祁繼鑫 彭興勇

(1.天津市津南區(qū)建筑勘察設(shè)計所，天津 300350;2.中國建筑第一局(集團)有限公司，北京 100161)

0 引言

作為計算力學(xué)的重要分支，有限單元法是一種將連續(xù)體離散化以求解各種力學(xué)問題的數(shù)值方法。1960年Clough在研究平面彈性問題時提出了“有限單元法”的概念。如今，有限單元法已經(jīng)成為處理力學(xué)、物理、工程等計算問題的有效方法之一[1-4]。

早期的幾何非線性有限元分析基本上仍是線性分析的擴展。近年來，基于非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)原理的有限元分析有了很大的發(fā)展，并且已經(jīng)有效地應(yīng)用于廣闊的領(lǐng)域[2]。

本文以幾何非線性余能原理作為基礎(chǔ)，采用全量法，對一懸臂曲梁自由端部受彎矩作用而產(chǎn)生大轉(zhuǎn)動變形的數(shù)值算例進行了分析，驗證了該原理適用于解決具有曲線邊界的幾何非線性的問題。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 將單元余能分解為轉(zhuǎn)動部分和變形部分

1.2 柔度矩陣

單元柔度矩陣的顯式表達式為[5]:

其中，E，v分別為材料的彈性模量和泊松比;U為單位張量。

1.3 支配方程

利用Lagrange乘子法，放松平衡條件約束，則修正的泛函可寫成:

其中，λ，λ3均為 Lagrange乘子，λ =λ1e1+λ2e2。

系統(tǒng)的修正泛函為:

由修正的余能原理，泛函的駐值條件可寫為:

式(6)即為基于基面力概念的余能有限元控制方程[5]。

2 數(shù)值算例分析

有一懸臂曲梁的自由端部受彎矩作用如圖1所示，該懸臂曲梁的半徑為R=100 m，圓心角為90°，截面的高度為h=1 m，彈性模量E=2 000 N·m2，泊松比v=0，作用在自由端的彎矩值為M=2EI/R=3.333 3 N·m。計算時取單位厚度，假設(shè)按平面應(yīng)力問題考慮，采用迭代法計算并進行一次加載分析。

計算時將該懸臂曲梁剖分為140個四邊形單元、307個邊中節(jié)點(如圖2所示)，采用全量法進行計算分析，結(jié)果為一次加載所得。下面將用本文方法計算所得懸臂曲梁自由端的無量綱水平位移值u/(0.5πR)、無量綱豎向位移值v/(0.5πR)與無量綱荷載值k=2MR/(5EI)的關(guān)系列于表1，圖3為懸臂曲梁的荷載—水平位移曲線，圖4為該懸臂曲梁對應(yīng)不同加載值k的變形全圖。

表1 端部承受集中彎矩懸臂梁的荷載—位移關(guān)系

圖1 端部承受彎矩的懸臂曲梁

圖2 四邊形單元剖分的曲梁

圖3 懸臂曲梁的荷載—水平位移曲線

圖4 懸臂曲梁的變形全圖

3 結(jié)語

1)從表1及圖3和圖4可以看出，當(dāng)施加荷載到k=0.4時，該曲梁變形為直梁，梁端的水平位移達到最大值:0.363 1，豎向位移為:0.637 5;當(dāng)繼續(xù)施加荷載到k=0.8時，該曲梁反向彎曲，其當(dāng)前位形與初始位形呈對稱狀，此時，梁自由端的水平位移為0，而豎向位移約為荷載k=0.4時梁自由端豎向位移的兩倍，即:1.273 3。

2)該數(shù)值算例研究表明，利用本文給出幾何非線性余能原理有限元公式可以解決具有曲線邊界的幾何非線性大轉(zhuǎn)動變形問題，且能得到較高精度的解，對于解決結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和屈曲問題的幾何非線性大變形分析具有重要的理論和實際意義。

[1] ZIENKIEWICZ O C.The finite element method[M].New York:McGraw-Hill，1977.

[2] 王勖成.有限單元法[M].北京:清華大學(xué)出版社，2003.

[3] COOK R D.Concepts and applications of finite element analysis[M].New York:Wiley，1981.

[4] BATHE K J.Finite element procedures[M].New Jersey:Prentice-Hall，1996.

[5] 彭一江.基于基面力概念的新型有限元方法[D].北京:北京交通大學(xué)，2006:4.