外界持續(xù)擾動的激勵。

Rossiter［3］于1964年提出了預(yù)測振蕩頻率的半經(jīng)驗(yàn)公式，其形式如下：

圖4 方腔底部的聲壓級（M＝0.6）Fig.4 Sound pressure levels of cavity floor at M＝0.6

其中，κ＝0.57是一個經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，α＝0.25為渦撞擊后拐角到產(chǎn)生聲波的相位滯后，n為剪切層中渦的數(shù)目，對應(yīng)模態(tài)的階數(shù)。n＝1，2的模態(tài)分別稱為Rossiter I、II模態(tài)。圖5給出了不同馬赫數(shù)下得到的振蕩頻率，在本文的計(jì)算參數(shù)范圍內(nèi)只得到了Rossiter II模態(tài)，這與Krishnamurty［2］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是基本符合的。本文的頻率與文獻(xiàn)［5］中Rossiter II模態(tài)的頻率接近，但都略低于實(shí)驗(yàn)［2］得到的頻率，原因可能是實(shí)驗(yàn)中的Reynolds數(shù)更高和來流邊界層厚度不同造成的。此外，實(shí)驗(yàn)中同一馬赫數(shù)下出現(xiàn)多個頻率，這可能是由于來流邊界層厚度不同造成的頻率偏移。在本文中這種偏移很小，而在湍流模擬中這種頻率偏移現(xiàn)象明顯［12］，原因可能是湍流情況下頻率不再是明確的大尺度渦結(jié)構(gòu)對流主導(dǎo)，導(dǎo)致對邊界層厚度改變更加敏感。

圖5 不同馬赫數(shù)下的振蕩頻率Fig.5 The oscillation frequencies at different Mach numbers

當(dāng)M＝0.6，由圖6（a）和圖6（c）中的相圖可知，算例1的振蕩是周期的；隨著來流邊界層厚度的減小，算例2則為準(zhǔn)周期的。相應(yīng)地，從圖6（b）和圖6（d）可以看出，算例1中只存在對應(yīng)Rossiter II模態(tài)的單一頻率St＝0.72；而算例2中存在兩個頻率，St1＝0.72的基頻能譜占主導(dǎo)地位，仍和Rossiter II模態(tài)一致，但同時出現(xiàn)了低頻成分St2＝0.36，視為亞諧頻。雖然亞諧頻非?？拷黂ossiter I模態(tài)的頻率，但其不符合Rossiter關(guān)于I模態(tài)中只有單渦的定義，故我們認(rèn)為這個低頻不是I模態(tài)。它的產(chǎn)生與Rockwell等的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［13］相似，Rockwell等認(rèn)為這是因剪切層中渦－后拐角撞擊方式變化造成的。Rockwell的實(shí)驗(yàn)［13］是在水洞中進(jìn)行的，本文計(jì)算的低Reynolds數(shù)、高亞音速情況的氣體流動，結(jié)果表明，渦－后拐角撞擊不穩(wěn)定仍然存在，它們是回流區(qū)與剪切層相互作用形式不穩(wěn)定的結(jié)果。

圖7（a）給出了算例1的時均流場結(jié)構(gòu)，從圖中可以清晰地區(qū)分幾個主要區(qū)域：主回流區(qū)A，A區(qū)誘導(dǎo)的主反向流動區(qū)域B，次回流區(qū)C，A區(qū)誘導(dǎo)的次

反向流動區(qū)D?；亓鲄^(qū)流動可以改變剪切層中渦心軌跡和橫向運(yùn)動速度。圖7（b）為渦心運(yùn)動軌跡，可以將其大致分為4個區(qū)域：I區(qū)為自由發(fā)展區(qū)，渦心橫向運(yùn)動速度以及縱向位置沒有改變。II區(qū)渦受次回流區(qū)C后端牽引運(yùn)動方向會向方腔內(nèi)偏斜，同時由于越靠近方腔橫向?qū)α魉俣仍叫?，渦橫向運(yùn)動速度會減小。III區(qū)渦進(jìn)入主回流區(qū)，渦會被主回流區(qū)A前端牽引上升，上升越高橫向?qū)α魉俣仍酱?，渦的橫向運(yùn)動速度越快。IV區(qū)渦受A后端牽引位置逐漸下降，渦橫向運(yùn)動速度減小。算例1中的剪切層渦都經(jīng)過上述4個區(qū)域，最終與后拐角發(fā)生穩(wěn)定的撞擊，即每次渦－后拐角的撞擊方式都相同，如圖7（c）所示，整個流場也呈Rossiter II模態(tài)形式的周期性振蕩，振蕩周期由相鄰兩次渦－后拐角撞擊的時間間隔決定。

圖6 （1.9D，0）位置的相圖與功率譜Fig.6 The phase diagram and power spectrum of perturbed pressure at the location（1.9D，0）

