邢如其， 崔 笑， 李 偉， 張 如， 臧 云

(石家莊鐵道大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，河北 石家莊 050043)

一、引例

假設(shè)某公司全年生產(chǎn)甲零件，已知全年生產(chǎn)量36 000個，生產(chǎn)每批零件的調(diào)整成本1 000元，全年平均儲存成本2元/件年，每天生產(chǎn)量300件，每天發(fā)出(或領(lǐng)用)量200件，企業(yè)將如何安排生產(chǎn)才能使總成本最低？顯然，這是一個最優(yōu)生產(chǎn)批量的決策問題。應(yīng)用最優(yōu)生產(chǎn)批量模型：

最優(yōu)生產(chǎn)批量

(1)

最優(yōu)生產(chǎn)批量的全年總成本

(2)

式中，A為零部件(或產(chǎn)品)全年生產(chǎn)量；Q為零部件(或產(chǎn)品)生產(chǎn)批量；TC為最優(yōu)生產(chǎn)批量的總成本；S為生產(chǎn)每批零部件(或產(chǎn)品)的調(diào)整成本；C為每個零部件(或產(chǎn)品)的全年平均儲存成本；q為零部件(或產(chǎn)品)的每天生產(chǎn)量；d為零部件(或產(chǎn)品)的每天發(fā)出(領(lǐng)用)量。

可得最優(yōu)生產(chǎn)批量Q*≈10 392件，最優(yōu)生產(chǎn)批次n=A÷Q=36 000÷10 392 ≈ 3.5批，最優(yōu)生產(chǎn)批量的總成本TC≈ 6 928元。實際上，這個結(jié)果是錯誤的，可由下面的逐次測試得以證實(如表1所示)。

應(yīng)用逐次測試法，最優(yōu)的經(jīng)濟批量、批次和最低成本分別為14 697件、2.5批和4 950元，而不是10 392件、3.5批和6 928元。

為什么會出現(xiàn)這樣錯誤的結(jié)論呢？原因在于模型(1)、(2)隱含了一個假設(shè)。即一年的生產(chǎn)量與發(fā)出量之比為一年(一年按360天計，下同)，如果實際情況不滿足此假設(shè)，就將導(dǎo)致錯誤的決策。

如果在上例中，每天甲零件的發(fā)出量不是200件，而是100件，則應(yīng)用模型(1)、(2)可得：最優(yōu)生產(chǎn)批次n=A÷Q=36 000÷7349≈4.9批，最優(yōu)生產(chǎn)批量的總成本TC≈9 799元。這個結(jié)果是正確的，因為，每天發(fā)出100件，36 000件正好是一年的發(fā)出量。這個結(jié)果和下面的逐次測試法得到結(jié)果一致，如表2所示。

企業(yè)在實際的生產(chǎn)批量決策中，一年的生產(chǎn)量與發(fā)出量之比恰好等于360的情況是不多見的，這就需要對模型(1)、(2)進行修正[1-2]。

表1 每天發(fā)出200件時的最優(yōu)生產(chǎn)批量

注：表1中的單位儲存成本是按1元計算的。

表2 每天發(fā)出100件時的最優(yōu)生產(chǎn)批量

二、單一產(chǎn)品經(jīng)濟生產(chǎn)批量模型改進

在每天發(fā)出200件時，表1中逐次測試的結(jié)果顯示最優(yōu)批量為14 400件，2.5批，此時的成本為4 900元，而不是利用(1)、(2)式計算的3.5批。原因是每天發(fā)出200件，存儲甲零件的最長時間是：36 000÷200=180天，只有半年，存儲成本就應(yīng)當(dāng)按半年計算，而不能按一年計算。也就是每個零件的儲存成本C*=2÷360×180=1元/件。

在零部件存儲時間不足一年的條件下，如果仍然應(yīng)用類似(1)、(2)形式的模型，需要對其進行改進[3]，只需將單位儲存成本C假設(shè)一年改為平均每天儲存成本不受生產(chǎn)數(shù)量與發(fā)出量之比必須為360的限制。此時：

調(diào)整成本=每次調(diào)整成本×調(diào)整次數(shù)，即

(3)

儲存成本=單位儲存成本×平均儲存量×儲存天數(shù)×批次，即

(4)

總成本=調(diào)整成本+儲存成本

(5)

根據(jù)總成本TC最小的必要條件

(6)

可得，經(jīng)濟生產(chǎn)批量為

(7)

由Q*代入(5)可得

(8)

仍然沿用M公司生產(chǎn)甲零件的數(shù)據(jù)，如果每天發(fā)出量為100件，則：

=7 349(件)

≈9 798(元)

計算結(jié)果與原來的計算結(jié)果表2逐次測試結(jié)果一致。

如果每天發(fā)出量不是100件，而是200件，則：

=14 697(件)

計算結(jié)果與原來的計算結(jié)果并不相同，但卻與表1逐次測試的結(jié)果一致(表1中2.5批時的最低成本為4 950元，和4 898相差52元，是由于最優(yōu)批次為一位小數(shù)所致)。也就是說，(7)、(8)才是不受每天發(fā)出數(shù)量限制的最有生產(chǎn)經(jīng)濟批量的決策模型。

三、多品種產(chǎn)品經(jīng)濟生產(chǎn)批量的確定

當(dāng)企業(yè)用同一種生產(chǎn)設(shè)備輪換分批生產(chǎn)多種產(chǎn)品或零部件時，有人主張采用共同最優(yōu)生產(chǎn)批次模型來確定生產(chǎn)批量，此時的模型為

(9)

(9)式中，各符號的含義與(1)、(2)中的含義相同。

實際上，由(9)所確定的共同最優(yōu)批次并不能保證總成本最低，即不存在共同最優(yōu)生產(chǎn)批次。比如，N企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，有關(guān)兩種產(chǎn)品的數(shù)據(jù)如表3所示：

表3 N企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品有關(guān)數(shù)據(jù)資料

根據(jù)表3資料和(9)得：

=3.539(批)

由此可得：

根據(jù)(2)得：

TC甲=4 157(元)，TC乙=2 351.5(元)；

總的成本

TC總=TC甲+TC乙=6 508.5(元)

而根據(jù)(7)、(8)可得：

總的成本

TC總=TC甲+TC乙=2 400+1 920=4 320(元)。

由此可知，應(yīng)用共同最優(yōu)生產(chǎn)批次所得結(jié)果，較之應(yīng)用(7)、(8)要多花費成本2 188.5(6 508.5-4 320=2 188.5)元。也就是說，應(yīng)用(9)所確定的“共同最優(yōu)生產(chǎn)批次”的計算公式，不能實現(xiàn)多種產(chǎn)品在同一設(shè)備輪換生產(chǎn)的最優(yōu)，也就是不存在多種產(chǎn)品的“共同最優(yōu)生產(chǎn)批次”。只能應(yīng)用(7)、(8)確定每種產(chǎn)品的最優(yōu)批量和批次后，再統(tǒng)籌安排輪換生產(chǎn)才能實現(xiàn)最優(yōu)。這個論斷可以根據(jù)證明(5)、(6)的原理，并應(yīng)用解析法得到證明。

(10)

由于(10)中各產(chǎn)品的批量Qi和Qj沒有相乘的關(guān)系，當(dāng)TC總對Qi求偏導(dǎo)時，任意的Qj(i≠j)均為常量。所以：

(11)

由(11)很容易地即可得到(5)、(6)，進而得到(7)、(8)。