沈 斌 齊黨進(jìn) 樊留群② 朱志浩②

（①同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院，上海200092;②同濟(jì)大學(xué)沈陽機(jī)床研究院，上海 201804）

微小直線段離散化曲線加工路徑的微段加工方式仍被廣泛地應(yīng)用。而在該加工方式下，通常是借助CAM軟件，由后置處理將連續(xù)加工路徑離散化為大量的微小直線段，生成數(shù)控程序文件并輸入到數(shù)控機(jī)床，然后數(shù)控系統(tǒng)根據(jù)由微小直線段組成的折線進(jìn)行插補(bǔ)和加工。微段加工方式下加工程序量過大和需要頻繁加減速來滿足加工精度要求的不足飽受詬病。為了實(shí)現(xiàn)微小直線段的高速平滑加工，提高加工效率，國(guó)內(nèi)外學(xué)者作了大量的研究工作，其中，部分研究成果已經(jīng)被應(yīng)用到國(guó)外的高檔數(shù)控系統(tǒng)中，例如:西門子Sinumerik 840D中的壓縮功能（COMPOF/ON，COMPCURV，COMPCAD），F(xiàn)anuc的 FS 30i/31i/32i中的納米平滑（Nano Smooting）功能。

按優(yōu)化的方式不同，研究可以大致分為兩個(gè)方向:微段拐點(diǎn)處的速度平滑和基于微段擬合的自由曲線直接插補(bǔ)。其中，前者的研究較早也較多。徐志明等［1］，以前瞻得到的夾角和微段長(zhǎng)度為計(jì)算前提，用遞歸算法求解微段轉(zhuǎn)接點(diǎn)處的最大允許進(jìn)給速度;王宇晗等［2］提出了微小線段速度銜接的數(shù)學(xué)模型并基于此求得進(jìn)給速度限制的近似最優(yōu)解，然后以直線加減速方法進(jìn)行速度規(guī)劃，許海峰等［3］進(jìn)一步對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了離散化并加以完善，給出了離散化下的速度限制值計(jì)算方法，并以削峰填谷的方法處理新路徑與原始路徑之間的長(zhǎng)度差異;彭芳瑜等［4］進(jìn)一步考慮了機(jī)床的動(dòng)力學(xué)約束;黃昕等［5］提出了一種以最大進(jìn)給速度為目標(biāo)，通過雙向掃描算法，獲得拐點(diǎn)處的最優(yōu)進(jìn)給速度的算法，并以S形加減速控制方法進(jìn)行速度規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)了微段平滑加工;葉偉［6］和李小清［7］也根據(jù)各自的微小段加工速度、加速度銜接模型，并以S形加減速方法進(jìn)行了速度規(guī)劃;冷洪濱等［8］除了對(duì)合成速度進(jìn)行限制外，進(jìn)一步對(duì)單軸的運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)行限制，并以三次多項(xiàng)式加減速方法進(jìn)行了速度規(guī)劃。與上面的方式不同，楊開明等［9］為代表，通過在相鄰程序段間加入過渡段，以犧牲局部精度的前提下避免微段拐點(diǎn)處減速而實(shí)現(xiàn)速度的平滑。

雖然以上微段優(yōu)化方式可以提高加工效率和加工精度，但是，伴隨著加工速度的進(jìn)一步提高，為了滿足加工精度的要求，微小直線段變得越來越短，上述優(yōu)化方式必然造成計(jì)算量過大，致使加工等待等問題。為此，擬合的自由曲線直接插補(bǔ)優(yōu)化方式相應(yīng)提出。該優(yōu)化方式是將微小直線段用多項(xiàng)式曲線、三次樣條和B樣條等進(jìn)行擬合，然后進(jìn)行直接插補(bǔ)。其中，Erkorkmaz［10］和 Yau 等［11］以弦長(zhǎng)為參數(shù)，分別采用五次樣條曲線和Bézier曲線來擬合微小直線段從而生成新的光滑加工路徑來解決微段加工出現(xiàn)的問題;任錕等［12］對(duì)離散加工路徑采用三次樣條曲線擬合，然后分析三次樣條發(fā)現(xiàn)高曲率點(diǎn)，預(yù)估高曲率點(diǎn)處的最優(yōu)速度，并通過S形加減速控制實(shí)現(xiàn)微段優(yōu)化加工;張園等［13］以弦長(zhǎng)為參數(shù)，采用五次樣條曲線擬合微小直線段生成新的光滑加工路徑，并附加考慮了弓高誤差的限定對(duì)整個(gè)樣條擬合曲線進(jìn)行速度規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)了進(jìn)給速度的自適應(yīng)控制。

