姜 雪

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，遼寧 遼陽(yáng) 111003)

函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用

姜 雪

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，遼寧 遼陽(yáng) 111003)

運(yùn)用極值理論，從經(jīng)濟(jì)管理決策中常遇到的需求分析問(wèn)題、利潤(rùn)最大化問(wèn)題、庫(kù)存管理問(wèn)題、成本最小化問(wèn)題和復(fù)利問(wèn)題著手，通過(guò)具體實(shí)例對(duì)導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)中所表示的的實(shí)際意義進(jìn)行了闡述和說(shuō)明。

極值;經(jīng)濟(jì)管理;成本函數(shù)

0 引言

高等數(shù)學(xué)是經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)的重要課程之一，是學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課的必備知識(shí)，對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用。然而，受傳統(tǒng)教學(xué)的影響，大部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感覺(jué)是枯燥的、無(wú)用的，不同程度的帶有一定的抗拒心理，導(dǎo)致了在運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來(lái)解決實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)，由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不牢固而顯得束手無(wú)策。所以新時(shí)代下的教學(xué)要徹底改變學(xué)生的思維意識(shí)，讓學(xué)生切身體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)用性，從而自覺(jué)地去學(xué)習(xí)。引導(dǎo)其應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)及相應(yīng)理論去解決實(shí)際的問(wèn)題［1－4］無(wú)疑是很好的途徑之一，文中以極值在經(jīng)濟(jì)管理決策中常遇到的需求分析問(wèn)題、利潤(rùn)最大化問(wèn)題、庫(kù)存管理問(wèn)題、成本最小化問(wèn)題和復(fù)利問(wèn)題等著手［5－6］，引用實(shí)例進(jìn)行了說(shuō)明。

1 極值的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0∈(a，b).如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)＜f(x0)，則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值；如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)＞f(x0)，則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。

2 經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用

2.1 需求分析

恩格爾(Engel)函數(shù):商品的需求量同商品的價(jià)格，消費(fèi)者的收入情況及地域差別等諸多因素具有相關(guān)性。若考慮將消費(fèi)者的收入定為主要因素，視其他因素固定，則商品需求量依消費(fèi)者收入變化的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為恩格爾函數(shù)，記為Q=f(x)(Q為需求量，x為消費(fèi)者收入)。

明它的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。

2.2 最大利潤(rùn)

2.2.1 產(chǎn)量由生產(chǎn)商規(guī)定的最大利潤(rùn)

設(shè)R(x)和C(x)均表示可導(dǎo)函數(shù)，分別為總收入和總成本函數(shù)(x表示產(chǎn)量)，稱(chēng)R'(x)為邊際收益

函數(shù);C'(x)為邊際成本函數(shù)。

總利潤(rùn)可表示為L(zhǎng)(x)=R(x)－C(x)，欲使總利潤(rùn)最大，其一階導(dǎo)數(shù)等于零，即

這表明:總利潤(rùn)最大時(shí)邊際收益等于邊際成本。

從(1)式與(2)式可知，邊際收益等于邊際成本時(shí)，是獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量處。同時(shí)若有邊際收益對(duì)產(chǎn)量的微商小于邊際成本對(duì)產(chǎn)量的微商，則該產(chǎn)量也能獲得最大利潤(rùn)。

2.2.2 生產(chǎn)商規(guī)定價(jià)格下，需求關(guān)系決定生產(chǎn)量下的最大利潤(rùn)

將產(chǎn)量看作價(jià)格P的函數(shù)x=φ(P)，總收入函數(shù)為R=R(x)=x·P=Pφ(P)，

總成本函數(shù)為C=C(x)=C(φ(P))，在價(jià)格為P時(shí)的總利潤(rùn)為L(zhǎng)=R－C=P·φ(P)－C(φ(P))，欲達(dá)到總利潤(rùn)最大，根據(jù)極值的充分條件需滿足:

最優(yōu)產(chǎn)量將由x=φ(P)確定。

例2.某農(nóng)場(chǎng)有50間獨(dú)立雞舍要出租，當(dāng)租金定為每月2000元時(shí)，雞舍會(huì)全部租出去.當(dāng)租金每月增加100元時(shí)，就有一間雞舍租不出去，而租出去的雞舍每月需花費(fèi)200元的維護(hù)費(fèi).試問(wèn)租金定為多少可獲得最大收入?

