余 敏

（鄭州鐵路職業(yè)技術學院，河南 鄭州 450052）

高等數(shù)學中的主要部分是一元函數(shù)的微積分和多元函數(shù)的微積分這兩部分的學習，使用類比法非常重要[1]。

一、概念

一元函數(shù)的自變量個數(shù)為一個，那么自變量為兩個或兩個以上的函數(shù)為多元函數(shù)。

1.極限的類比：一元函數(shù)中，當x趨于x0，對應的函數(shù)值f（x）無限接近于某個確定常數(shù)A，就說A是函數(shù)f（x）當x→x0時的極限；多元函數(shù)中，當動點P（x，y）無限接近于P0（x0，y0）時對應的函數(shù)值無限趨近于一個確定的常數(shù)A，那么A是二元函數(shù)f（x，y）的極限。 一元函數(shù)x→x0指的是x從x0的左右兩側趨近于x0。 二元函數(shù)中P（x，y），P0（x0，y0）是指P（x，y）從任意的方向趨近于P0（x0，y0）。

3.偏導數(shù)的類比：設二元函數(shù)z=f（x，y）在區(qū)域D上具有的兩個偏導數(shù)一般情況下，它們仍然是關于自變量x，y的函數(shù)。如果兩個偏導數(shù)的偏導數(shù)存在，則稱它們?yōu)楹瘮?shù)z=f（x，y）的二階偏導數(shù)。類似地，可以定義三階、四階……n階偏導數(shù)。

4.定積分概念的類比：與定積分類似，二重積分的概念是定積分的推廣，其中的數(shù)學思想與定積分一樣，也是一種“和式的極限”，所不同的是，定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是一個區(qū)間；而二重積分的被積函數(shù)是二元函數(shù)，積分范圍是平面上的一個區(qū)域。但它們之間又存在著密切的聯(lián)系，二重積分可以通過定積分來計算[2]。

同樣，高等數(shù)學中的牛頓-萊布尼茲公式，格林公式，高斯公式和斯托克斯公式也是類比推理方法的產物[3]。學習這些概念時采用類比法，這些知識就變得更加淺顯易懂。

二、性質

1.一元函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有如下性質。

a.在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值；

b.f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）可以取其最大值與最小值之間的一切值。

同樣，利用類比法二元函數(shù)在閉區(qū)域上有類似的性質：a.有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。b.設f（x，y）在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則f（x，y）可以取其最大值與最小值之間的一切值。

2.定積分與二重積分某些性質上的類比，且由定義可知其證明也與定積分性質的證明類似[4]。

定積分具有以下幾條性質：

性質1：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即

性質2：兩個函數(shù)和（差）的定積分等于它們定積分的和（差），即

性質3（積分區(qū)間的分割性質）：不論a，b，c三點的相對位置如何，總有

其中無論c是的[a，b]內分點還是外分點，該性質都成立。

性質4：如果在區(qū)間[a，b]上有

f（x）≤g（x）

那么

性質5（積分估值定理）：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值為M，最小值為m，那么

性質6（積分中值定理）：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，那么在區(qū)間[a，b]內至少存在

一點ξ，使

二重積分具有與定積分類似的性質：

性質1：被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分符號外面去，即若k為常數(shù)，則

性質2：函數(shù)和（或差）的二重積分，等于各個函數(shù)的二重積分的和（或差），即

性質3：如果將積分區(qū)域D分為兩個閉區(qū)域D1和D2，則在D上的二重積分等于D1和D2上二重積分的和，即

性質4：在積分區(qū)域D上，如果f（x，y）≤g（x，y），則有不等式

性質5：設M和m分別是f（x，y）在區(qū)域D上的最大值和最小值，σ是D的面積，則有

性質6（二重積分的中值定理）：設函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，σ是D的面積，則在D上至少存在一點（ξ，η），使得

三、計算方法

在掌握好一元函數(shù)的導數(shù)后，求多元函數(shù)的偏導數(shù)有類似的方法，在多元函數(shù)偏導數(shù)定義中，實際上只有一個自變量在變化，所以求二元函數(shù)的偏導數(shù)時，只需將一個自變量暫時看作常量，直接利用一元函數(shù)的求導方法，對另一個自變量進行求導即可。 例如：求函數(shù)z=f（x，y）的偏導數(shù)fx（x，y），只要把y暫時看作常量而對x求導數(shù)即可，類似的，求fy（x，y）時，只要把x暫時看作常量而對y求導數(shù)。這樣一來多元函數(shù)求偏導也就容易了，在學完一元函數(shù)的定積分后，在計算二重積分和三重積分時，只是將二重積分和三重積分化為累次積分，并計算之即可。另外在定積分的應用中從求平面曲線圍成圖形的面積的方法上可以類比到求平面曲線的弧長，旋轉體的體積。不同的是，求平面曲線圍成圖形面積的時候我們主要求出面積微元，而在求平面曲線的弧長時主要求出弧長微元，在求旋轉體體積時候我們先求出體積微元，歸結到微元法里就是：“以直代曲”“以不變代變”的方法[5]。

學習高等數(shù)學的理論知識，尤其是對相關內容進行類比，不僅能使難理解的概念容易理解，難記憶的公式更容易記憶，而且可以使解題思路變得更加開闊。但如果使用不當，也會帶來一定的負面影響，造成學生消極的思維定勢，在問題解決過程中，學生對問題進行表征后，用類比法難以進行模式識別時，要讓他們多角度聯(lián)想。

[1]張恒山.數(shù)學解題中類比能力的培養(yǎng)[J].南京師范學校學報，2000（3）.

[2]同濟大學.高等數(shù)學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]崔西玲，李宏平.經濟數(shù)學基礎[M].北京：科學出版社，2005.

[4]崔國生，程敬松.新編工程數(shù)學[M].大連：大連理工大學出版社，2002.

[5]胡農.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2006.