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        k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)性質(zhì)分析與軌道計(jì)數(shù)

        2012-11-06 11:40:06李泉高光普劉文芬
        通信學(xué)報(bào) 2012年1期
        關(guān)鍵詞:布爾個(gè)數(shù)結(jié)論

        李泉,高光普,劉文芬

        (信息工程大學(xué) 信息工程學(xué)院,河南 鄭州 450002)

        1 引言

        1999年,密碼學(xué)者Pieprzyk[1]在研究散列算法的快速實(shí)現(xiàn)時(shí)提出了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的概念。隨著文獻(xiàn)[2~6]等對(duì)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的進(jìn)一步分析與研究后,發(fā)現(xiàn)這一類結(jié)構(gòu)特殊的布爾函數(shù)可以具有良好的密碼學(xué)性質(zhì),并且搜索旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)要比窮盡搜索布爾函數(shù)空間的效率要高,所以一直以來不斷地通過改良搜索旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)空間的方法尋找密碼學(xué)性質(zhì)優(yōu)良的布爾函數(shù)。2006年,密碼學(xué)者Kavut和Yücel[4]利用最速下降法在旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)空間上搜索到的非線性度為241的9元布爾函數(shù),隨后Kavut和Yücel[7]又證明了241為9元旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)所能達(dá)到的最高非線性度。為了得到更好的結(jié)果,2008年,Kavut和Yücel[8]推廣了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的概念,提出了k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù),初步搜索出了9元非線性度為242的3-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù),并且利用該結(jié)論證明了9元、11元、13元非線性度大于的布爾函數(shù)都是存在的,徹底解決了這個(gè)提出近 30年的公開問題。k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)比旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)對(duì)布爾函數(shù)代數(shù)結(jié)構(gòu)的約束更低,所以數(shù)量更多,并且已經(jīng)尋找到了比旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)密碼學(xué)性質(zhì)更為優(yōu)良的布爾函數(shù)。

        本文在Kavut和Yücel的基礎(chǔ)上研究了k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的性質(zhì)。首先,證明了k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的 Walsh譜和自相關(guān)函數(shù)都滿足k-階的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。分析發(fā)現(xiàn)k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的很多性質(zhì)都可以利用其軌道來刻畫,并給出了k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道中的長圈和短圈的計(jì)數(shù)公式。特別取 k =1時(shí),利用本文所得計(jì)數(shù)公式與Sarkar和Maitra所得的計(jì)數(shù)公式進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)Sarkar和Maitra所得的計(jì)數(shù)公式在 n = pa1… pal,l =2且存在 a ≥ 2 ,或 l ≥ 3 的1li情況下是不成立的,并分析了原因。

        2 基本概念介紹

        記二元域{0, 1}為GF(2),定義GFn(2)到GF(2)上 的 函 數(shù) f(x) = f(x1,x2,… ,xn),x=(x1,x2,… ,xn)∈ G Fn(2)為n元布爾函數(shù)。

        定義 1[9]n元布爾函數(shù) f (x) ,x∈ G Fn(2)的Walsh譜定義為

        定義2[9]設(shè) f (x) ,x∈ G Fn(2)是n元布爾函數(shù),對(duì)x = (x,x ,… ,x )∈ GFn(2), s = (s,s , … ,s)∈ GFn(2),12n12n稱

        為 f (x)的自相關(guān)函數(shù)。

        n元布爾函數(shù)f的自相關(guān)函數(shù) rf和 Walsh譜S(f)有如下關(guān)系:

        定義3[2]對(duì)于任意給定的1≤i≤n,1≤k≤n,xi∈ G F(2)定義

        可知, ρnk可視為(x1,x2,… ,xn)的左循環(huán)移位算子。

        定義 4[8]對(duì)于給定的1 ≤ k ≤ n ,k|n ,n元布爾函數(shù)f對(duì)任意輸入的 x = (x,x ,… ,x )∈GFn(2)12n都滿足:

        則稱 f為k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)(k-RSBF)。

        注 k =1時(shí)f即為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)。

        定義 5[2]對(duì)于給定的1 ≤ k ≤ n ,k|n 和(x1,…xn)∈ G Fn(2)稱

        為k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道,簡稱為軌道。

        由定義4可知,對(duì)任意的軌道 Gj,k-階旋轉(zhuǎn)n,k對(duì)稱函數(shù)限制在該軌道上取值為常數(shù)。將軌道個(gè)數(shù)記為將GFn( 2)分成了gn,k個(gè)不相交的軌道。顯然,中元素的個(gè)數(shù)且都為的因子,稱的軌道為長圈,其個(gè)數(shù)記為 h ,稱n,k的軌道為短圈,其個(gè)數(shù)記為sn,k。

