陳光勝 李郝林

（上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

伺服系統(tǒng)中的摩擦環(huán)節(jié)會使進(jìn)給機(jī)構(gòu)出現(xiàn)爬行、振蕩，過象限突起以及較大的穩(wěn)態(tài)誤差等［1－2］。為實現(xiàn)伺服系統(tǒng)的高精度控制，在得到慣量、阻尼和摩擦等動態(tài)參數(shù)基礎(chǔ)上對伺服系統(tǒng)進(jìn)行精確建模是必要的。然而，僅利用設(shè)計參數(shù)通過解析法無法得到滿意的結(jié)果。系統(tǒng)辨識是得到諸如摩擦類動態(tài)參數(shù)的有效的手段［3］。另外，由于進(jìn)給機(jī)構(gòu)運(yùn)動部件潤滑及磨損情況直接影響摩擦參數(shù)，因此對伺服系統(tǒng)的摩擦辨識也是實現(xiàn)機(jī)床性能評估和狀態(tài)監(jiān)測的需要。

盡管目前已有多個摩擦模型如:庫侖+粘性模型［5］、Stribeck 模型［6］、Karnopp 模型［7］、LuGre 模型［8］和GMS［9］模型等。但Stribeck摩擦模型仍然是目前較為公認(rèn)的成熟模型，由于該模型能對摩擦的靜態(tài)特性能準(zhǔn)確描述，因此在伺服系統(tǒng)的摩擦建模中被廣泛采用。本文將針對數(shù)控機(jī)床的伺服系統(tǒng)，對進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動機(jī)構(gòu)中存在的摩擦進(jìn)行研究，通過非線性辨識則到精確的Stribeck摩擦模型參數(shù)。

1 摩擦的Stribeck模型

Stribeck模型也稱“指數(shù)模型”，該模型由Stribeck在1902年提出。他研究發(fā)現(xiàn)，兩物體間的摩擦力與相互接觸物體表面之間的潤滑油膜厚度有關(guān)，而接觸面之間的潤滑油膜厚度隨著相對運(yùn)動速度的變化而發(fā)生改變，因此摩擦力表現(xiàn)為相對運(yùn)動速度的函數(shù)。這就是人們所熟知的Stribeck曲線，如圖1所示。從Stribeck曲線可以看出，運(yùn)動中的摩擦可以分為邊界摩擦、混合摩擦和粘性摩擦3個階段。在速度v較小時，隨著速度的增加，靜摩擦力逐漸以指數(shù)形式下降到庫侖摩擦;而隨速度v繼續(xù)增大，粘滯摩擦力與速度成線性關(guān)系。在穩(wěn)態(tài)運(yùn)動時，摩擦力與速度的關(guān)系如下式:

式中:Fc為庫侖摩擦力;Fs為靜摩擦力;σ為粘滯摩擦因數(shù);vs為臨界Stribeck速度;δ為Stribeck形狀系數(shù)，通常取1。Fc、Fs、σ和vs等參數(shù)需要通過參數(shù)辨識得到。

2 Stribeck模型參數(shù)非線性辨識

從式（1）可以看出，Stribeck模型為指數(shù)形式，因此無法利用線性的方法進(jìn)行辨識，必須要實現(xiàn)非線性模型的線性化。

2.1 基本原理

將式（1）中指數(shù)項按泰勒公式展開，以6次為例，式（1）寫成:

式（2）將摩擦力Ff寫成了速度v的各次冪的線性表達(dá)式。當(dāng)通過實驗得到多組Ffi、vi序列時，令

根據(jù)式（2），得

根據(jù)最小二乘法進(jìn)行參數(shù)擬合，得到^θ，從而得到摩擦模型各參數(shù)

為了計算方便，在伺服電動機(jī)驅(qū)動的伺服系統(tǒng)中，摩擦力、速度也可以表示為Tf轉(zhuǎn)矩（N·m）和ω轉(zhuǎn)速（rad/s），這時，摩擦模型參數(shù)的單位也做相應(yīng)調(diào)整。

2.2 實驗曲線的獲得

簡化的伺服系統(tǒng)控制模型如圖2所示，進(jìn)給系統(tǒng)的移動部分和轉(zhuǎn)動部分質(zhì)量、阻尼、摩擦力均等效到伺服電動機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量Je、Be、Te

對于圖2所示的模型，有

當(dāng)機(jī)床工作臺沿導(dǎo)軌勻速進(jìn)給且空載運(yùn)行時，電動機(jī)勻速轉(zhuǎn)動，有˙ω=0，上式寫成

將阻尼力視為摩擦的一部分，這時

其中:Tf為機(jī)床在勻速進(jìn)給時的摩擦力矩。

使機(jī)床伺服軸在不同速度下勻速空運(yùn)轉(zhuǎn)，通過信號采集系統(tǒng)得到電動機(jī)的電流i和轉(zhuǎn)速n，即可得到電動機(jī)摩擦力矩Tf和轉(zhuǎn)速n關(guān)系，并可換算為工作臺進(jìn)給速度v與摩擦力Ff的對應(yīng)關(guān)系，并得到Stribeck曲線。

3 Stribeck模型參數(shù)非線性辨識實驗

伺服系統(tǒng)的Stribeck模型參數(shù)辨識實驗在某大型數(shù)控磨齒機(jī)砂輪修整系統(tǒng)進(jìn)行，以對Y軸移動部件的摩擦為研究對象（圖3）。Y軸伺服電動機(jī)扭矩常數(shù)Kt=1.1N/A，絲杠導(dǎo)程L=5 mm。

Y軸在空載情況下，采用不同的進(jìn)給速度勻速往復(fù)進(jìn)給，分別采集正向和反向進(jìn)給時的電流值i和進(jìn)給速度F。由于方法相同，本文僅以正向進(jìn)給時的摩擦來研究，得到對應(yīng)的摩擦力矩Tf和角速度ω的對應(yīng)如表1所示，繪制的角速度與摩擦矩的離散點(diǎn)如圖4所示。

表1 Y軸伺服系統(tǒng)正向進(jìn)給時的速度與電流

表2 Stribeck模型參數(shù)辨識結(jié)果

根據(jù)式（2）、（3），利用最小二乘法可以得到Stribeck摩擦模型的參數(shù)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步手工調(diào)整得到優(yōu)化的參數(shù)，利用優(yōu)化后的參數(shù)能很好地擬合實驗數(shù)據(jù)，如圖4（實線）所示。辨識結(jié)果如表2所示。

4 結(jié)語

針對非線性的摩擦指數(shù)模型，提出用泰勒高次展開的方法達(dá)到摩擦模型的線性化，通過最小二乘擬合的方法得到摩擦模型的參數(shù)。為驗證方法的有效性，針對數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)移動部件進(jìn)行了辨識實驗，實驗結(jié)果表明，該方法能對Stribeck摩擦模型的參數(shù)進(jìn)行精確的辨識。該方法不僅適合于數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的靜態(tài)建模，而且可以用于進(jìn)給系統(tǒng)潤滑或裝配性能的評估，在工程應(yīng)用中具有實用價值。

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