朱海燕, 張寄洲

(1.連云港師范高等專(zhuān)科學(xué)校, 江蘇 連云港 222006; 2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 上海 200234)

一種帶有交易成本的保底型基金的定價(jià)

朱海燕1, 張寄洲2

(1.連云港師范高等專(zhuān)科學(xué)校, 江蘇 連云港 222006; 2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 上海 200234)

交易成本; 隨機(jī)利率; Hull-White模型

0 引言

隨著人們金融意識(shí)的不斷增強(qiáng),單純的股票市場(chǎng)、債券市場(chǎng)和銀行儲(chǔ)蓄已不能滿足人們?cè)谕顿Y理財(cái)方面的需求.針對(duì)人們不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資回報(bào)期望,近年來(lái),金融機(jī)構(gòu)推出了很多滿足不同需求人群的各種不同類(lèi)型的金融產(chǎn)品,以滿足人們投資理財(cái)?shù)男枰?無(wú)論對(duì)出售方來(lái)說(shuō)還是對(duì)投資者而言,能正確地評(píng)估這種金融產(chǎn)品的實(shí)際價(jià)值都是非常重要的.

保底型基金由于既可以保證投資者最低收益(通常低于同期國(guó)債的收益),同時(shí)又可能獲得高額的投資回報(bào)(超額部分按一定比例的分紅),滿足了一部分投資者的需要,所以目前在市場(chǎng)上很受歡迎.文[1]討論了利率服從Vasicek模型和市場(chǎng)無(wú)任何摩擦情形下的保底基金的設(shè)計(jì)原理和定價(jià)方法.文[2]針對(duì)現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)上投資者將面臨數(shù)量可觀、不容忽視的交易成本,給出了有交易成本的歐式期權(quán)定價(jià)方法.而本文模型的理論基礎(chǔ)是Hull-White利率期限結(jié)構(gòu)模型[3](作為Vasicek模型的推廣,其參數(shù)均為時(shí)間t的函數(shù)),在交易過(guò)程中支付一定的交易費(fèi)用,這樣就使這種理財(cái)產(chǎn)品更貼近我們的市場(chǎng)實(shí)際,從而更具實(shí)用價(jià)值.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 基本假設(shè)

1) 資產(chǎn)的構(gòu)成:每份基金的面值為1元;

2) 根據(jù)基金公司是否獲得金融機(jī)構(gòu)進(jìn)行擔(dān)保,設(shè)計(jì)如下條款:

如果有金融機(jī)構(gòu)進(jìn)行擔(dān)保,那么

a) 基金到期保底收益為每份α元,超額收益部分的分紅比例為β(0≤β≤1);

b) 基金全部投資于指數(shù)基金(如股票);

如果沒(méi)有金融機(jī)構(gòu)進(jìn)行擔(dān)保,那么,為確保公眾投資者的保底收益,發(fā)起人必須投入一部分自有資金,它在基金中所占比例為1-ω,同樣規(guī)定上述條款,但增加第三條款:

c) 當(dāng)基金投資發(fā)生虧損時(shí),對(duì)基金凈值設(shè)置一個(gè)下限K(t).當(dāng)基金凈值觸及K(t)時(shí),基金全部投資于T時(shí)刻到期的零息票國(guó)債,從而確保投資者T時(shí)刻的保底收益.其中K(t)=ωαP(r,t).這里,P(r,t)為T(mén)時(shí)刻到期的零息票國(guó)債在t時(shí)刻的價(jià)格.

3) 市場(chǎng)利率模型:我們采用服從均值回歸的Hull-White模型

其中θ(t)是初始期限結(jié)構(gòu)有關(guān)的參數(shù),a(t),σr(t)是波動(dòng)率的參數(shù),他們均是時(shí)間t的函數(shù).該模型所描述的利率運(yùn)動(dòng)形態(tài)是認(rèn)為利率具有穩(wěn)定的長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)θ(t),在不同時(shí)刻t,rt以a(t)的速度向趨勢(shì)靠近,這種性質(zhì)即為均值回歸性.

4) 對(duì)于指數(shù)型基金(如股票):假定其凈值服從幾何Brown運(yùn)動(dòng)

5) 支付交易費(fèi)用:交易費(fèi)用可看作是投資者因買(mǎi)賣(mài)標(biāo)的資產(chǎn)(股票)而產(chǎn)生的直接費(fèi)用,一般由多頭支付,并通常以交易額的固定比例K來(lái)表示.考慮時(shí)段[t,t+δt],δt是小量,但不趨于0,此時(shí)利率r相對(duì)固定,可看成常數(shù).為了對(duì)沖發(fā)行基金所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn),每隔δt時(shí)段就要調(diào)整一次用來(lái)對(duì)沖的標(biāo)的資產(chǎn)(股票)的份額δΔ(δΔ>0買(mǎi)進(jìn),δΔ<0賣(mài)出),則產(chǎn)生的交易成本為K|δΔ|Vt.

