周紹磊，吳修振，李瑞濤

(海軍航空工程學(xué)院控制工程系，山東煙臺 264001)

隨著國防工業(yè)對武器系統(tǒng)低成本、高可靠性、易維護(hù)性的要求越來越高，慣導(dǎo)系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)發(fā)展越來越快。我國在單軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)和雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)的研制領(lǐng)域取得了很大的進(jìn)步，但由于起步較晚，與國外相比還有不小差距。對于雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)，引起導(dǎo)航誤差的因素主要有初始對準(zhǔn)誤差、慣性器件常值漂移、安裝誤差、標(biāo)度因數(shù)誤差，本文旨在對這4種誤差對最終導(dǎo)航誤差的影響程度和方式做深入全面的研究。為此，推導(dǎo)出雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差方程，證明了誤差方程在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，建立了研究雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差傳播特性的方法，并提出了一種合理的十六次序轉(zhuǎn)位方案，分析了雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)補(bǔ)償誤差的本質(zhì)，針對每種影響導(dǎo)航誤差的因素作了具體分析和仿真，根據(jù)理論分析和仿真結(jié)果得出了一些減小雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)導(dǎo)航誤差的措施和結(jié)論，可以為雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)的進(jìn)一步優(yōu)化和工程設(shè)計提供理論參考。

1 雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差方程

1.1 誤差方程的推導(dǎo)過程

導(dǎo)航坐標(biāo)系取為北天東地理坐標(biāo)系oxnynzn(n系)，載體坐標(biāo)系為oxbybzb(b系)，IMU本體坐標(biāo)系oxsyszs(s系)，地球慣性坐標(biāo)系為oxiyizi(i系)，初始時刻b系，且s系與n系重合。

不考慮重力偏差，雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差方程可表示為［1］:

其中:φ=［φN，φU，φE］T表示n系中北天東三個方向的誤差角，δV=［δVN，δVU，δVE］T表示n系中北天東三個方向的速度誤差，f=［fN，fU，fE］T表示n系中北天東三個方向的加速度，εn=［εN，εU，εE］T和▽n=［▽N，▽U，▽E］T表示陀螺測量誤差和加速度計測量誤差在導(dǎo)航系n系中的分量。

載體無線運(yùn)動，不考慮天向通道，把式(1)展開得雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差方程的標(biāo)量形式［2－3］:

其中:ωieN、ωieU為n系中地球自轉(zhuǎn)角速度ωie的北向分量和天向分量，ωieN=ωiecosL、ωieU=ωiesinL，δL、δλ分別表示導(dǎo)航緯度誤差和經(jīng)度誤差，L表示載體所處緯度值，R為地球半徑，g為重力加速度大小。

把式(2)如下狀態(tài)方程的形式:

狀態(tài)變量為 x=［φN，φU，φE，δVN，δVE，δL］T，系統(tǒng)輸入為 u=［εN，εU，εE，▽N，▽E］，系統(tǒng)矩陣為

輸入矩陣

1.2 誤差方程穩(wěn)定性的證明

由狀態(tài)方程式(4)的系統(tǒng)矩陣A可得系統(tǒng)的特征多項式為

由式(5)可得系統(tǒng)的六個特征根為

狀態(tài)方程(4)對應(yīng)的自治系統(tǒng)為

由于系統(tǒng)6個特征根的實部均為零，又因為rank A=6，平衡點只有一個xe=0，根據(jù)特征值判據(jù)［4］，自治系統(tǒng)式(6)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)x0u(t)是有界的，即雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始對準(zhǔn)誤差不會引起導(dǎo)航誤差的積累和發(fā)散。進(jìn)一步分析可知，當(dāng)系統(tǒng)存在輸入u時，只要u是有界的，則狀態(tài)變量 x=［φN，φU，φE，δVN，δVE，δL］T一定是有界的，δλ是否積累和發(fā)散還需進(jìn)一步分析。

1.3 誤差方程的解析解

根據(jù)自動控制原理的相關(guān)知識［5］，虛軸上的共軛特征根會以正余弦振蕩的形式體現(xiàn)在狀態(tài)的時間解上，特征根s1，2對應(yīng)的振蕩基礎(chǔ)項為 sinωiet及cosωiet;特征根s3，4對應(yīng)的振蕩基礎(chǔ)項為 sin［(ωs+ωiesinL)t］及 cos［(ωs+ωiesinL)t］;特征根s5，6對應(yīng)的振蕩基礎(chǔ)項為 sin［(ωs－ωiesinL)t］及 cos［(ωsωiesinL)t］。因此，系統(tǒng)誤差式(2)存在三種頻率的振蕩:舒拉振蕩，頻率為ωs，周期為84.4 min;地球振蕩，頻率為ωie，周期為24h;傅科振蕩，頻率為ωiesinL。