        設(shè) Λ(n,k),j∈ G Fn(2)表示 Gnj,k中元素按字典序排列的第一個(gè)元素,稱為軌道 Gnj,k的代表元。k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的輸出序列可以由長為 gn,k的比特序列

        給出,顯然該序列包含著k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的全部信息。由該序列可知,變?cè)獋€(gè)數(shù)為n的所有k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的個(gè)數(shù)為 2gn,k。

        例1 所有4元2-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道為

        顯然, Gj的全體代表元為4,2

        3 k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的性質(zhì)分析

        3.1 k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的 Walsh譜和自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

        本節(jié)證明了k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的Walsh譜和自相關(guān)函數(shù)滿足k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。

        引理1[3]對(duì)任意給定1≤k≤n、w∈GFn(2)和 x ∈ G Fn(2)都有

        定理1 假設(shè)1 ≤ k ≤ n ,k|n 。則布爾函數(shù)f是n元k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的充要條件是其 Walsh譜S(f)(w )滿足:

        證明 1) 必要性。因?yàn)椴紶柡瘮?shù) f是k-階旋轉(zhuǎn) 對(duì) 稱 函 數(shù) , 則 對(duì) 于 給 定 的1 ≤ k ≤ n ,k|n 有f( ρk( x) ) = f(x),則n

        故必要性成立。

        2) 充分性。假設(shè)布爾函數(shù) f的Walsh譜 S(f)(w)對(duì) 任 意 給 定 的1 ≤ k ≤ n ,k|n , x∈ G Fn(2)和w∈ G Fn(2)滿足,由引理1可知

        由反演公式知

        綜合1)、2)可知定理1成立。

        定理 1說明n元k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù) Walsh譜S(f)(w )的取值個(gè)數(shù)不超過 gn,k個(gè),約是n元旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)Walsh譜取值個(gè)數(shù)的k倍。所以它可以具有比n元旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)更為均勻的譜值分布,即更高的非線性度。

        定理2 假設(shè)1≤k≤n,k|n,布爾函數(shù)f是n元k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù),則其自相關(guān)函數(shù) rf(s)滿足

        證明 由布爾函數(shù)Walsh譜和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系可知

        又由定理1的結(jié)論知

        定理2的逆命題是不成立的(Bent函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)在所有非零點(diǎn)都是零,但Bent函數(shù)顯然不全是k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù))。所以定理2不能作為k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的等價(jià)判別條件。

        3.2 k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)軌道中的長圈與短圈計(jì)數(shù)

        由前述可知,k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的輸出序列、Walsh譜和自相關(guān)函數(shù)等都可以通過其軌道進(jìn)行分類,所以有關(guān)k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道的計(jì)數(shù)和性質(zhì)的研究是有意義的。本節(jié)利用組合論的知識(shí)分別給出了k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道中的長圈和短圈的計(jì)數(shù)公式。首先介紹幾個(gè)基本概念。

        引理2[2](Burnside引理) 假設(shè)G為一個(gè)作用在集合S上的置換群,則G作用在S上得到的軌道數(shù)量為,其中

        引理 3[10](容斥原理) 設(shè) A1, A2,… ,An是有限集合,則

        文獻(xiàn)[8]根據(jù)g 引理2給出了下面結(jié)論。

        定理3[8]n,k表示n元k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道的個(gè)數(shù),則,φ(t)為歐拉函數(shù)

        表1給出當(dāng) n = 4 ,6,… ,1 5時(shí), gn,k的取值。

        表1 n=4,6,…,15時(shí)gn,k的取值

        通過表1可以看出,k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道個(gè)數(shù)約是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道個(gè)數(shù)的k倍。

        推論1 對(duì)于素?cái)?shù)p,若 n = pa,顯然 k = pb且0≤b≤a,則

        證明 因?yàn)?n = pa,k =pb,其中,0≤b≤a。則可用 pi,0≤ i≤ a - b表示所有的因子,又因?yàn)棣? t ) 為歐拉函數(shù),則由歐拉函數(shù)的性質(zhì)得φ( t) = φ ( pi) = pi- pi-1。由定理1可知:

