沈 瑞，熊 偉，高樹生

(1. 中國科學(xué)院 滲流流體力學(xué)研究所，河北 廊坊 065007；2. 中國石油勘探開發(fā)研究院廊坊分院，河北 廊坊 065007)

1 引 言

相似理論是物理試驗的基礎(chǔ)，它可將影響現(xiàn)象發(fā)展的全部物理量適當(dāng)?shù)亟M合成幾個無因次的相似準(zhǔn)則，然后把這些相似準(zhǔn)則作為一個整體，來研究各個物理量之間的函數(shù)關(guān)系[1]，這種方法的優(yōu)點不僅會減少試驗工作量，而且推廣了試驗結(jié)果的應(yīng)用范圍，把個別試驗結(jié)果推廣到相似現(xiàn)象群中去。

目前，關(guān)于低滲透油藏非線性滲流機(jī)制方面的試驗研究很多[2－8]，但低滲透油藏物理模擬相似理論方面的研究則較少，因此，在前人關(guān)于水驅(qū)油及3次采油物理模擬相似性研究的基礎(chǔ)上[9－16]，采用方程分析法對低滲透巖芯水驅(qū)油試驗的相似準(zhǔn)則進(jìn)行研究，通過對相似準(zhǔn)數(shù)的畸變分析，研究了相似準(zhǔn)數(shù)對低滲透巖芯水驅(qū)試驗采收率的影響程度，并通過實際巖芯水驅(qū)油試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗證。

2 低滲透巖芯水驅(qū)油數(shù)學(xué)模型及相似準(zhǔn)則

2.1 數(shù)學(xué)模型

低滲透巖芯水驅(qū)試驗為一維滲流的物理模擬，所以可采用考慮擬啟動壓力梯度的一維油水兩相滲流控制方程進(jìn)行描述[17－19]：

油相：

水相：

式中：ρo、ρw分別為油相和水相密度（kg/m3）；ko、kw分別為油相和水相有效滲透率（10-3μm2）；po、pw分別為油相和水相壓力（MPa）；Ax為橫截面積（m2）；qo、qw分別為油和水的匯源項（kg/d）；So、Sw分別為含油和含水飽和度，無量綱；μo、μw分別為油和水的黏度（mPa·s）；φ為孔隙度，無量綱；go、gw分別為油相和水相的擬啟動壓力梯度（MPa/m）。

在式（1）、（2）中，

式中：xp、yp為出口位置坐標(biāo)（m）；h為厚度（m）；pwf為出口端壓力（MPa）；qI表示注入量（kg/d）；δ(x -xp)δ(y -yp)的意義為在（xp,yp）所在網(wǎng)格等于1，在其他網(wǎng)格等于0（無量綱）。

飽和度方程：

初始條件：

2.2 相似準(zhǔn)則分析

從水驅(qū)油兩相流動的控制方程出發(fā)，利用方程分析法推導(dǎo)相似準(zhǔn)則。首先，引入下列無因次量。

無因次自變量：

無因次因變量：

無因次參量：

含水飽和度和相對滲透率歸一化：

式中：xR、yR分別為長度和等效寬度（m）；ΔS=1 -Scw-Sro，Scw、Sro分別為束縛水和殘余油飽和度（無量綱）；kcwo、krow分別為束縛水下的油相有效滲透率和殘余油下的水相有效滲透率（10-3μm2），ct為綜合彈性系數(shù)（MPa-1）。

將式（6）～（9）代入式（1）、（2）可得：

將式（10）中的微商用差商代替：

式中：

式中：i表示第i個網(wǎng)格；n表示第n個時間步。無量綱飽和度方程：

無量綱初始條件：

從以上分析中可以得到以下20個無因次量：

π1～π18的物理意義在文獻(xiàn)[20]中進(jìn)行了闡述，π19和π20分別為無量綱油相和無量綱水相擬啟動壓力梯度。

去掉自變量和因變量，低滲透巖芯油水兩相滲流的參變量共計23個，根據(jù)π定理可知，在選定3個獨立的基本量（時間、長度和質(zhì)量）之后，即可確定控制水驅(qū)油兩相滲流的相似準(zhǔn)數(shù)共計20個，這與上述方程分析法得到的相似準(zhǔn)數(shù)個數(shù)是相等的，證明了所推導(dǎo)的相似準(zhǔn)則的正確性。

3 相似準(zhǔn)數(shù)的敏感性分析與驗證

3.1 相似準(zhǔn)數(shù)敏感性分析

根據(jù)隱式求解壓力、顯式求解飽和度(IMPES)方法，對式（10）～（14）進(jìn)行求解，便可以得到參變量包含相似準(zhǔn)數(shù)的數(shù)值模擬器，通過對某一相似準(zhǔn)數(shù)進(jìn)行畸變，而其他準(zhǔn)數(shù)不變，便可研究該相似準(zhǔn)數(shù)對試驗結(jié)果的影響?；兿禂?shù)可定義為[21－22]