因此，針對(duì)微段加工中出現(xiàn)的不足，本文提出了基于NURBS最小二乘逼近的微段平滑加工算法來實(shí)現(xiàn)微小直線段的平滑加工，即將離散的刀位點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合成一條NURBS曲線作為新的加工路徑，然后可以按照新的加工路徑進(jìn)行NURBS實(shí)時(shí)插補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)微小直線段的平滑加工。

1 基本思想和算法流程

基于NURBS最小二乘逼近的微段平滑加工算法的基本思想是，對(duì)從微段加工程序解析得到的刀位點(diǎn)進(jìn)行自適應(yīng)分區(qū)擬合。如流程圖（圖1）所示，首先進(jìn)行一定段數(shù)的預(yù)讀，然后根據(jù)給定的限制條件將微段自適應(yīng)分為各個(gè)區(qū)域，最后對(duì)符合擬合條件的區(qū)域逐區(qū)進(jìn)行帶權(quán)因子和一階導(dǎo)數(shù)約束的最小二乘NURBS曲線逼近，并進(jìn)行NURBS曲線實(shí)時(shí)插補(bǔ)，而對(duì)其他部分劃分為直線段區(qū)域，使用直線插補(bǔ)方式。

2 自適應(yīng)分區(qū)

通過對(duì)微小直線段一定段數(shù)的預(yù)讀可以得到以下兩個(gè)基本信息:相鄰微段間的夾角θi和微段的長(zhǎng)度Li（i=0，1，2，…）;又考慮到擬合的時(shí)間與被擬合的點(diǎn)數(shù)相關(guān)，因此，自適應(yīng)分區(qū)受3類條件限制:擬合最大刀位點(diǎn)數(shù)限制，微段間夾角有關(guān)限制和微段長(zhǎng)度有關(guān)限制。根據(jù)限制條件，將微小直線段自適應(yīng)劃分為不同的區(qū)域，并定義限制條件臨界處的刀位點(diǎn)為斷點(diǎn)，作為上一區(qū)域的終點(diǎn)和下一區(qū)域的起點(diǎn)。

2.1 最大刀位點(diǎn)數(shù)限制nlim

鑒于微段一般短且多的特色，最大刀位點(diǎn)數(shù)限制作為自適應(yīng)分區(qū)的首要限制條件。nlim的大小與數(shù)控系統(tǒng)控制器的運(yùn)算能力和對(duì)實(shí)時(shí)性的要求（插補(bǔ)周期T）有關(guān)系。當(dāng)兩個(gè)斷點(diǎn)間的累加數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)n≥nlim時(shí)，當(dāng)前刀位點(diǎn)Pi作為斷點(diǎn)，斷點(diǎn)前的n+1個(gè)刀位點(diǎn)劃為一個(gè)適合擬合區(qū)域。

2.2 微段夾角有關(guān)限制

θlim為最大夾角限制，可以根據(jù)給定進(jìn)給速度F、最大加速度Amax和插補(bǔ)周期T估算得到，即

當(dāng) θi＞θlim時(shí)，Pi為一尖點(diǎn)，則將Pi－2到Pi+2的四個(gè)微小直線段劃分為直線段區(qū)，Pi－2為斷點(diǎn)，Pi+2為下一區(qū)域的起點(diǎn);

