胡力繩，王建秀，盧耀如

（1. 中鐵二局股份有限公司, 成都 610031；2. 同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092）

1 引 言

對于深埋隧洞，地下水-圍巖-注漿圈-襯砌共同構(gòu)成了一個水壓平衡體系，它們之間的相互作用決定了圍巖穩(wěn)定、注漿圈止水以及襯砌受力的最終狀態(tài)。在深埋隧洞應(yīng)力與塑性區(qū)計算方面，經(jīng)典的隧洞彈塑性解均沒有考慮滲流場的作用[1－7]；Поинматкин[8]首次推導(dǎo)了各因素對稱條件下滲流場作用下的圓形斷面隧洞彈性解；Fenner公式、修正的Fenner公式和Kastner公式[9]給出了無限大均質(zhì)體中軸對稱圓形隧洞屈服范圍與材料抗剪強(qiáng)度、初始地應(yīng)力和洞內(nèi)周邊均布荷載的關(guān)系；張德興[10]推導(dǎo)了承壓引水隧洞的黏彈性解；王桂芳[11]給出了隧洞圍巖自重作用下，襯砌、圍巖變形及內(nèi)力的黏彈性解；張良輝等[12]基于巖體彈脆塑性模型及非關(guān)聯(lián)流動法則，并考慮地下水壓力的作用，對灌漿隧洞圍巖應(yīng)力與位移的計算公式進(jìn)行了理論推導(dǎo)；蔡曉鴻等[13－16]提出了不同施工階段不同排水條件下，水工壓力隧洞圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)應(yīng)力的彈塑性計算方法；宋俐等[17]修正了Fenner公式，但未考慮襯砌透水性的影響；任青文[18]通過修正Fenner公式，對水工隧洞運(yùn)行期高內(nèi)水壓作用下圍巖塑性區(qū)半徑進(jìn)行了計算；李宗利等[19]推導(dǎo)了滲流場作用下，第一主應(yīng)力為徑向應(yīng)力的深埋圓形隧洞應(yīng)力彈塑性解，但并未考慮襯砌及注漿圈的影響；吉小明、王宇會[20]給出了隧洞工程飽和孔隙介質(zhì)地層中考慮地下水滲流力作用下的應(yīng)力、位移表達(dá)式；任青文、邱穎[21]針對具有襯砌的圓形隧洞，得出了彈塑性條件下應(yīng)力與塑性區(qū)的計算公式和適用條件；王秀英等[22－23]建立了山嶺隧洞堵水限排情況下圍巖力學(xué)特性分析的解析模型并進(jìn)行了理論推導(dǎo)；張黎明等[24]考慮地下水滲流場的作用，將裂隙圍巖視為兩相介質(zhì)體，基于彈性力學(xué)理論和巖體應(yīng)變非線性軟化特征對襯砌隧洞進(jìn)行了彈塑性分析，推導(dǎo)了滲流場作用下圍巖與襯砌的應(yīng)力和位移解析計算公式；Bobet[25]推導(dǎo)了全排水或不排水條件下隧洞襯砌結(jié)構(gòu)應(yīng)力彈性解計算公式，國外其他學(xué)者在此方面也進(jìn)行了大量研究[26－29]。

目前，相對成熟的隧洞圍巖荷載設(shè)計理論僅涉及到 4個因素中的隧洞圍巖-支護(hù)結(jié)構(gòu)體系之間的相互作用，在地下水影響方面，僅在圍巖分類中采用降級的方法予以考慮；國內(nèi)外學(xué)者的研究只考慮了地下水、圍巖、注漿圈、襯砌其中部分因素的相互作用?；诖?，本文推導(dǎo)了上述 4個因素共同作用下的深埋隧洞軸對稱問題的彈塑性解及塑性區(qū)計算公式，并與傳統(tǒng)計算方法進(jìn)行了對比，推導(dǎo)過程分為滲流場水壓力計算與應(yīng)力計算兩部分。

