趙曉宇，李 軍，李張苗

(1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240;2.河北工程大學(xué)土木學(xué)院，河北邯鄲056038)

結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析的目的是計(jì)算結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)和可靠度。由于地震活動(dòng)的不確定性和地震波在地殼中傳播的隨機(jī)性，地面地震動(dòng)參數(shù)都是隨機(jī)的，一般由隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述。結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析則給出隨機(jī)地震荷載下結(jié)構(gòu)反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)、譜特性、邊緣或聯(lián)合概率分布等，為結(jié)構(gòu)的可靠度評(píng)估或抗震設(shè)計(jì)提供基本數(shù)據(jù)。

在地震作用下，結(jié)構(gòu)往往會(huì)進(jìn)入非線性狀態(tài)，因此，在結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析中，應(yīng)該考慮結(jié)構(gòu)的非線性行為，尤其是結(jié)構(gòu)恢復(fù)力的滯變特性［1]。然而，滯變結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)分析在目前來(lái)說(shuō)仍然是一個(gè)困擾地震工程界的技術(shù)難題，盡管人們提出和發(fā)展了一些方法，但精確并有效的方法仍然在研究和開(kāi)發(fā)過(guò)程中。本文回顧了目前存在的滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析的基本方法，探討了目前應(yīng)用最為廣泛的等價(jià)線性化方法及其誤差問(wèn)題，為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的地震可靠度分析方法研究提供參考。

1 隨機(jī)地震荷載和結(jié)構(gòu)滯變恢復(fù)力

精細(xì)的隨機(jī)地震荷載模型需用隨機(jī)場(chǎng)來(lái)描述［1]。但由于隨機(jī)場(chǎng)模型往往給結(jié)構(gòu)分析帶來(lái)非常大的復(fù)雜性，且隨機(jī)場(chǎng)模型通常由一維隨機(jī)過(guò)程和相關(guān)函數(shù)或相干函數(shù)來(lái)合成，因此在結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)分析中經(jīng)常采用的是一維隨機(jī)過(guò)程模型。目前常用的一維隨機(jī)地震動(dòng)荷載模型有平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模型(如白噪聲過(guò)程模型、金井清和田治見(jiàn)模型以及Clough－Penzien模型等)、調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模型(如調(diào)制金井清和田治見(jiàn)模型以及Clough－Penzien模型［2])和基于漸進(jìn)功率譜的完全非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模型等［3－4]。一般來(lái)說(shuō)，上述模型能比較好地滿足不同層次的結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析的要求。

在地震荷載的往復(fù)作用下，構(gòu)件的恢復(fù)力與變形的關(guān)系曲線在加載和卸載過(guò)程中不沿著同一個(gè)路徑變化，表現(xiàn)出顯著的滯變特性。常用的結(jié)構(gòu)恢復(fù)力的滯變模型有雙線性模型、Clough三線性模型和能量模型［1]，但由于上述模型是不光滑的，給求解隨機(jī)偏微分振動(dòng)方程帶來(lái)了非常大的困難，因此，在結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震反應(yīng)分析中經(jīng)常采用光滑的滯變恢復(fù)力模型，其中最常用的是Bouc－Wen 模型［1]。

若將結(jié)構(gòu)恢復(fù)力表示為

式中:g(x，˙x)－滯變恢復(fù)力;x－變形;αkx－彈性力部分;(1－α)kz－滯變力部分;k－初始剛度;αk－第二剛度;α －第二剛度系數(shù)。

那么，光滑的Bouc－Wen滯變變形模型為

式中:A、B、γ－控制滯變變形初始剛度、幅值和滯變形狀參數(shù)。

2 滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析的主要方法

目前的滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析方法主要有擴(kuò)散理論方法、隨機(jī)平均法、攝動(dòng)法、矩截?cái)喾?、?shù)字模擬方法和等價(jià)線性化法等［5－6]。

擴(kuò)散理論方法是在相應(yīng)的邊界條件與初始條件下求解?？耍绽士耍茽柲缏宸蚍匠?FPK方程)。對(duì)極少數(shù)問(wèn)題，如白噪聲激勵(lì)下的Duffing振子，可以得到解析解［5－6]。但對(duì)一般的滯變結(jié)構(gòu)，尤其是常用隨機(jī)地震模型作用下的復(fù)雜滯變結(jié)構(gòu)，目前沒(méi)有解析解，只能通過(guò)近似方法(如隨機(jī)平均法［7－8])和數(shù)值方法進(jìn)行近似計(jì)算，而且計(jì)算量大且精度也很難保證［6]。因此，擴(kuò)散理論方法目前還未在工程中廣泛使用。