以水驅(qū)油試驗的采收率為目標(biāo)函數(shù)，通過對比某一相似準(zhǔn)數(shù)畸變前后的采收率變化，就可以判斷某一相似準(zhǔn)數(shù)對試驗結(jié)果的影響程度。

式中：Ap為模型與原型完全相似時采出程度曲線和無因次時間軸所圍的面積，TD為無因次開發(fā)時間。

敏感因子可定義為

式中：Si為第 i個相似準(zhǔn)數(shù)畸變后的采出程度曲線與完全相似時采出程度曲線的偏離程度。通過比較敏感因子的大小，即可分析相似準(zhǔn)數(shù)對低滲透巖芯水驅(qū)油試驗結(jié)果的影響程度。

采用數(shù)值模擬方法對各個相似準(zhǔn)數(shù)的敏感性進(jìn)行分析，圖1展示了相似準(zhǔn)數(shù)的敏感因子，可以看出，π3和 π10的敏感因子較大，π3表示殘余油和可流動油飽和度之比，π10表示初始折算含水飽和度，這兩個相似準(zhǔn)數(shù)對低滲透巖芯水驅(qū)油試驗結(jié)果影響較大。

圖1 相似準(zhǔn)數(shù)敏感因子Fig.1 Sensitive factors of similarity criterion

3.2 敏感性驗證

為了說明相似準(zhǔn)數(shù)敏感性對試驗結(jié)果的影響，通過實際低滲透巖芯水驅(qū)油試驗加以驗證。由于水驅(qū)油試驗所用巖芯都要制造束縛水，原始含水飽和度即束縛水飽和度，根據(jù)公式可知相似準(zhǔn)數(shù)敏感因子最大的π10為0；水驅(qū)油試驗采用的巖芯夾持器出口和入口均處于巖芯橫截面的圓心處，即敏感因子較大的π8均相等；本次水驅(qū)油試驗中，所選巖芯均從同一塊天然巖芯鉆取，油水相對滲透率變化規(guī)律相近，即敏感因子較大的π5也相等。因此，檢驗敏感因子第2大的π3對試驗結(jié)果的影響程度，另外對比了敏感因子居中的π1對試驗結(jié)果的影響。

圖2為3塊低滲透巖芯水驅(qū)油試驗的采出程度隨注入孔隙體積倍數(shù)的變化關(guān)系，3塊巖芯是從同一塊天然巖芯上鉆取的，每塊巖芯直徑為2.5 cm、長度為4.5 cm、氣測滲透率為0.355×103μm2，3塊巖芯試驗條件相同，1#巖芯與 2#巖芯完全相似，3#巖芯與1#、2#巖芯除了π3不等之外，其余相似準(zhǔn)數(shù)均相等。從圖中可以看出1#巖芯和2#巖芯的采出程度變化曲線較為接近，而3#巖芯的采出程度與二者相比則有較大差距。

圖3為2塊低滲透巖芯水驅(qū)油試驗的采出程度隨注入體積倍數(shù)的變化曲線，2塊巖芯是從同一塊天然巖芯上鉆取的，氣測滲透率為0.369×103μm2，在試驗條件相同的情況下，2塊巖芯除π1明顯不等外，其他相似準(zhǔn)數(shù)近似相等，從圖3中可以看出，兩條采出程度曲線幾乎重合，因此，π1的改變對水驅(qū)油試驗采出程度的影響較小。

通過上述試驗數(shù)據(jù)驗證了相似準(zhǔn)數(shù)敏感因子的大小確實可以反映出相似準(zhǔn)數(shù)對試驗結(jié)果的影響程度，同時也說明，當(dāng)試驗中無法滿足原型和模型所有相似準(zhǔn)數(shù)完全相等的條件時，要優(yōu)先滿足敏感因子較大的相似準(zhǔn)數(shù)相等，只有這樣，部分相似模型的模擬結(jié)果才更能夠反映原型的物理現(xiàn)象。

圖2 π3對試驗結(jié)果的影響Fig.2 Influence of π3on test result

圖3 π1對試驗結(jié)果的影響Fig.3 Influence of π1on test result

4 結(jié) 論

（1）采用方程分析法對低滲透巖芯油水兩相的控制方程進(jìn)行無因次化，獲得20個相似準(zhǔn)數(shù)，并通過隱式求解壓力、顯式求解飽和度(IMPES)方法，對參變量包含相似準(zhǔn)數(shù)的方程進(jìn)行求解，得到了參變量包含相似準(zhǔn)數(shù)的數(shù)值模擬器，通過對每個相似準(zhǔn)數(shù)進(jìn)行畸變和敏感分析，模擬計算得到每個相似準(zhǔn)數(shù)的敏感因子。

（2）通過實際低滲透巖芯水驅(qū)油試驗證明：敏感因子大的相似準(zhǔn)數(shù)，其改變對試驗結(jié)果影響較大，反之，影響則小。

（3）對于低滲透巖芯水驅(qū)油試驗，在不能設(shè)計完全相似模型時，應(yīng)優(yōu)先滿足敏感因子大的相似準(zhǔn)數(shù)，這樣才能保證試驗結(jié)果更加可靠。

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