2 考慮地下水與注漿影響的隧洞滲流場水壓力計算

深埋隧洞滲流場水壓力計算基于以下假定：①圍巖為均質(zhì)各向同性連續(xù)介質(zhì)；②含水層面積無限延伸，水流服從達(dá)西定律且為穩(wěn)定流；③地下水不可壓縮，當(dāng)水頭下降時，水瞬時排出；④隧洞斷面為圓形，水直接從襯砌表面均勻滲出后排出；⑤隧洞埋深遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于隧洞洞徑，洞周滲流可簡化為軸對稱徑向滲流問題。分別以圍巖、注漿圈及襯砌為研究對象，并利用邊界條件，解得隧洞滲流場孔隙水壓力計算公式[30]

3 考慮地下水與注漿影響的隧洞應(yīng)力與塑性區(qū)計算

3.1 基本假定與計算模型

計算公式推導(dǎo)基于以下基本假定：①含水層面積無限延伸，地下水不可壓縮，水流服從達(dá)西定律且為穩(wěn)定流；②不考慮重力場的作用；③遠(yuǎn)場垂直地應(yīng)力與水平地應(yīng)力相等；④圍巖、襯砌為均質(zhì)各向同性連續(xù)彈塑體介質(zhì)，襯砌與圍巖共同作用并保持變形連續(xù)；⑤隧洞埋深遠(yuǎn)大于洞徑，將整個問題等效為軸對稱平面問題；⑥圍巖與襯砌破壞服從摩爾-庫侖屈服準(zhǔn)則，屈服區(qū)第一主應(yīng)力為徑向應(yīng)力。已有研究表明，當(dāng)隧洞內(nèi)水壓力為0或遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)場地應(yīng)力時，該假定是合理的[18]。

簡化計算模型見圖 1，設(shè)無窮遠(yuǎn)處作用有初始地應(yīng)力q，注漿圈外半徑處徑向應(yīng)力為p2，襯砌外半徑處徑向應(yīng)力為p1，彈塑性區(qū)交界面處的徑向應(yīng)力為pp，塑性區(qū)半徑為rp，圍巖、注漿圈、襯砌的彈性模量分別為Er、Eg、El，泊松比分別為μr、μg、μl，黏聚力分別為cr、cg、cl，內(nèi)摩擦角分別為φr、φg、φl。

根據(jù)彈性力學(xué)理論，并考慮滲透水壓力的作用，上述問題的平衡微分方程為[1]

式中：α為滲透水壓力作用面積系數(shù)；σr、σθ分別為計算區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)的徑向和環(huán)向有效應(yīng)力（文中均簡稱為徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力，規(guī)定拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)）。

圖1 計算模型Fig.1 Calculation model

對于塑性區(qū)圍巖，其屈服條件滿足摩爾-庫侖準(zhǔn)則，當(dāng)考慮滲透水壓力作用時，摩爾-庫侖屈服準(zhǔn)則變?yōu)閇13]

式中：c、φ分別為黏聚力與內(nèi)摩擦角；σ、τ分別為正應(yīng)力與剪應(yīng)力。

根據(jù)基本假定 σθp＜σrp＜0，得到屈服區(qū)徑向應(yīng)力σrp與切向應(yīng)力σθp的關(guān)系式為

3.2 彈塑性區(qū)交界面位于襯砌內(nèi)（ r0< rp≤r1）

對于注漿圈范圍之外、注漿圈范圍之內(nèi)的彈性區(qū)圍巖，應(yīng)力邊界條件為

根據(jù)文獻(xiàn)[3]，對于邊界條件式中的第1項，可用有限半徑代替無限值的計算結(jié)果，取有限半徑為r2，根據(jù)平衡微分方程式（2），可解得彈性區(qū)位移及應(yīng)力計算公式為