略去傅科振蕩的影響，當(dāng) εN、εU、εE、▽N、▽E為常值時，系統(tǒng)誤差式(2)和系統(tǒng)方程式(4)的零狀態(tài)響應(yīng)x0x(t)中東向速度誤差δVE的解析解為［6］:

系統(tǒng)經(jīng)度誤差的解析解為:

由式(7)和式(8)可以看出，在系統(tǒng)輸入u的作用下，系統(tǒng)東向速度誤差δVE分為兩類:振蕩型、常值型，由于δVE通過積分作用于δλ，因此導(dǎo)航經(jīng)度誤差分為兩類:振蕩型、積累型。對系統(tǒng)精度影響最大的是積累型，會引起導(dǎo)航精度的發(fā)散。由式(8)可知，北向和天向陀螺常值漂移引起的經(jīng)度誤差積累為

2 十六次序轉(zhuǎn)位方案設(shè)計

對于雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)，誤差方程式(2)中的慣性元件誤差項εn和▽n是由IMU坐標(biāo)系中慣性元件誤差項εs和▽s乘以IMU姿態(tài)矩陣轉(zhuǎn)化而來的，即

其中:為的轉(zhuǎn)置。

導(dǎo)航計算機(jī)控制IMU以一定的規(guī)律和周期轉(zhuǎn)動，即有規(guī)律地改變的值，使εn、▽n在一個運(yùn)動周期時間T內(nèi)的積分為零，這將使?fàn)顟B(tài)變量 φN，φU，φE，δVN，δVE，δL不產(chǎn)生常值型誤差，并且振蕩的幅值大幅度減小，經(jīng)過積分作用導(dǎo)航經(jīng)度誤差δλ不會隨著時間發(fā)散，只是隨時間振蕩，振蕩的幅值也相應(yīng)減小，相應(yīng)必然提高了系統(tǒng)導(dǎo)航的精度。因此旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)自動補(bǔ)償?shù)谋举|(zhì)即是周期性地改變姿態(tài)矩陣的值，從而使短時間內(nèi)的誤差傳播方程中數(shù)學(xué)平臺的誤差項εn和的積分或者均值盡量接近零，以此來減小系統(tǒng)誤差的積累和振蕩的幅值，提高導(dǎo)航精度。

不同的轉(zhuǎn)位方案對應(yīng)的補(bǔ)償效果，因此在設(shè)計雙軸旋轉(zhuǎn)慣性系統(tǒng)應(yīng)選擇合理的轉(zhuǎn)位方案。

根據(jù)文獻(xiàn)［1］，可以用矢量ε在數(shù)學(xué)平臺或者導(dǎo)航坐標(biāo)系中的方位分布圖來設(shè)計轉(zhuǎn)動次序或者研究轉(zhuǎn)位方案的慣性元件誤差抵消情況。設(shè)計十六次序轉(zhuǎn)位方案如下［7］:

矢量ε初始位置為A，每次旋轉(zhuǎn)時，IMU以ω的角速度繞IMU坐標(biāo)系中的一個軸轉(zhuǎn)過180°，轉(zhuǎn)動的時間記為T1=π/ω，靜止時間T2后再進(jìn)行下一次旋轉(zhuǎn)，則十六次序轉(zhuǎn)位方案的周期為T=16(T1+T2)。陀螺常值漂移矢量ε靜止時刻在空間分布為四個位置A、B、C、D，從北天東地理坐標(biāo)系xnynzn的角度看，十六次序轉(zhuǎn)停方案可以描述為:

圖1 1～8次序矢量ε方位分布圖

十六次序轉(zhuǎn)停過程中1～8次序矢量ε方位分布如圖1所示，9～16次序與1～8次序旋轉(zhuǎn)次序相同，方向相反。

3 誤差傳播特性的研究方法

載體、IMU相對地球不存在線運(yùn)動，φ，γ，θ分別表示t時刻IMU航向、滾動、俯仰3個姿態(tài)角，由于設(shè)計的雙軸轉(zhuǎn)位方案是繞方位軸y軸和滾動軸x軸旋轉(zhuǎn)，因此θ=0，˙θ=0，則在北天東地理坐標(biāo)系中，t時刻IMU的姿態(tài)陣為:

IMU坐標(biāo)系中3個正交安裝的陀螺分別感受到的輸入角速度為，則

由于陀螺的測量誤差比加速度的測量誤差對導(dǎo)航精度的影響大得多，因此以下分析主要針對陀螺的測量誤差進(jìn)行。

其中:δGx、δGy、δGz分別表示 IMU 坐標(biāo)系x、y、z軸上陀螺的安裝誤差角度。

不考慮陀螺的非對稱標(biāo)度因數(shù)誤差的影響，3個陀螺的標(biāo)度因數(shù)誤差矩陣δS可表示為:

δSx、δSy和 δSz分別表示 IMU 坐標(biāo)系中x軸、y軸和z軸上陀螺的標(biāo)度因數(shù)誤差。

導(dǎo)航坐標(biāo)系n系中數(shù)學(xué)平臺的角速度誤差為

4 不同誤差因素的仿真分析

仿真從初始對準(zhǔn)誤差、慣性器件常值漂移、安裝誤差、標(biāo)度因數(shù)誤差四個影響導(dǎo)航的因素入手分別雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)導(dǎo)航誤差的傳播特性，并對每一種誤差因素導(dǎo)致的導(dǎo)航誤差傳播特性進(jìn)行總結(jié)［8－12］。為簡化分析，以導(dǎo)航誤差中δλ的振蕩峰峰值大小或者δλ的積累和發(fā)散程度大小來衡量不同誤差因數(shù)情形下雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差補(bǔ)償效應(yīng)。

導(dǎo)航仿真參數(shù)設(shè)定為:十六次序轉(zhuǎn)位時轉(zhuǎn)動角速度ω=12°/s，每次轉(zhuǎn)動時間T1=15 s，每次停止時間T2=30 s，轉(zhuǎn)位周期T=720 s，載體所在緯度L=28.2°，載體所在經(jīng)度 λ=116.15°，每經(jīng)過一個周期T記錄一次導(dǎo)航誤差，導(dǎo)航仿真時間為100 h。

4.1 初始對準(zhǔn)誤差角的導(dǎo)航誤差傳播特性

初始對準(zhǔn)誤差角的誤差傳播特性實際上是誤差方程式(2)、式(4)的零輸入響應(yīng)，根據(jù)前面的分析，雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始對準(zhǔn)誤差角不會引起導(dǎo)航誤差的積累和發(fā)散，只會引起導(dǎo)航的常值誤差和振蕩誤差。

保持 φU0和 φE0為零不變，當(dāng) φN0分別?。?″、－2″、－1″、1″、2″、3″時，進(jìn)行 6 次導(dǎo)航仿真;保持 φN0和φE0為零不變，當(dāng) φU0分別?。?″、－2″、－1″、1″、2″、3″時，進(jìn)行6次導(dǎo)航仿真;保持φN0和φU0為零不變，當(dāng)φE0分別?。?″、－2″、－1″、1″、2″、3″時，進(jìn)行 6 次導(dǎo)航仿真。18次導(dǎo)航仿真中δλ的振蕩峰峰值大小見表1。

表1 導(dǎo)航經(jīng)度誤差振蕩峰峰值的仿真結(jié)果

由表1知，導(dǎo)航經(jīng)度誤差振蕩峰峰值會隨著初始對準(zhǔn)誤差角 φN0、φU0、φE0的增大而增大，并成線性關(guān)系，但必須指出，初始對準(zhǔn)誤差角絕對值相同時，取值的正負(fù)雖然不會影響導(dǎo)航經(jīng)度誤差振蕩峰峰值的大小，但會影響導(dǎo)航經(jīng)度常值誤差的正負(fù)，從誤差曲線上看，初始對準(zhǔn)誤差角取正值時的導(dǎo)航經(jīng)度誤差曲線和取負(fù)值時的導(dǎo)航誤差曲線關(guān)于零值對稱。φN0=－3″和 φN0=3″的導(dǎo)航經(jīng)度誤差如圖 2所示。

4.2 陀螺常值漂移的導(dǎo)航誤差傳播特性

當(dāng)陀螺測量誤差中只有陀螺常值漂移時，根據(jù)式(13)，可得

圖2 φN0=－3″和 φN0=3″時導(dǎo)航經(jīng)度誤差

將上面數(shù)學(xué)平臺的角速度誤差項(15)在轉(zhuǎn)動周期T=16(T1+T2)內(nèi)積分，則得到十六次序轉(zhuǎn)位之后數(shù)學(xué)平臺的累積誤差角度:

因此在雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)中，陀螺的常值漂移不會造成積累和發(fā)散的導(dǎo)航誤差，只會造成常值型和振蕩型的導(dǎo)航誤差。

表2 導(dǎo)航經(jīng)度誤差振蕩峰峰值的仿真結(jié)果

4.3 陀螺安裝誤差的導(dǎo)航誤差傳播特性

當(dāng)陀螺測量誤差中只有陀螺安裝誤差時，根據(jù)式(13)，可得

其中:

將上面數(shù)學(xué)平臺的角速度誤差項式(17)在轉(zhuǎn)動周期T=16(T1+T2)內(nèi)積分，則得到十六次序轉(zhuǎn)位之后數(shù)學(xué)平臺的累積誤差角度:

因此在雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)中，陀螺的安裝誤差不會造成積累和發(fā)散的導(dǎo)航誤差，只會造成常值型和振蕩型的導(dǎo)航誤差。