2.3 微段長(zhǎng)度有關(guān)限制

微段長(zhǎng)度作為自適應(yīng)分區(qū)的輔助限制。當(dāng)微段長(zhǎng)度很短，特別是接近1～2個(gè)插補(bǔ)長(zhǎng)度時(shí)，對(duì)其進(jìn)行擬合運(yùn)算并不能使加工平滑，只會(huì)增加擬合計(jì)算的時(shí)間，影響實(shí)時(shí)性;與此類似，當(dāng)微段長(zhǎng)度很長(zhǎng)時(shí)，在增加擬合時(shí)間的同時(shí)，擬合運(yùn)算反而會(huì)使該直線段加工精度變差。在多類型曲線的擬合仿真中，反復(fù)驗(yàn)證了以上結(jié)論。因此，微段長(zhǎng)度限制分別對(duì)最短微段長(zhǎng)度Lmin和最長(zhǎng)微段長(zhǎng)度Lmax進(jìn)行限制。當(dāng)Lmin≤Li≤Lmax時(shí)，該刀位點(diǎn)被劃入當(dāng)前適合擬合區(qū)域，并讀入下一個(gè)刀位點(diǎn)，否則微段PiPi+1劃為直線段區(qū)域，Pi作為斷點(diǎn)（適合區(qū)域的終點(diǎn)），Pi+1作為新的區(qū)域的起點(diǎn)。默認(rèn)取Lmin=FT;Lmax=100FT。

3 帶權(quán)因子和一階導(dǎo)數(shù)約束的NURBS曲線最小二乘逼近算法

帶權(quán)因子和一階導(dǎo)數(shù)約束的NURBS曲線最小二乘逼近算法的基礎(chǔ)是最小二次逼近法。考慮到適合擬合區(qū)域的局部數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合誤差較大（擬合誤差大于給定最大誤差值）和進(jìn)給速度方向的限制，本文提出的算法在NURBS曲線最小二乘逼近算法的基礎(chǔ)上，對(duì)擬合誤差較大的點(diǎn)增加了權(quán)因子約束，對(duì)進(jìn)給速度方向限制（法向矢量給出）的點(diǎn)增加一階導(dǎo)數(shù)約束，使擬合得到曲線更接近原始加工路徑。

3.1 算法流程

如圖2所示，帶約束NURBS最小二乘逼近基本流程為:首先按照修正弦長(zhǎng)法對(duì)讀入的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)化，然后根據(jù)各點(diǎn)的權(quán)因子和一階導(dǎo)數(shù)約束進(jìn)行最小二乘擬合，得到最大逼近誤差范圍內(nèi)的控制點(diǎn)，生成新的NURBS曲線加工路徑。

假設(shè)適合擬合的r+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為qi（i=0，1，…，r），qi受權(quán)因子hi（hi≥1）或一階導(dǎo)數(shù)fi（進(jìn)給速度方向）的約束，擬合得到的 NURBS曲線為C（u）（u∈［ui，ui+1］?［u3，un+1］）［14］。

3.2 數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化［14］

在采用NURBS曲線對(duì)適合擬合區(qū)域進(jìn)行逼近以前，必須對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)化，即為每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)賦予一個(gè)參數(shù)值。常用的參數(shù)化方法包括均勻參數(shù)化、弦長(zhǎng)參數(shù)化、向心參數(shù)化和修正弦長(zhǎng)參數(shù)化等。為了滿足擬合曲線的光順性要求，本算法采用修正弦長(zhǎng)參數(shù)法。假設(shè)適合擬合區(qū)域包含r+1個(gè)刀位點(diǎn)數(shù)據(jù)，記為點(diǎn)集{qi}（i=0，1，2，…，r），對(duì)應(yīng)的參數(shù)為{ui}，按照修正弦長(zhǎng)參數(shù)法可得各數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù):

式中:ki為修正弦長(zhǎng)系數(shù)

修正系數(shù)ki≥1，用于修正弦長(zhǎng)偏短且前后相鄰?qiáng)A角偏大的數(shù)據(jù)點(diǎn)，使擬合后的曲線在該點(diǎn)處的曲率相應(yīng)較大，且向心加速度可以平穩(wěn)變換。ki的大小取決于與數(shù)據(jù)點(diǎn)前后的弦長(zhǎng)和夾角的關(guān)系。

簡(jiǎn)言之，若|Δqi－1|相比前后相鄰的弦長(zhǎng) |Δqi－2|和|Δqi|越小，且前后相鄰弦線夾角的外角 ?i－1和 ?i（不超過π/2時(shí)）越大，ki也越大，對(duì)應(yīng)于曲線段絕對(duì)曲率偏大。當(dāng)?i－1=?i=π/2時(shí)，修正系數(shù)ki將達(dá)到最大值。