式中：Ur,rcok、σr,rcok、σθ,rcok分別為注漿圈之外圍巖的徑向位移、徑向應(yīng)力與切向應(yīng)力； Ur,grout、σr,grout、σθ,grout分別為注漿圈的徑向位移、徑向應(yīng)力與切向應(yīng)力。

對于塑性區(qū)的應(yīng)力，根據(jù)屈服條件、平衡微分方程及邊界條件為

可解得襯砌塑性區(qū)徑向應(yīng)力計算公式為

將r=rp代入式（8），解得彈塑性區(qū)交界面處的徑向應(yīng)力pp為

根據(jù)圍巖變形連續(xù)假定，得到塑性區(qū)半徑rp的計算公式為

利用接觸條件，在注漿圈外半徑、襯砌外半徑處圍巖變形連續(xù)，即

由式（11）可得到p1、p2關(guān)于 rp與pp的計算公式，將求得的p1、p2與式（9）代入式（10），可得到關(guān)于rp的隱性計算公式，采用迭代法或試算法求解rp，利用rp可求出p1、p2、pp，從而求得彈性區(qū)與塑性區(qū)應(yīng)力。

3.3 彈塑性區(qū)交界面位于注漿圈內(nèi)（ r1< rp≤rg）

對于注漿圈范圍之外的彈性區(qū)圍巖，其應(yīng)力及位移可參照式（6）進(jìn)行計算；對于注漿圈范圍內(nèi)的彈性區(qū)圍巖，根據(jù)平衡微分方程和邊界條件為

得到注漿圈彈性區(qū)圍巖位移及應(yīng)力計算公式為

對于隧洞塑性區(qū)，可將其分為襯砌范圍內(nèi)及襯砌范圍之外注漿圈范圍之內(nèi)兩部分進(jìn)行計算，對于襯砌范圍內(nèi)的塑性區(qū)應(yīng)力計算，根據(jù)邊界條件

可解得襯砌范圍內(nèi)塑性區(qū)徑向應(yīng)力為

將r=rl代入式（15），得到襯砌外半徑處的徑向應(yīng)力p1為

對于注漿圈范圍內(nèi)的塑性區(qū)應(yīng)力計算，根據(jù)邊界條件

可解得注漿圈范圍內(nèi)塑性區(qū)徑向應(yīng)力為

將r=rp代入式（18），得到彈塑性區(qū)交界面處的徑向應(yīng)力pp為

根據(jù)圍巖變形連續(xù)假定，得到塑性區(qū)半徑rp的計算公式為

利用圍巖變形連續(xù)假定，在注漿圈外半徑處徑向位移相等，即

得到注漿圈外半徑處的徑向應(yīng)力p2關(guān)于rp與pp的計算公式，將p2與式（19）代入式（20），利用迭代法或試算法可解得rp，利用rp可求出pp、p2，從而求出彈性區(qū)圍巖應(yīng)力。

3.4 彈塑性區(qū)交界面位于注漿圈之外（ rp>rg）

對于塑性區(qū)范圍之外的彈性區(qū)圍巖，根據(jù)平衡微分方程和邊界條件

可得到彈性區(qū)圍巖應(yīng)力計算公式為

對于塑性區(qū)圍巖，可將其分為未注漿圍巖、注漿圈及襯砌3部分，這3部分的應(yīng)力邊界條件為

根據(jù)平衡微分方程，可解得塑性區(qū)襯砌徑向應(yīng)力為

將r=rl代入式（25），可得襯砌外半徑處的徑向應(yīng)力p1為

同理，可解得塑性區(qū)注漿圈徑向應(yīng)力為

將r=rg代入式（27），可得注漿圈外半徑處的徑向應(yīng)力p2為

塑性區(qū)圍巖徑向應(yīng)力為

將r=rp代入式（29），得到彈塑性區(qū)交界面的徑向應(yīng)力pp為

根據(jù)圍巖變形連續(xù)假定，得到塑性區(qū)半徑rp的計算公式為

將式（26）、（28）、（30）代入式（31），利用迭代法或試算法可解得rp，利用rp可求出pp，從而求出圍巖應(yīng)力。對于塑性區(qū)的切向應(yīng)力，可以按照屈服條件式（4）進(jìn)行求解，利用Matlab編制程序?qū)ι鲜龉竭M(jìn)行計算。需要說明的是，隨著隧洞內(nèi)水壓力的增大，切向應(yīng)力將可能成為第一主應(yīng)力，可改變式（4）的屈服條件，對隧洞應(yīng)力及塑性區(qū)計算公式重新進(jìn)行推導(dǎo)。