        定理 4 hn,k表示n元k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道所有長圈的個(gè)數(shù),則,μ(d)為默比烏斯函數(shù)

        證 明 首 先 對(duì) 于 給 定 的1 ≤ k ≤ n ,k|n , 令,易知G是循環(huán)群,對(duì)任意的π∈G,π可以分解成兩兩不相交且長度相同的輪換之積。令,表示在G作用下由向量x生成的軌道,定義軌道的重量為向量x的漢明重量。

        i0或1。因此,。又對(duì)任意的? { p1, p2,… pl},可知 l cm( pj1, pj2,… , pjs)=pj1,所以。由引理3可知:

        又因?yàn)槊總€(gè)長圈的元素個(gè)數(shù)都為n個(gè),所以有:

        2) 當(dāng) k > 1 時(shí) , 則 G = { ρk,ρ2k,… ,ρmk}。 令nnn。 對(duì) 任 意 的 x∈ G Fn(2), 若,則存在i|m(i<m),使得。又因?yàn)椋?/p>

        為k個(gè)兩兩不相交的輪換之積,且每個(gè)輪換的長度為m。用fix來表示GFn(2)在 G {ρn}下保持不動(dòng)n的點(diǎn),由1)的結(jié)論可知:

        綜上所述,定理4的結(jié)論是成立的。表2給出當(dāng) n = 4 ,6,… ,1 5時(shí) hn,k的取值。

        表2 n=4,6,…,15時(shí)hn,k的取值

        對(duì)比表1可以發(fā)現(xiàn),在k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道中長圈占大多數(shù)。

        推論 2 假設(shè) sn,k表示n元k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道中所有短圈的個(gè)數(shù),則

        證明 因?yàn)?sn,k= gn,k- hn,k, 所以結(jié)論是顯然的。

        前述結(jié)論在 k =1時(shí)即為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道計(jì)數(shù)的結(jié)論,其相應(yīng)的結(jié)論Sarkar和Maitra在文獻(xiàn)[2]中已有詳細(xì)的描述。值得注意的是,文獻(xiàn)[3]所給出的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道中的長圈的計(jì)數(shù)公式在n = pa1… pal為n的標(biāo)準(zhǔn)分解式時(shí)為1l

        而本文定理4在 k = 1時(shí)為

        經(jīng)計(jì)算在 n = 1 2 = 22× 3 時(shí)文獻(xiàn)[2]的結(jié)論為h12= 3 44,而定理 4的結(jié)論為 h12,1= 3 35。經(jīng)驗(yàn)證12元旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道中長圈個(gè)數(shù)為335個(gè),說明文獻(xiàn)[2]的結(jié)論在 n = 1 2時(shí)是不成立的。

        具體原因是,Sarkar和Maitra得出的n元旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道中所有短圈的數(shù)量為

        之后將軌道總數(shù)減所有短圈的數(shù)量,所得即為n元旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道中所有長圈的數(shù)量。但是, sn只計(jì)算了所有在和作用下不動(dòng)的短圈數(shù)量,而沒有計(jì)算所有在 ρnd作用下不動(dòng)的短圈數(shù)量,其中

        所以Sarkar和Maitra給出的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)軌道中的長圈和短圈的計(jì)數(shù)公式在 n = pa1… pal,l=2且1l存在 ai≥ 2 (i = 1 ,2)或 l ≥ 3 時(shí)都是不正確的。

        表3給出當(dāng)n=1,2,…,30時(shí) hn與 hn,1的取值對(duì)比。

        表3 n=1,2,…,30時(shí)hn與hn,1的取值對(duì)比

        通過研究k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道以及軌道中的長圈和短圈的計(jì)數(shù),可以了解k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的軌道的性質(zhì),從而為更為深入地研究k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的密碼學(xué)性質(zhì)提供幫助。

        4 結(jié)束語

        本文分析了k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的性質(zhì),證明了k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的 Walsh譜和自相關(guān)函數(shù)滿足k-階的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的很多性質(zhì)都可以利用其軌道來刻畫,并利用組合論的知識(shí)給出了n元k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)軌道中的長圈和短圈的計(jì)數(shù)公式。目前,對(duì)于k-階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱函數(shù)的研究工作才剛剛開始,通過深入研究這一類特殊的布爾函數(shù)函數(shù)從而尋找到密碼學(xué)性質(zhì)優(yōu)良的布爾函數(shù),在理論和實(shí)踐上都具有重要的意義。

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