楊茂松，汪 清，馬子普

(1. 中國水利水電第五工程局有限公司，成都610066;2. 河海大學(xué)水利水電學(xué)院，南京210098;3. 西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西楊凌712100)

當(dāng)水流經(jīng)泄水建筑物下泄時，勢能轉(zhuǎn)化為動能，在建筑物下游某個過水?dāng)嗝媪魉龠_(dá)到最大，水深達(dá)到最小，這個最小的水深被稱為收縮水深。明渠渠道收縮水深的計算是分析泄水建筑物下游的水流銜接形式、消能設(shè)計以及判定水躍位置的關(guān)鍵和前提，在水利工程中經(jīng)常遇到。常見斷面收縮水深的基本方程為高次隱函數(shù)方程，無法直接得出理論解，傳統(tǒng)的計算方法包括試算法、圖解法等，費(fèi)時費(fèi)力且精度不高。近十多年來，許多專家學(xué)者在計算斷面的收縮水深方面做了大量的研究工作，他們的研究成果主要集中在兩個方面:①基于無量綱原理，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換得到收縮水深的直接計算公式［1－18］，②選取合理的初值采用迭代法求解斷面收縮水深［19－23］。另外，也有部分研究者采用其他方法進(jìn)行求解，如鄒平桂［24］糅合了數(shù)學(xué)分析和迭代法的優(yōu)點(diǎn)，根據(jù)求方程近似解的綜合法公式確定了合理的收縮水深初值及其遞推公式，金菊良等［25］應(yīng)用加速遺傳算法來計算溢流壩下游收縮斷面水深，孫道宗等［26］采用增量調(diào)整法確定出合理的初值，變試算為直接計算。另外，我們可以注意到的一個突出特點(diǎn)是，這些探究收縮水深求解方法的研究成果主要集中于于矩形與梯形兩種斷面形式，而對于其他工程中也較為常見的斷面形式，如圓形、平方及立方拋物線形等斷面形式下的收縮水深研究較少。

MATLAB 具有很強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理功能、靈活的插值方法、強(qiáng)大的圖像顯示和處理能力，是目前國際上最流行、應(yīng)用最廣泛的科學(xué)和工程計算軟件。MATLAB 的這種獨(dú)特優(yōu)勢使得到精確的收縮水深值成為可能，甚至得到比迭代或直接計算更精確的數(shù)值。然而，迄今國內(nèi)在求解包括收縮水深在內(nèi)的特征水深方面鮮見其應(yīng)用。國內(nèi)可見的較早報道采用MATLAB 語言編程計算過水?dāng)嗝娴氖湛s水深是在2008年［27］，文中編程計算了包括收縮水深在內(nèi)的梯形斷面的四種特征水深。然而，其過程依然較為繁瑣，尚有很大的改進(jìn)空間。本文將充分發(fā)揮MATLAB 語言簡單易懂的優(yōu)勢，采用非常簡短的程序，通過具體實(shí)例，來編程求解梯形、圓形、平方拋物線形、立方拋物線形四種簡單斷面形式下的收縮水深。城門洞形、馬蹄形、直邊U 形均是由簡單斷面組合而成的的復(fù)合斷面，其收縮水深的求解與簡單斷面收縮水深的求解類似，只是在求斷面收縮水深前需要先求分界流量從而判定收縮水深所在深度范圍，三角形斷面可以看成是底邊長度為0 梯形斷面，矩形斷面都可以看成邊坡系數(shù)為0 的梯形斷面，它們的斷面收縮水深的求解都可通過梯形斷面收縮水深變換得到，本文不再對這這些斷面形式下的收縮水深進(jìn)行編程求解。實(shí)例表明，MATLAB 語言編程求解過水?dāng)嗝娴氖湛s水深，其過程簡便易懂，結(jié)果精確。希望本文的方法有助于人們對MATLAB 求解思路的進(jìn)一步認(rèn)識，促進(jìn)MATLAB 在水利工程中的推廣與應(yīng)用。

1 斷面收縮水深的函數(shù)表達(dá)式

收縮水深的的基本方程為:

式中:E0為收縮斷面底部為基準(zhǔn)面的泄水建筑物上游總水頭，m;hc為收縮斷面水深; Q 為下泄流量，m3/s; g 為重力加速度，m2/s;φ 為流速系數(shù);Ac為收縮斷面面積，m2。

1.1 梯形斷面收縮水深的函數(shù)表達(dá)式

過水?dāng)嗝婷娣e計算公式為:

將式子(2) 帶入(1) 可得到梯形斷面收縮水深的的基本方程為:

式中:m 為邊坡系數(shù);b 為底邊寬度，m。

1.2 無壓流圓形斷面收縮水深的函數(shù)表達(dá)式

收縮斷面水深計算公式為:

過水?dāng)嗝婷娣e計算公式為:

將式子(4) 、(5) 帶入(1) 可得到無壓流圓形斷面收縮水深的的基本方程為:

式中:r 為半徑，m;θ 為過水?dāng)嗝鎴A心角，rad。

1.3 平方拋物線形斷面收縮水深的函數(shù)表達(dá)式

設(shè)平方拋物線方程為:

過水?dāng)嗝婷娣e表達(dá)式為:

將式子(8) 帶入(1) 可得到平方拋物線形斷面收縮水深的基本方程為:

式中: p 為形狀系數(shù)。

1.4 立方拋物線形斷面收縮水深的函數(shù)表達(dá)式

設(shè)立方拋物線方程為:

過水?dāng)嗝婷娣e為:

將式子(11) 帶入(1) 可得到立方拋物線形斷面收縮水深的基本方程為:

式中:p 為形狀系數(shù)。

2 應(yīng)用舉例

2.1 梯形斷面的收縮水深

以文獻(xiàn)［12］為例，已知壩前斷面總水頭E0=10.31 m，通過流量Q=140 m3/s。梯形渠道底寬b=10 m，梯形邊坡系數(shù)m=1，流速系數(shù)φ=0.95，求壩下斷面收縮水深。

程序如下:

略去不合理的4個值，得收縮水深hc=0.991571 m。

2.2 無壓流圓形斷面的收縮水深

以文獻(xiàn)［13］為例，已知壩( 閘) 前斷面總水頭E0=12 m，通過流量Q=200 m3/s，圓形斷面直徑d =15 m，流速系數(shù)φ=0.95，求壩( 閘) 后斷面收縮水深。

先編程求解過水?dāng)嗝鎴A心角θ，程序如下:

即過水?dāng)嗝鎴A心角θ=1.536700089rad。

接下來編程求解收縮水深:

2.3 平方拋物線形斷面的收縮水深

以文獻(xiàn)［15］為例，已知壩前斷面總水頭E0=10.31 m，通過流量Q =140 m3/s，流速系數(shù)φ=0.95，若采用拋物線形斷面，其方程為y=0.25x2，求壩下斷面收縮水深h。

程序如下:

略去不合理的3個值，得收縮水深hc=2.7405 m。

2.4 立方拋物線形的收縮水深

以文獻(xiàn)［17］為例，已知壩前斷面總水頭E0=10 m，通過流量Q =100 m3/s，流速系數(shù)φ=0.95，若采用立方拋物線形斷面，其方程為y=0.40|X|3/2，求壩下斷面收縮水深hc。

略去不合理的3個值，得收縮水深hc=2.24942 m。

3 精度分析與誤差比較

實(shí)例所在文獻(xiàn)中均比較了所用公式與精確值的相對誤差，現(xiàn)將其與本文計算結(jié)果再進(jìn)行比較，見表1。

表1 幾種斷面形式下收縮水深不同計算方法誤差比較Tab.1 Error comparison between different calculation methods for contraction depth of several common sections

4 結(jié) 論

應(yīng)用MATLAB 語言，通過對梯形、圓形、平方拋物線形、立方拋物線形4 種斷面形式下的收縮水深的編程計算可以看出，其過程簡練，方法容易掌握。因它們都是直接采用理論公式進(jìn)行計算，故精度非常高。MATLAB 作為一種強(qiáng)大的工程軟件，其獨(dú)特的優(yōu)勢當(dāng)可使其在水利設(shè)計與計算中得到更多的推廣和應(yīng)用，并發(fā)揮更大的作用。

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