4 工程應(yīng)用

4.1 工程背景

以某深埋隧洞工程為例，計算參數(shù)如下：隧洞斷面為圓形，襯砌內(nèi)半徑r0=4 m，外半徑 rl=5 m，遠(yuǎn)場穩(wěn)定水壓力P=1 MPa，隧洞內(nèi)水壓力為p0，遠(yuǎn)場穩(wěn)定水壓力半徑 R=200 m，遠(yuǎn)場地應(yīng)力q=10 MPa，巖體彈性模量Er=10 GPa，泊松比μr=0.25，黏聚力cr=1 MPa，內(nèi)摩擦角φr=40o，綜合滲透系數(shù)kr=5×10-6m/s；注漿圈彈性模量Eg=10 GPa，泊松比μg=0.25，黏聚力cg=1.5 MPa，內(nèi)摩擦角φg=40o；襯砌彈性模量El=25 GPa，泊松比μl=0.15，黏聚力cl=5 MPa，內(nèi)摩擦角φl=45o，滲透系數(shù)kl=1×10-8m/s；取α=1.0，通過試算法確定有限計算半徑取20倍洞徑。

4.2 與傳統(tǒng)方法計算結(jié)果的對比

分別利用本文公式、李宗利公式[19]（該方法未考慮注漿圈及襯砌的影響，取p0=0）、彈性力學(xué)厚壁圓筒拉梅解（該方法未考慮滲流場、注漿圈及襯砌的影響，取 P=p0=0）計算隧洞應(yīng)力與塑性區(qū)。

以毛洞開挖階段為例，該階段只存在地下水、圍巖的相互作用，本文方法與李宗利法的計算結(jié)果見圖2（rp、分別為兩種方法計算的塑性區(qū)半徑）。從圖中可以看出，兩種方法計算得到的應(yīng)力大小、應(yīng)力分布規(guī)律以及塑性區(qū)半徑均較為接近，從而驗(yàn)證了本文公式的可靠性。

圖2 本文方法與李宗利方法計算結(jié)果對比Fig.2 Comparison of calculated results between the method presented in this paper and the Lizongli’s method

若不考慮滲流場的影響，將襯砌、注漿圈的物理力學(xué)參數(shù)與圍巖取為一致，則本文計算結(jié)果與經(jīng)典的彈性力學(xué)厚壁圓筒拉梅解完全一致（見圖3），從而驗(yàn)證了本文公式的正確性。

圖3 本文方法與拉梅解計算結(jié)果對比Fig.3 Comparison of calculated results between the method presented in this paper and the Lame’s method

分別利用本文公式與修正的Fenner公式，計算了不同條件下的隧洞塑性區(qū)。修正的 Fenner公式為[19]

（1）無注漿條件下隧洞塑性區(qū)計算

計算了開挖洞徑分別為4、5 m，不同滲流場條件下的塑性區(qū)（見圖4）。從圖中可以看出，在第一主應(yīng)力為徑向應(yīng)力的條件下，隨著內(nèi)水壓力的增大，塑性區(qū)逐漸減小，兩種方法計算結(jié)果差異逐漸減??；隨著開挖斷面的增大，塑性區(qū)逐漸增大，兩種方法計算結(jié)果差異逐漸增大，洞徑為4 m時最大差異為2.2 m，洞徑為5 m時最大差異為3.4 m；由于修正的Fenner公式?jīng)]有考慮滲流場的影響，對于無注漿條件下隧洞開挖階段圍巖塑性區(qū)的計算，其計算結(jié)果較考慮滲流場作用時偏小，計算結(jié)果不夠安全。

