王瑞慶，王弗雄,馬杰,肖自乾

（海南軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院軟件工程系，海南瓊海571400）

電價是電力市場供求平衡時形成的出清價，不僅受氣象、系統(tǒng)負(fù)荷、發(fā)電成本、可用發(fā)電容量、輸電網(wǎng)絡(luò)阻塞等客觀因素的影響，還受到市場交易規(guī)則、參與者的競價策略及其對價格的心理反映等主觀因素的影響，這些因素使得準(zhǔn)確的電價預(yù)測較為困難。當(dāng)前的預(yù)測方法主要包括通過模擬電力市場競爭規(guī)則來預(yù)測市場出清電價的長期預(yù)測方法和依據(jù)大量歷史數(shù)據(jù)建立反映電價變化規(guī)律數(shù)學(xué)模型的短期預(yù)測方法[1]。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非確定性、非精確性規(guī)律具有自適應(yīng)能力，能夠有效地處理多變量和非線性問題[2-5]。文獻(xiàn)[2-3]分別使用粒子群優(yōu)化和Levenberg-Marquardt訓(xùn)練方法的三層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對PJM和加利福尼亞電力市場的現(xiàn)貨電價進(jìn)行了預(yù)測。文獻(xiàn)[4-5]指出高斯徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更快的學(xué)習(xí)速度和更好的逼近性能，更加適合于短期電價的預(yù)測。文獻(xiàn)[6-10]分別提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊邏輯、Kalman濾波、支持向量機等相結(jié)合的短期電價預(yù)測方法，結(jié)果表明，混合預(yù)測方法比單獨使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更好的預(yù)測效果。但由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的參數(shù)調(diào)整不夠靈活，學(xué)習(xí)速度較慢，在實際應(yīng)用中遇到了困難。

時間序列方法需要的歷史數(shù)據(jù)相對較少，能準(zhǔn)確地反映歷史電價變化的連續(xù)性，比較常用的有自回歸滑動平均模型（ARMA）和帶外生解釋變量的ARMA模型（ARMAX）。文獻(xiàn)[11]建立了一個以負(fù)荷作為外生解釋變量的ARMAX模型，結(jié)果表明，殘差的實際分布與理論假設(shè)存在較大誤差，在一定程度上影響了電價預(yù)測的精度。文獻(xiàn)[12]注意到大多數(shù)電價序列均是非平穩(wěn)隨機過程的特點，提出了一種基于自回歸積分滑動平均模型（ARIMA）的電價預(yù)測方法。文獻(xiàn)[13]注意到不同時段也是一個影響電價變動的重要因素，建立了一個基于ARMA的分時段電價預(yù)測模型，使得對價格飛升（price spikes）的預(yù)測準(zhǔn)確度得到了較大的提高。文獻(xiàn)[14-15]分別建立了將誤差校正、小波變換與ARIMA相結(jié)合的電價預(yù)測模型。文獻(xiàn)[16]建立了一個考慮電價序列的非平穩(wěn)、分時段和負(fù)荷因素的傳遞函數(shù)預(yù)測模型，進(jìn)一步提高了電價預(yù)測的準(zhǔn)確性。但這些模型均基于電價服從常方差正態(tài)分布的假設(shè)，不能有效地處理電價序列的異方差性，同時待估參數(shù)較多，難于大量應(yīng)用。

本文在文獻(xiàn)[11]的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析了電力市場現(xiàn)貨電價的影響因素和波動規(guī)律，提出了一種采用虛擬變量和正弦函數(shù)來刻畫現(xiàn)貨電價序列多周期性特征的GARCH-M模型。該模型易于定階、待估參數(shù)少，可同時處理電價序列的趨勢變化、多重周期、異方差及其與負(fù)荷之間的非線性相關(guān)性，具有一定的實用價值。對PJM電力市場歷史數(shù)據(jù)的分析表明，電價分布的異方差和負(fù)荷的平方對電價的均值具有顯著的影響，電價序列具有周、半月、月、季、半年等多重周期和明顯的波動集聚效應(yīng)，其殘差的理論和實際擬合程度與文獻(xiàn)[11]相比有較大程度的提高。