當(dāng)來流邊界層厚度減?。ㄋ憷?），由于剪切層的不穩(wěn)定性增強(qiáng)，剪切層與腔內(nèi)回流區(qū)的相互作用也明顯增強(qiáng)，導(dǎo)致剪切層渦呈高低交替出現(xiàn)，它們分別走過高、低兩條軌跡，每條軌跡也可大致分成上述的4個區(qū)域，如圖7（d）。由于此時的流動是準(zhǔn)周期的，故各個周期內(nèi)渦的運(yùn)動軌跡還有細(xì)微的差異，但都接近于圖7（d）所示的高、低渦運(yùn)動軌跡。

剪切層也可以通過渦量輸運(yùn)的方式改變回流區(qū)的運(yùn)動?，F(xiàn)仍結(jié)合算例2進(jìn)行分析。如果剪切層中前一個渦走低軌道，那么它將與后拐角發(fā)生圖7（e）形式的撞擊，其特點(diǎn)是撞擊后大部分渦量進(jìn)入回流區(qū)，使得主回流相對變強(qiáng)，此即Rockwell等［13］實(shí)驗(yàn)中的PC（Partial Clipping）形式的撞擊；主回流的加劇會使得剪切層中下一個渦走高軌道，它與后拐角將發(fā)生圖7（f）形式的撞擊，其特點(diǎn)是撞擊后只有少量渦量進(jìn)入回流區(qū)，主回流相對變?nèi)?，此即Rockwell等［13］實(shí)驗(yàn)中的PE（Partial Escaping）形式的撞擊，主回流減弱導(dǎo)致下一個渦將走低軌道。如此周而復(fù)始，形成準(zhǔn)周期流動。由于此時兩次相鄰渦的撞擊不再是周期的，只有完成了一個PC到PE形式渦－后拐角撞擊過程才構(gòu)成一個主周期，所以，這種撞擊方式的切換導(dǎo)致了新的低頻（亞諧頻）成分的產(chǎn)生。相對應(yīng)的是，算例1中的渦撞擊形式介于PC與PE之間，且每次都相同，形成周期性流動，因此沒有低頻成分出現(xiàn)。

值得指出的是，前述Rossiter頻率預(yù)測公式（式2）是假設(shè)恒定的剪切層渦對流速度得到的，而回流區(qū)與剪切層的相互作用會改變渦橫向運(yùn)動速度，會影響Rossiter公式的準(zhǔn)確性。

算例3和算例4的結(jié)果類似，當(dāng)來流邊界層較厚時，是沒有低頻的Rossiter II模態(tài)周期性流動，當(dāng)來流邊界層變薄，會有低頻成分出現(xiàn)，不再贅述。

2.2 本征正交分解（POD）分析

為了進(jìn)一步明晰回流區(qū)與剪切層相互作用對渦模態(tài)的影響，采用了等熵可壓縮的POD方法［22］進(jìn)行了分析。由表2可知，算例2的能譜比算例1更寬，表明薄來流邊界層的相互作用更強(qiáng)。算例1中前兩個模態(tài)就捕捉了超過90%的能量，算例2中大部分能量需要前4個模態(tài)才能捕捉。算例1中的模態(tài)1和2的動力學(xué)結(jié)構(gòu)基本類似，故圖8只給出了模態(tài)1和3。算例2中模態(tài)1和2，模態(tài)3和4的結(jié)構(gòu)類似，因此圖9中只給出了模態(tài)1、3和5?？梢钥闯?，低階模態(tài)中，剪切層中均存在2個大渦結(jié)構(gòu)，對應(yīng)于功率譜中Rossiter II模態(tài)，故低頻成分不對應(yīng)于Rossiter I模態(tài)。圖8（b）和圖9（c）中渦數(shù)目增多，渦結(jié)構(gòu)變小，對應(yīng)于功率譜中高頻成分，但能量很小。圖8（a）和圖9（a）的渦結(jié)構(gòu)類似，渦縱向結(jié)構(gòu)比較寬，這種渦結(jié)構(gòu)傾向于PC形式的撞擊，圖9（b）中的渦結(jié)構(gòu)則不同，比較扁平，更容易形成PE形式的撞擊。比較圖8和圖9還可以看出，算例2主回流區(qū)中渦結(jié)構(gòu)要比算例1的更加復(fù)雜和紊亂?？傮w而言，POD模態(tài)驗(yàn)證了低頻成分不是Rossiter I模態(tài)，回流區(qū)與剪切層的相互作用會影響渦結(jié)構(gòu)的形態(tài)，從而改變渦－后拐角的撞擊方式。

圖8 算例1的POD模態(tài)的渦量場ω∈（－5，5）Fig.8 Vorticity filed of different POD modes for Case 1