仿真時，假定Gx=Gy=Gz，當(dāng)陀螺安裝誤差分別為－3×10－6、－2×10－6、－1×10－6、1×10－6、2×10－6、3×10－6時進(jìn)行6次導(dǎo)航仿真，δλ的振蕩峰峰值大小見表3。

表3 導(dǎo)航經(jīng)度誤差振蕩峰峰值的仿真結(jié)果

由表3可知，導(dǎo)航經(jīng)度誤差振蕩峰峰值會隨著陀螺安裝誤差Gx、Gy、Gz的增大而增大，并成線性關(guān)系。與§4.1類似，陀螺安裝誤差取正值時的導(dǎo)航經(jīng)度誤差曲線和取負(fù)值時的導(dǎo)航誤差曲線關(guān)于零值對稱。

4.4 陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差的導(dǎo)航誤差傳播特性

當(dāng)陀螺測量誤差中只有陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差時，根據(jù)式(13)，可得

其中:

將上面數(shù)學(xué)平臺的角速度誤差項式(19)在轉(zhuǎn)動周期T=16(T1+T2)內(nèi)積分，則得到十六次序轉(zhuǎn)位之后數(shù)學(xué)平臺的累積誤差角度:

分析式(20)可知，對稱性標(biāo)度因數(shù)誤差所引起的數(shù)學(xué)平臺誤差積累只在北向和天向存在分量，東向沒有分量。IMU坐標(biāo)系中x軸、y軸和z軸上陀螺的對稱性標(biāo)度因數(shù)誤差Sx、Sy和Sz對數(shù)學(xué)平臺誤差的影響程度是不同的，轉(zhuǎn)動軸x軸、y軸上的Sx和Sy要大于非轉(zhuǎn)動軸z軸上的Sz。

保持Sy和Sz為零不變，當(dāng)Sx分別?。?×10－6、－2×10－6、－1×10－6、1×10－6、2×10－6、3×10－6時，進(jìn)行6次導(dǎo)航仿真;保持Sx和Sz為零不變，當(dāng)Sy分別?。?×10－6、－2×10－6、－1×10－6、1×10－6、2×10－6、3×10－6時，進(jìn)行6次導(dǎo)航仿真;保持Sx和Sy為零不變，當(dāng)Sz分別取－3×10－6、－2×10－6、－1×10－6、1×10－6、2×10－6、3×10－6時，進(jìn)行6 次導(dǎo)航仿真。

上述18次的導(dǎo)航經(jīng)度積累誤差仿真結(jié)果見表4，表中，Sx、Sy和Sz的單位為×10－6，δλ 的單位為分。

表4 導(dǎo)航經(jīng)度誤差積累和發(fā)散的仿真結(jié)果

由表4可以得出:導(dǎo)航經(jīng)度誤差的大小與標(biāo)度因數(shù)誤差大小成比例關(guān)系，并且陀螺的標(biāo)度因數(shù)誤差Sx、Sy和Sz對導(dǎo)航經(jīng)度誤差的影響程度是不同的，Sx和Sy影響程度要大于Sz，即雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)中兩個轉(zhuǎn)動軸上陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差對導(dǎo)航精度的影響程度大于非轉(zhuǎn)動軸。

4.5 誤差因素綜合仿真

圖3 4種誤差因素同時存在時的導(dǎo)航經(jīng)度誤差

圖4 IMU靜止時的導(dǎo)航經(jīng)度誤差

對比圖3和圖4可知，在雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)調(diào)制下，導(dǎo)航經(jīng)度誤差減小了兩個數(shù)量級以上，導(dǎo)航精度大幅提高。

5 結(jié)論

分析仿真結(jié)果可知，4種誤差因素大小均與導(dǎo)航誤差大小成線性關(guān)系，并且滿足疊加性;4種誤差因素會引起導(dǎo)航姿態(tài)，導(dǎo)航速度，導(dǎo)航緯度的常值誤差和振蕩誤差，但不會引起積累誤差;陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差會引起導(dǎo)航經(jīng)度誤差的積累和發(fā)散，并且雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)中兩個轉(zhuǎn)動軸上陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差對導(dǎo)航精度的影響程度大于非轉(zhuǎn)動軸。在影響導(dǎo)航經(jīng)度誤差的4種因素中，初始對準(zhǔn)誤差角對導(dǎo)航經(jīng)度誤差振蕩峰峰值大小影響最大。因此，在設(shè)計雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)時，要優(yōu)化初始對準(zhǔn)算法盡量減小初始對準(zhǔn)誤差，在雙軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)的兩個轉(zhuǎn)動軸上要選擇標(biāo)度因數(shù)誤差相對較小的陀螺。上述分析忽略了陀螺隨機(jī)漂移對導(dǎo)航經(jīng)度誤差的影響，這是今后進(jìn)一步研究的方向。

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