6) 假設(shè)客戶持有的每份保底基金的價(jià)值Ct是關(guān)于時(shí)間、利率和指數(shù)基金價(jià)值的函數(shù),即Ct=C(Vt,rt,t),并記在T時(shí)刻到期日的零息票債券價(jià)格為Pt=P(rt,t).

1.2 建立方程

δΠt=δCt-Δ1δVt-Δ2δPt-KVt|δΔ1|=

因保值調(diào)整策略而產(chǎn)生的交易份額δΔ1為

其中Φ～N(0,1).因此交易費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為

進(jìn)一步得到δΠ的數(shù)學(xué)期望為

根據(jù)無(wú)套利原理,此時(shí)E(δΠ)=r(t)Πδt=r(t)(Ct-Δ1Vt-Δ2Pt)δt.整理得

引入風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格λ(t), 在Hull-White模型下有

1.3 定解問(wèn)題

如果有銀行提供擔(dān)保,不存在違約,此時(shí)金融機(jī)構(gòu)無(wú)需提供自有資金,在

Σ:-∞

(1)

如果沒(méi)有銀行提供擔(dān)保,存在違約可能性,此時(shí)金融機(jī)構(gòu)必須提供自有資金,根據(jù)基金條款(3),在Σ:-∞

(2)

其中到期日為T(mén)的零息票價(jià)格P滿足下列邊值問(wèn)題(見(jiàn)文獻(xiàn)[4])

(3)

定解問(wèn)題(3)有唯一顯式解P(rt,t,T)=eA(t)-B(t)r(t),

其中

2 定解問(wèn)題求解

令

在此變換下,經(jīng)計(jì)算化簡(jiǎn)可將LC變?yōu)?/p>

其中

σ2(t)(t)+(t)-2ρσr(t)σV(t),

于是

1) 對(duì)于有銀行或其他金融機(jī)構(gòu)擔(dān)保情況,在上述變換下,原定解問(wèn)題(1)變?yōu)?/p>

此時(shí)未定權(quán)益W是現(xiàn)金流α與β份敲定價(jià)格為α的看漲期權(quán)的和,于是有(見(jiàn)文 [5])

其中

故

2) 對(duì)于沒(méi)有銀行或其他金融機(jī)構(gòu)擔(dān)保情況,在上述變換下,定解問(wèn)題(2)變?yōu)?/p>

(4)

(5)

于是定解問(wèn)題(5)變?yōu)?/p>

(6)

再令

其中

則定解問(wèn)題(6)變?yōu)?/p>

(7)

為求解定解問(wèn)題(7),利用鏡像法,定義

則由Poisson公式可得

故

其中

3 數(shù)值分析舉例

4 結(jié)論

在均值回歸Hull-White利率模型及股指服從幾何Brown運(yùn)動(dòng),并支付一定交易費(fèi)用的情形下,我們得到了與股指掛鉤的保底分紅基金(有擔(dān)保和無(wú)擔(dān)保兩種情況)的顯式定價(jià)公式.通過(guò)數(shù)值分析,我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),在假設(shè)條件更具一般性的假設(shè)下,結(jié)果與實(shí)際將更加吻合.

圖1 無(wú)交易費(fèi)有擔(dān)保情形

圖2 有交易費(fèi)有擔(dān)保情形

[1] 任學(xué)敏,李少華. 保底型基金的設(shè)計(jì)與定價(jià)[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2005,9:22-28.

[2] Hull J C, Options Futures and Other Derivatives[M]. China: Tsinghua University Press, 2001.

[3] Kwok Y K, Mathematical Models of Financial Derivatives[M]. Springer: Singapaore, 1998.

[4] Hull J,W. Pricing Interest Rate Derivative Securities[M]. Review of Financial Studies,1990,3: 573-592.

[5] 姜禮尚. 期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M]. 北京:高等教育出版社,2003.

[責(zé)任編輯：李春紅]

ThePricingofaFundaboutPromisedLowestReturnwithTransactionCosts

ZHU Hai-yan1, ZHNAG Ji-zhou2

(1.Department of Mathematics and Applied Mathematics, Lianyungang Teachers College, Lianyungang Jiangsu 222006, China)(2.College of Mathematics and Sciences, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)

transaction costs; stochastic interest rate; hull-white model

CP31, F224

A

1671-6876(2012)03-0235-06

2012-06-06

朱海燕(1978-), 女, 江蘇鹽城人, 講師, 碩士, 研究方向?yàn)閼?yīng)用微分方程．