1 分析模型及求解方法

1.1 多周期GARCH-M模型

電價預(yù)測模型可以看作一個多輸入單輸出系統(tǒng)，輸出為當(dāng)期電價，輸入為系統(tǒng)負(fù)荷、參與者的報價策略、燃料價格、季節(jié)、氣候等影響因素。考慮到系統(tǒng)負(fù)荷和電價在各個電力市場中均是公開信息，因此，本文選擇當(dāng)期負(fù)荷、歷史負(fù)荷與歷史電價作為輸入，并使用時間序列分析的GARCH-M模型對這一系統(tǒng)進(jìn)行描述。設(shè)pt表示t期的現(xiàn)貨電價，dt表示期殘差表示的條件方差表示歸一化殘差，則描述電價變化的多周期GARCH-M模型可表述為

i

式中，B為滯后算子；m為電價一年內(nèi)的變化周期數(shù)；u、v、r、s分別為均值方程中電價、條件方差的平方根、負(fù)荷及負(fù)荷平方的滯后階數(shù)；p、q為條件方差方程中條件方差和殘差平方的滯后階數(shù)；It-1為t-1期的可用信息集；f（t）描述電價序列的趨勢和季節(jié)性變化，dwkd是一個表示周周期的虛擬變量（工作日取值為1，休息日為0）。α=（α0，α1，α2，α3，α11，…，α1m，α21，…，α2m）、γ=（γ1，…，γr）、κ=（κ1，…，κs）、φ=（φ1，…，φu）、θ=（θ1，…，θv）、β=（β0，β11，…，β1p，β21，…，β2q）為待估參數(shù)。通過使用多個正弦函數(shù)可以允許電價序列存在多個周期，每個周期的幅度和峰值位置分別由α1i和α2i描述。為保證條件異方差為正，要求β0＞0，β1i，β2j≥0，坌i∈[1，p]，j∈[1，q]。

1.2 模型定階

通過對去趨勢和周期變化后的電價序列pt-f（t）的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的分析，可以確定u的初始取值，r和s的初始取值可以通過觀察電價序列與負(fù)荷、負(fù)荷平方的趨勢圖加以確定，p和q的取值一般不會超過2，可通過分析殘差εt的平方的自相關(guān)函數(shù)和偏自關(guān)函數(shù)加以確定。

時間序列的自相關(guān)性可以使用自相關(guān)系數(shù)進(jìn)行描述。對于給定時間序列{yt}，k期自相關(guān)系數(shù)ρk為

式中，n表示樣本容量；y軃表示樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值。

在給定yt-1，…，yt-k+1條件下，yt與yt-k之間的條件相關(guān)關(guān)系稱為偏自相關(guān)，可以使用偏自相關(guān)系數(shù)ρkk描述，其計算公式為

AR（p）序列的自相關(guān)函數(shù)隨滯后期的增加，呈現(xiàn)指數(shù)或者正弦波衰減，逐漸趨近于0，而其偏自相關(guān)函數(shù)在k＞p后全都趨向于0。因此，可以根據(jù)偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性來辨識AR（p）模型的參數(shù)p。

MA（q）序列的自相關(guān)函數(shù)在k＞q后全部趨向于0，而其偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減，具有拖尾性。因此，可以根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的截尾性來辨識MA（q）模型的參數(shù)q。

1.3 參數(shù)估計

若設(shè)白噪聲序列zt的概率密度函數(shù)為正態(tài)分布，則εt的條件概率密度函數(shù)為[17]

若記ξ=（α，γ，κ，φ，θ，β，ht），則εt的樣本對數(shù)似然函數(shù)可表示為

式中，n表示觀察值的個數(shù)；lt（ξ）表示t期觀察值的條件對數(shù)似然函數(shù)。通過最大化L（ξ），可以獲得模型參數(shù)ξ的估計值ξ贊。

1.4 模型檢驗

大樣本下，條件極大似然估計值ξ贊漸近服從式（6）表示的正態(tài)分布

式中，ξ0為待估參數(shù)的真值；H為Hessian矩陣；可通過H（ξ0）≈墜L（ξ）/墜ξ墜ξ′｜ξ＝ξ贊估計。

殘差的真實密度函數(shù)可能并不完全符合條件正態(tài)分布，因此有必要給出ξ贊的穩(wěn)健方差，以便計算其漸近有效置信區(qū)間。ξ贊的穩(wěn)健方差為矩陣Ω贊的對角元素。

Nyblom統(tǒng)計量可用于檢驗?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)定性[17]，Nyblom統(tǒng)計量WN可表示為

式中，Skt為St的第k個元素；V贊kk為V贊的第k個對角元素。

Cramer-Von Mises統(tǒng)計量可用于檢驗歸一化殘差zt是否符合條件正態(tài)分布。若正態(tài)分布的累積分布函數(shù)為FN（z），zt的實際累積分布函數(shù)為F（z），則Cramer-Von Mises統(tǒng)計量WCVM為

1.5 擬合精度評估

一般而言，電價序列預(yù)測模型是一個參數(shù)時變模型，其參數(shù)均需用最新的數(shù)據(jù)進(jìn)行辯識，以便提高電價預(yù)測的準(zhǔn)確性。本文采用平均絕對百分比誤差（MAPE）來度量模型的預(yù)測精度，其表達(dá)式為

