何紀(jì)承 宋 健 榮伯松 張海水 劉少輝 宋現(xiàn)春

（①山東建筑大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山東濟(jì)南250101;②山東大學(xué)數(shù)學(xué)院，山東濟(jì)南 250101）

伴隨數(shù)字化控制技術(shù)的廣泛應(yīng)用，我國(guó)滾珠絲杠的發(fā)展正在不斷走向高速、高精、低碳的新時(shí)代［1］。大導(dǎo)程滾珠絲杠成為高速化的重要途徑之一，作為機(jī)床的關(guān)鍵功能部件，高速化的同時(shí)必須保證加工精度。滾珠絲杠副的軸向剛度是定位精度的重要影響因素，尤其是在機(jī)床的傳動(dòng)系統(tǒng)中，滾珠絲杠副的軸向剛度是比較薄弱的環(huán)節(jié)［2］，因此對(duì)高速滾珠絲杠副軸向剛度的研究具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。本文對(duì)雙螺母預(yù)緊結(jié)構(gòu)的KD4020－3型的滾珠絲杠副進(jìn)行了研究，提出了不同因素對(duì)有預(yù)緊的滾珠絲杠副軸向剛度的影響，其結(jié)論不失一般性，可以作為其他普通滾珠絲杠的理論參考。

1 雙螺母預(yù)緊結(jié)構(gòu)滾珠絲杠副的受力分析

為消除滾珠絲杠副的軸向間隙，提高它的軸向剛度，通常采用雙螺母預(yù)緊結(jié)構(gòu)。圖1為雙螺母墊片預(yù)緊滾珠絲杠副的工作原理圖。通過墊片使螺母A、B與絲杠滾道面分別在A、B點(diǎn)接觸，且接觸角方向恰好相反。

螺母A、B與絲杠滾道面的法向壓力分別為PA、PB，墊片的預(yù)緊力為FP，法向預(yù)緊力為PP。滾珠數(shù)目為Z，螺旋升角為λ，接觸角為β，則有:

在軸向工作載荷F=0時(shí)，PA=PB=PP。

在軸向工作載荷F≠0時(shí)，如圖1所示，若螺母A在F作用下接觸點(diǎn)彈性變形增大，則絲杠滾道面的法向壓力也將增加一個(gè)附加法向力P1，相反螺母B減小一個(gè)法向力P2。于是有:

根據(jù)絲杠副的靜力平衡條件:

整理后有

令P=P1+P2，有

由式（5）就可以看出P就是在工作載荷F作用下的單個(gè)螺母的平均法向力［3］。

2 雙螺母預(yù)緊條件下滾珠絲杠副的彈性變形

2.1 不承受負(fù)載時(shí)的彈性變形

由于預(yù)緊力的作用，無負(fù)載時(shí)滾珠絲杠副也會(huì)產(chǎn)生軸向變形。在預(yù)緊力FP的作用下，螺母和墊片都發(fā)生變形，但由于是面接觸，其軸向變形量相對(duì)于滾珠與滾道之間的接觸變形量可忽略不計(jì)［4］。由于兩個(gè)螺母的預(yù)緊法向力相同，故其軸向接觸變形δP也相同，為

式中:K'為與幾何尺寸、材料有關(guān)的常數(shù)。

式中:μ1、μ2為絲杠和螺母的泊松比;E1、E2為絲杠和螺母的彈性模量;Ks（e）、Kn（e）為絲杠和螺母與滾珠接觸處對(duì)偏心距e的第一類完全橢圓積分;mna、msa為絲杠和螺母與滾珠接觸處的橢圓長(zhǎng)半軸系數(shù);ρn、ρs為絲杠和螺母滾道的主曲率。由式（1）與式（6）得

這里K就是軸向接觸變形系數(shù)。

2.2 承受負(fù)載時(shí)的彈性變形

在軸向工作載荷F的作用下，設(shè)螺母A上單個(gè)滾珠所承受的總法向力為PA，則在PA作用下對(duì)應(yīng)的螺母A在A點(diǎn)處的軸向變形量δ為:

軸向工作載荷F所產(chǎn)生的軸向變形量δA應(yīng)為

所以有:

將上式變換后，可得:

將式（2）代入式（12）則有

將式（13）后兩項(xiàng)分別采用冪級(jí)數(shù)展開并取前兩項(xiàng)有:

這樣式（13）可表示為

由此證明了很多技術(shù)資料中雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副變形曲線接近線性關(guān)系［5］。

3 雙螺母滾珠絲杠副的剛度

由式（15）得:

將式（6）、（7）代入式（16）得

K即為滾珠絲杠副的軸向剛度。

從上式可知雙螺母滾珠絲杠副的軸向剛度受滾珠個(gè)數(shù)、接觸角、螺旋升角、預(yù)緊力的影響。

需要指出的是，預(yù)緊以后的滾珠絲杠副僅僅減少了負(fù)載引起的接觸變形，并沒減少螺母與滾道面的接觸變形，反而由于預(yù)緊使變形量增大了［6］。

4 雙螺母滾珠絲杠副剛度影響因素分析

下面對(duì)KD4020－3滾珠絲杠副剛度影響因素進(jìn)行分析。KD4020－3滾珠絲杠副的具體參數(shù)［7］如表1所示。

表1 KD4020－3滾珠絲杠副參數(shù)