圖4 無注漿條件下隧洞塑性區(qū)兩種方法計算結(jié)果對比Fig.4 Comparison of tunnel plastic zone calculated results without grouting between the two methods

（2）注漿條件下隧洞塑性區(qū)計算

計算了不同襯砌厚度、不同滲流場條件下的隧洞塑性區(qū)，計算結(jié)果見圖 5。由圖可知，隨著內(nèi)水壓力的增大，塑性區(qū)逐漸減小，兩種方法的計算結(jié)果差異逐漸減小。隨著襯砌厚度的增大，塑性區(qū)逐漸減小，兩種方法計算結(jié)果差異逐漸增大。對于地下水-圍巖-注漿圈-襯砌共同作用下的隧洞塑性區(qū)計算，由于修正的Fenner公式不能考慮注漿圈對圍巖強(qiáng)度的提高、注漿圈的止水作用以及襯砌的影響，其計算結(jié)果較考慮上述因素偏大，計算結(jié)果偏于保守。

圖5 注漿條件下隧洞塑性區(qū)兩種方法計算結(jié)果對比Fig.5 Comparison of grouting tunnel plastic zone calculated results between the two methods

4.3 注漿對塑性區(qū)的影響規(guī)律

不同注漿條件下注漿圈厚度 Dg與塑性區(qū)范圍rp的關(guān)系曲線見圖 6。隨著注漿圈厚度的增大與注漿圈止水能力的增強(qiáng)，塑性區(qū)逐漸減小，注漿圈厚度與塑性區(qū)范圍近似呈對數(shù)遞減關(guān)系。注漿圈止水效果越好，增大相同的注漿圈厚度，塑性區(qū)減小幅度越大，故在施工中應(yīng)盡量保證注漿質(zhì)量。從圖中還可以看出，注漿圈厚度并不是越大越好，而是存在最優(yōu)值，超過該值后繼續(xù)增大注漿圈厚度對限制塑性區(qū)的發(fā)展已無明顯意義，最優(yōu)值可根據(jù)注漿圈厚度-塑性區(qū)關(guān)系曲線進(jìn)行確定。

圖6 注漿圈厚度與塑性區(qū)范圍關(guān)系曲線Fig.6 Grouting ring thickness-plastic zone curves

5 結(jié) 論

（1）考慮地下水、注漿及襯砌的影響，推導(dǎo)了深埋隧洞軸對稱問題的彈塑性解，通過與現(xiàn)有方法進(jìn)行對比，證明本文公式的計算結(jié)果是可靠的。若不考慮滲流場、襯砌及注漿圈的影響，則本文公式的計算結(jié)果與厚壁圓筒拉梅解完全一致。

（2）傳統(tǒng)的隧洞應(yīng)力與塑性區(qū)計算方法沒有或只有部分考慮了地下水、注漿圈、襯砌的作用，以修正的Fenner公式為例，對于無注漿條件下的隧洞塑性區(qū)計算，其計算結(jié)果是不夠安全的；對于注漿條件下的隧洞塑性區(qū)計算，其計算結(jié)果偏于保守。

（3）與修正的Fenner公式計算結(jié)果對比表明，隨著內(nèi)水壓力的增大，兩種方法計算結(jié)果差異逐漸減小；隨著開挖斷面及襯砌厚度的增大，兩種方法計算結(jié)果差異逐漸增大。

（4）隨著注漿圈厚度的增大與注漿圈止水能力的增強(qiáng)，塑性區(qū)范圍逐漸減??；注漿圈厚度存在最優(yōu)值，該值可通過注漿圈厚度-塑性區(qū)關(guān)系曲線進(jìn)行確定。

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