圖9 算例2的POD模態(tài)的渦量場ω∈（－5，5）Fig.9 Vorticity field of different POD modes for case 2

表2 能量分?jǐn)?shù)Table 2 Energy fractions

2.3 聲波結(jié)構(gòu)對比及分析

本文中的聲波結(jié)構(gòu)通過脹量場和密度梯度兩種方式分別進(jìn)行了表征。圖10（a）～圖10（c）為Krishnamurty［2］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，聲場由密度的紋影圖給出。圖11（a）～圖11（c）為本文DNS模擬得到的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)與計(jì)算均使用層流來流邊界層，且都是被Rossiter II模態(tài)主導(dǎo)，所不同的是實(shí)驗(yàn)的Reynolds數(shù)高出一個量級。由二者結(jié)果比較可知，雖然計(jì)算中Reynolds數(shù)較低，但二者聲場的定性結(jié)構(gòu)，相位關(guān)系都基本相符。此外，從實(shí)驗(yàn)和計(jì)算的結(jié)果均可看出，隨著馬赫數(shù)的增加，方腔外聲波的傳播方向會發(fā)生明顯變化，且兩道聲波之間相位差會變大，這些差別主要來自于聲波傳播過程中的對流效應(yīng)，波陣面的形態(tài)取決于波速和當(dāng)?shù)亓鲃铀俣鹊寞B加（見圖12）。故在M＝0.6時，聲波傳播方向與流動夾角約為135°角，隨著馬赫數(shù)增加這個夾角逐漸減小。

圖12描述了聲波產(chǎn)生和傳播的具體過程：首先，渦－后拐角的作用產(chǎn)生聲波，聲波分別在腔外和腔內(nèi)傳播（表示為波陣面I和II）。其次，因腔內(nèi)對流速度較小，波陣面II傳播快于I，二者產(chǎn)生相位差。再次，腔內(nèi)的波陣面II到達(dá)前壁面，部分透過剪切層輻射出方腔，剩下部分發(fā)生反射。最后，可觀察到腔外有兩道聲波I、II，腔內(nèi)有II的反射聲波。聲波I、II在腔外相位差大小被腔體內(nèi)外的對流速度的差異決定，故在算例1中聲波I、II相位差較小，而在算例4中聲波I、II相位差明顯。圖13以脹量場的形式給出了算例4中聲波傳播的具體過程，進(jìn)一步驗(yàn)證了圖12的描述的過程。值得注意的是，本文的計(jì)算很好地驗(yàn)證了Tam等人［4］在理論建模時關(guān)于聲波傳播的描述，不同是計(jì)算中未能看到明顯的聲波II在腔體下壁面的反射聲波，可能原因是反射聲波相對其它聲波強(qiáng)度較弱，在旋渦中又易耗散，造成計(jì)算中不容易捕獲。

圖12 波陣面?zhèn)鞑ミ^程示意圖Fig.12 Sketch of propagation of wave fronts

圖13 算例4的4個不同時刻的脹量場Fig.13 4snapshots of dilatation field for case 4

3 結(jié) 論

本文采用直接數(shù)值模擬方法，研究了低Reyn－olds數(shù)下L／D＝2的方腔的亞聲速流致振蕩現(xiàn)象及其誘導(dǎo)的噪聲。在所計(jì)算的參數(shù)范圍內(nèi)，方腔流場的振蕩是自持的，并且由Rossiter II模態(tài)主導(dǎo)。振蕩幅值、頻率與來流邊界層厚度密切相關(guān)，當(dāng)來流邊界層變薄，振蕩幅值增大，周期振蕩會轉(zhuǎn)變?yōu)闇?zhǔn)周期振蕩，并產(chǎn)生低頻成分。低頻成分產(chǎn)生的根本原因是回流區(qū)與剪切層的相互作用。這種相互作用會改變剪切層渦的結(jié)構(gòu)、運(yùn)動軌跡及速度，進(jìn)而導(dǎo)致了不同的渦與后拐角撞擊方式；而撞擊方式的切換構(gòu)成了低頻成分。采用本征正交分解（POD）方法，分析了不同振蕩形式所對應(yīng)的本征模態(tài)渦結(jié)構(gòu)。對于沒有低頻成分的周期振蕩情況，只發(fā)現(xiàn)一種能量集中的本征模態(tài)；而對于出現(xiàn)低頻成分的準(zhǔn)周期振蕩情況，發(fā)現(xiàn)了兩種能量較為集中的本征模態(tài)，它們反映了回流區(qū)與剪切層相互作用對渦結(jié)構(gòu)的影響，并與后拐角的不同撞擊方式有關(guān)。聲場的計(jì)算表明，渦－后拐角的撞擊作用會產(chǎn)生聲波，并分別在腔外和腔內(nèi)傳播，形成兩個波陣面，它們之間的相位差與對流效應(yīng)有關(guān)。

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