3.3 獲取權(quán)因子hi

默認(rèn)權(quán)因子hi=1（可以通過手工編程指定，則hi=編程值），當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)qi最小二乘數(shù)逼近誤差εi超出給定最大逼近誤差εmax時(shí)，增大該點(diǎn)處的權(quán)因子（hi=chhi，ch為權(quán)因子修正系數(shù)，默認(rèn)ch=5），然后重新迭代計(jì)算，直到滿足 εi≤εmax。

3.4 獲取一階導(dǎo)數(shù)fi

首末端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)f0和fr可以根據(jù)給定的首末端點(diǎn)邊界條件計(jì)算得到，例如:q0處的邊界條件為切矢條件時(shí)，f0為上一段加工程序在q0處的切矢。中間點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)按照下列規(guī)則得到:若未給定，則該數(shù)據(jù)點(diǎn)為非約束點(diǎn);若手工編程指定，則fi為編程值;若已給定法向矢量，則fi通過法向矢量近似計(jì)算，近似計(jì)算方法如下:

假設(shè)法向矢量為ni，qiqi+1為點(diǎn)qi到qi+1的矢量，fi可近似計(jì)算得

其中，α為qiqi+1與ni的夾角，

并進(jìn)一步令

D=［d0，d1，…，dm］T，一個(gè)包含m+1 個(gè)控制點(diǎn)（d1=（xi，yi，zi），l=0，1，…，m）的矩陣;

一個(gè)包含約束點(diǎn)p次基函數(shù)和對(duì)應(yīng)p次的（r+1）×（m+1）維矩陣;

一個(gè)包含非約束點(diǎn)p次基函數(shù)和對(duì)應(yīng)p次（l=0，1，…，m）的（r+1）×（m+1）維矩陣;

與p次基函數(shù)的求法一致，如圖3，式（2）也可以根據(jù)de Boor－Cox遞推算法求得。

3.5 算法描述

帶約束的NURBS曲線最小二乘逼近算法的基本思想是拉格朗日乘數(shù)法，即引入2（s+1）個(gè)拉格朗日乘數(shù)因子，解一個(gè)系數(shù)矩陣為（2s+m+3）維方陣的線性方程組。

設(shè)拉格朗日乘數(shù)因子為λk（k=0，1，…，2s+m+3），令A(yù)=［λ0，λ1，…，λ2s+m+3］，可得

非約束點(diǎn)滿足方程

約束點(diǎn)滿足方程

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，應(yīng)使式（6）達(dá)到最小。

分別對(duì)A和D求導(dǎo)，并令其等于0，可得

對(duì)式（7）進(jìn)行變形，可得

令A(yù)/2仍為A，并表示為矩陣形式，可得

根據(jù)式（9），可解得

代入式（9）第二式，進(jìn)一步可推得

解得

通過式（12）可以接到拉格朗日乘數(shù)因子矩陣A，代入式（11），即可解得所需的控制點(diǎn)D，得到所需的p次NURBS曲線。

4 仿真與實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證算法的正確性和有效性，對(duì)原始圖形為三瓣花的微段加工路徑進(jìn)行仿真與測(cè)試。其中，相關(guān)限制參數(shù)為:最大數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)nlim=30;微段長(zhǎng)度（Lmin，Lmax）為（0.02，20）;最大夾角 θlim=π/9;最大夾角差Δθlim=π/18;最大夾角累加值=π/2;給定最大逼近誤差εmax=0.002 mm。通過利用Matlab進(jìn)行仿真驗(yàn)證，可得微段加工路徑NURBS曲線最小二乘逼近的仿真結(jié)果（圖4）。分析圖4b可知，三瓣花逼近的實(shí)際最大誤差為3.24×10－3mm，均小于給定的最大逼近誤差值。

5 結(jié)語

為了消除微小直線段加工方式下加工程序量過大和需要頻繁加減速的詬病，實(shí)現(xiàn)微小直線段的高速平滑加工，提高加工效率，本文提出了帶權(quán)因子和一階導(dǎo)數(shù)約束的NURBS曲線最小二乘逼近算法，將離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合成一條NURBS曲線，給出了算法的應(yīng)用流程，經(jīng)過初步驗(yàn)證，可以實(shí)現(xiàn)微小直線段的平滑加工。

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