解:設(shè)租金為每月x元，獲得的收入為y，則有

所以，每套公寓租金定為3600元，可獲得最大收入，最大收入為115600元。

2.3 庫(kù)存管理

企業(yè)只有保證進(jìn)行正常生產(chǎn)所必須的材料，才能完成生產(chǎn)任務(wù)。而材料需要一定的保管費(fèi)用，在總需要量一定的條件下，訂購(gòu)批量和訂購(gòu)次數(shù)直接影響費(fèi)用。訂購(gòu)批量小、訂購(gòu)次數(shù)多，保管費(fèi)就少。因此如何確定訂購(gòu)批量使總費(fèi)用最少的問(wèn)題成為庫(kù)存管理的主要問(wèn)題之一。這里以整批間隔進(jìn)貨為例來(lái)討論。整批間隔進(jìn)貨是指某物資的庫(kù)存量下降到零時(shí)，隨即訂貨、到貨，庫(kù)存量由零恢復(fù)到最高庫(kù)存量Qmax，在每天保證等量供應(yīng)生產(chǎn)需要，使之不發(fā)生缺貨。

例3.設(shè)某快餐店每年對(duì)一次性餐具的需求量為40000套，每套餐具價(jià)格為2元，年保管費(fèi)10%，每次訂購(gòu)的費(fèi)用10元，試求最優(yōu)訂購(gòu)批量、最優(yōu)訂購(gòu)次數(shù)、最優(yōu)進(jìn)貨周期和最小總費(fèi)用。

解:設(shè)訂貨批量為Q，進(jìn)貨周期為T(mén)，總費(fèi)用為C，則全年訂購(gòu)次數(shù)為

2.4 成本最低的生產(chǎn)量問(wèn)題

生產(chǎn)實(shí)際中，常會(huì)研究在既定的生產(chǎn)規(guī)模及其相應(yīng)的條件下，如何使成本最低，保證利潤(rùn)最大的問(wèn)題。

例4.設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(x)，求平均成本最小的生產(chǎn)量水平。

解:由題意知，邊際成本為C'=C'(x)，

由極值存在的必要條件知道，使平均成本為極小的生產(chǎn)量x0應(yīng)滿足g'(x)=0，故C'(x0)=g(x0)這表明:使得平均成本為最小的生產(chǎn)水平正是使得邊際成本等于平均成本的生產(chǎn)水平。

2.5 復(fù)利問(wèn)題

例5.某企業(yè)根據(jù)現(xiàn)有技術(shù)與資源條件，原計(jì)劃所作投資使今年所得為x元，明年所得為y元，y與x滿足:y=φ(x)，設(shè)年利率為r，每年計(jì)算復(fù)利一次，那么該廠應(yīng)如何調(diào)整投資，使所得的現(xiàn)值最大?

由于1+r＞0，當(dāng)φ″(x)＜0，即φ(x)為上凸函數(shù)時(shí)，可調(diào)整投資使今年所得的x滿足φ'(x)=－(1－r)，這時(shí)，明年所得y可由y=φ(x)算出。

［1］ 葛云飛，李云友.高等數(shù)學(xué)教程［M］.北京:北京交通大學(xué)出版社，2006.

［2］ 周學(xué)勤.例說(shuō)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用［J］，牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，3(1):12－16

［3］ 彭文學(xué).經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2007.

［4］ 顧靜香.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［5］ 滕勇，史俊賢.大學(xué)數(shù)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［6］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2007.

The Application of Function Extremum in Economic Management

JIANG Xue

(Department of Basic Course，Shenyang University of Technology，Liaoyang 111003，China)

Based on extreme value theory，this paper，starting from the problems of demand analysis，profit maximum，inventory management，cost minimum and compound interest，discusses and explains the practical meaning of derivative and relevant knowledge in economy through some examples.

extremum;economic management;cost function

F224.9

A

1009－3907(2012)08－0986－03

2012-05-09

姜雪(1978-)，女，黑龍江明水人，講師，碩士，主要從事教學(xué)方法，生物數(shù)學(xué)方面的研究。

責(zé)任編輯:程艷艷