2 PJM電力市場實證

本文的研究樣本來源于美國PJM電力市場2007年6月1日至2010年9月9日的日平均現(xiàn)貨電價和負(fù)荷，樣本總數(shù)為1197，日平均現(xiàn)貨電價如圖1所示。從圖1可以看出，該電價序列存在明顯的均值回復(fù)、尖峰跳躍、多重周期和異方差。

圖1 PJM電力市場的日平均電價序列Fig.1 The time series of mean daily spot prices on PJM electricity market

表1給出了日平均現(xiàn)貨電價和日平均負(fù)荷序列的描述性統(tǒng)計結(jié)果。從表1可看出，2個樣本的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)都顯著異于正態(tài)，現(xiàn)貨電價和負(fù)荷序列均呈現(xiàn)明顯的右偏形態(tài)，同時具有較為明顯的尖峰胖尾特征。J-B統(tǒng)計量非常顯著，說明樣本期間內(nèi)現(xiàn)貨電價和負(fù)荷的分布具有非正態(tài)性。

對樣本數(shù)據(jù)的趨勢圖及相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析，可將多周期GARCH-M模型具體化為（m，u，v，r，s，p，q），分別取值（24，4，1，1，1，1，1），并使用極大似然法對模型參數(shù)進(jìn)行估計。表2給出了剔除在95%置信水平上不顯著的參數(shù)后（截距項除外）的估計結(jié)果。

表1 樣本數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計結(jié)果Tab.1 Descriptive statistics of the sample data

表2 多周期GARCH-M模型的估計結(jié)果Tab.2 Estimation results of multicycle GARCH-M

對表2的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可以得到如下結(jié)論：

1）模型的擬合精度（MAPE）6.352%與文獻(xiàn)[12-16]相當(dāng)，遠(yuǎn)少于文獻(xiàn)[12-16]的待估參數(shù)個數(shù)，在一定程度上降低了模型的復(fù)雜度，提高了模型的計算速度及其實際應(yīng)用能力。

2）參數(shù)a2和a1i、a2i、i I贊（2，4，6，10，24）的t統(tǒng)計量均在95%置信水平上，說明電價序列存在周、半月、月、季、半年等多周期效應(yīng)，且周和半年周期的峰值幅度較大。

3）當(dāng)在均值方程中包含負(fù)荷平方項時，各期負(fù)荷項的系數(shù)在95%置信水平上均不顯著，表明現(xiàn)貨電價與負(fù)荷平方之間的相關(guān)性要強于負(fù)荷，因此應(yīng)通過在均值方程中包括負(fù)荷的平方項來描述電價與負(fù)荷之間的相關(guān)關(guān)系。

4）條件異方差對現(xiàn)貨電價均值的影響顯著（q1=0.233 3），在保持其它決定變量不變時，當(dāng)電價波動性增強時，電價上升。

5）條件方差方程中b11=0.826，表明電價序列存在較強的波動集聚現(xiàn)象。而b11和b21之和為0.999，接近于1，說明電價序列可能存在共積GARCH效應(yīng)。

6）Cramer-Von Mises統(tǒng)計量0.576 4略大于99%置信限臨界值0.333，從圖2可見殘差序列存在明顯的超額峰度，這表明多周期GARCH-M模型仍不能精確地描述電價序列的真實分布。

圖2 殘差的概率密度Fig.2 Probability density of the residuals

7）各待估參數(shù)的Nyblom統(tǒng)計量均小于其99%置信水平臨界值0.748，但整個模型的Nyblom統(tǒng)計量（6.976 5）大于其99%置信水平下的臨界值5.13，表明多周期GARCH-M模型存在一定程度的不穩(wěn)定性，一個可能的原因是由于電價序列存在明顯的右偏和尖峰厚尾，而這也是下一步要解決的主要問題。

3 結(jié)語

在文獻(xiàn)[11]的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析了電力市場現(xiàn)貨電價的影響因素和波動規(guī)律，建立了一個采用虛擬變量和正弦函數(shù)來刻畫現(xiàn)貨電價序列多周期性特征的GARCH-M模型。該模型易于定階、待估參數(shù)少，可同時處理電價序列的趨勢變化、多重周期、異方差及其與負(fù)荷之間的非線性相關(guān)性，具有一定的實用價值。對PJM電力市場2007年6月1日至2010年9月9日的歷史數(shù)據(jù)的算例分析表明，電價分布的異方差和負(fù)荷的平方對電價均值具有顯著的影響，電價序列具有周、半月、月、季、半年等多重周期和明顯的波動集聚效應(yīng)。但本文模型關(guān)于殘差符合正態(tài)分布的假設(shè)與殘差的實際分布不能精確吻合，這在一定程度上降低了模型的擬合優(yōu)度，因此如何進(jìn)一步改進(jìn)以提高模型的擬合優(yōu)度是下一步要解決的問題。

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