4.1 負(fù)載對(duì)雙螺母滾珠絲杠副剛度的影響

假設(shè)雙螺母滾珠絲杠副承受的預(yù)緊力為10 kN，軸向載荷在1 kN到80 kN之間，根據(jù)式（18）得到的接觸剛度隨載荷的關(guān)系曲線如圖2所示。

由式（15）可知接觸變形與載荷基本成正比，即負(fù)載越大變形越大，而剛度值基本保持不變。但是由于接觸面的影響，隨著負(fù)載從1 kN到80 kN變化時(shí)變形量的增大導(dǎo)致剛度略有下降。從780 N/μm減小到760 N/μm，基本保持穩(wěn)定，由此就保持了較好的定位精度。

4.2 預(yù)緊力對(duì)雙螺母滾珠絲杠副剛度的影響

預(yù)緊力是單雙螺母滾珠絲杠副最大的區(qū)別。不同的預(yù)緊力下雙螺母滾珠絲杠副的剛度隨負(fù)載的變化如圖3所示。

由圖3可知提高雙螺母滾珠絲杠副的預(yù)緊力可以明顯提高工作過程中的軸向剛度和定位精度。但是預(yù)緊之后的滾珠絲杠副僅僅減小了因?yàn)樨?fù)載引起的彈性變形，并沒有減小滾道與滾珠之間的彈性接觸變形，反而比沒有預(yù)緊的單螺母滾珠絲杠副增大了。所以雖然較大的預(yù)緊力可以提高軸向剛度，但也會(huì)因?yàn)榻佑|應(yīng)力和變形的過大而降低產(chǎn)品的壽命。

4.3 接觸角對(duì)雙螺母滾珠絲杠副剛度的影響

在螺紋滾道的法向截面內(nèi)，滾珠中心和滾道接觸點(diǎn)的連線與螺紋滾道軸線垂線的夾角稱為接觸角（如圖1的β角）。取預(yù)緊力為2 kN時(shí)，軸向剛度隨接觸角從30°增大到70°時(shí)的變化趨勢(shì)如圖4所示。

接觸角對(duì)滾珠絲杠副性能有很大的影響，滾珠絲杠副的承載能力隨接觸角β變大而增大。反之，接觸角β越小，絲杠能承受的軸向力越小，同時(shí)會(huì)使得徑向力增大而降低產(chǎn)品的使用壽命。所以從有利于傳動(dòng)、承載性能和滾珠流暢性等的觀點(diǎn)來看，目前國(guó)內(nèi)外常采用的標(biāo)準(zhǔn)接觸角為β=45°。

4.4 螺旋升角對(duì)雙螺母滾珠絲杠副剛度的影響

螺旋升角是滾珠絲杠高速化的一個(gè)重要參數(shù)，為了適應(yīng)高速化的要求，大部分高速絲杠都有較大的導(dǎo)程，必須通過提高滾珠絲杠的螺旋升角來實(shí)現(xiàn)。取預(yù)緊力為2 kN，軸向剛度隨螺旋升角從4°增大到25°時(shí)的變化趨勢(shì)如圖5所示。

從圖5可以看出隨螺旋升角的增大軸向剛度明顯提高，且螺旋升角的增大也提高了絲杠的進(jìn)給速度，但卻會(huì)加大滾珠絲杠的導(dǎo)程誤差，使高精度進(jìn)給的難度增加。所以適當(dāng)加大螺旋升角可在兼顧精度的前提下提高滾珠絲杠副的剛度和進(jìn)給速度。

5 結(jié)語

雙螺母滾珠絲杠副的軸向接觸剛度受接觸角和預(yù)緊力的影響較大，適當(dāng)加大預(yù)緊力或者增大接觸角可明顯改善滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的剛度，但過大的預(yù)緊力或接觸角也會(huì)使運(yùn)轉(zhuǎn)過程中的磨損加劇。螺旋升角的增大也會(huì)提高滾珠絲杠的軸向剛度，同時(shí)提高進(jìn)給速度，適應(yīng)了高速化的要求。該結(jié)論對(duì)其他型號(hào)的滾珠絲杠也適用，能夠?yàn)樾滦蜐L珠絲杠的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論參考。

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［3］杜平安.滾珠直旋副滾道彈性接觸分析［J］.電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1994（3）.

［4］程光仁，施祖康，張超鵬.滾珠螺旋傳動(dòng)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1987.

［5］宋現(xiàn)春，劉劍.高速滾珠絲杠副綜合性能試驗(yàn)臺(tái)的研制與開發(fā)［J］.工具技術(shù)，2005，39（3）:34－36.

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［7］曹建國(guó)，陳世平.實(shí)現(xiàn)滾珠絲杠螺母副高速化的技術(shù)措施［J］.機(jī)床與液壓，2005（5）:54－55.