隨機(jī)攝動(dòng)法是非線性確定性振動(dòng)的攝動(dòng)方法對(duì)隨機(jī)問(wèn)題的直接推廣［9]。它可以用來(lái)確定弱非線性體系受隨機(jī)干擾的近似反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩，但不適用于強(qiáng)非線性的滯變結(jié)構(gòu)。

矩函數(shù)截?cái)喾ㄊ且活惽蠼夥蔷€性系統(tǒng)反應(yīng)矩的方法。較常用的是高斯截?cái)喾ê屠鄯e量截?cái)喾ǎm用于單個(gè)或多個(gè)自由度非線性系統(tǒng)受平穩(wěn)或非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的情況［6，10]。矩函數(shù)截?cái)喾ㄒ驯挥糜跍兘Y(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩的初步估計(jì)之中，但該方法的精度尚有待進(jìn)一步提高。

數(shù)字模擬方法(Monte Carlo模擬方法和重要抽樣方法)與等價(jià)線性化法是目前應(yīng)用最為廣泛的滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析方法［11]。該方法利用隨機(jī)地震動(dòng)的樣本和確定性滯變結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析技術(shù)，獲得結(jié)構(gòu)反應(yīng)的樣本，然后統(tǒng)計(jì)樣本得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)、概率分布或其它概率特征。只要計(jì)算量允許，數(shù)字模擬技術(shù)適用于任何可以進(jìn)行確定性分析的結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題。然而，Monte Carlo模擬方法的確定性有限元分析數(shù)量往往數(shù)以十萬(wàn)計(jì)，對(duì)大型結(jié)構(gòu)問(wèn)題難以在可容忍的時(shí)間內(nèi)完成模擬過(guò)程，而重要抽樣方法的穩(wěn)定性問(wèn)題也一直沒(méi)有得到很好地解決［12]。

隨機(jī)等價(jià)線性化方法是利用某個(gè)等價(jià)原則將所研究非線性系統(tǒng)等價(jià)變換為一個(gè)線性系統(tǒng)，通過(guò)分析等價(jià)線性系統(tǒng)的隨機(jī)反應(yīng)來(lái)預(yù)測(cè)原系統(tǒng)的隨機(jī)反應(yīng)。等價(jià)線性化方法是被認(rèn)為是目前最有效的滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析方法［13]。

3 滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)分析的等價(jià)線性化方法

上世紀(jì)50年代，從事控制論和自動(dòng)化理論研究的 Kazakov［14]和 Booton［15]最早提出了隨機(jī)等價(jià)線性化方法，Caughey將其推廣到非線性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)［16]。非線性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)等價(jià)線性化的中心思想是將原來(lái)的非線性系統(tǒng)用一個(gè)等價(jià)的線性系統(tǒng)來(lái)代替，線性系統(tǒng)的參數(shù)通過(guò)利用原系統(tǒng)與線性系統(tǒng)之間的某個(gè)等價(jià)準(zhǔn)則來(lái)獲得，因此非線性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的等價(jià)線性化方法可按等價(jià)線性化準(zhǔn)則來(lái)進(jìn)行分類。

最早提出并且應(yīng)用最廣泛的線性化準(zhǔn)則是原系統(tǒng)響應(yīng)與等價(jià)系統(tǒng)響應(yīng)的均方差最小準(zhǔn)則。采用該準(zhǔn)則后，等價(jià)系統(tǒng)的參數(shù)可以通過(guò)計(jì)算原系統(tǒng)中非線性函數(shù)梯度的期望來(lái)確定［17]。這種隨機(jī)等價(jià)線性化方法主要是確定等價(jià)系統(tǒng)的剛度和阻尼參數(shù)，尤其是可以給出Bouc－Wen模型的等價(jià)參數(shù)［18]，使等價(jià)線性方程“最優(yōu)”的逼近原來(lái)的非線性方程的解［1]。均方差最小準(zhǔn)則下的等價(jià)線性化方法的具體過(guò)程是用帶有剛度參數(shù)和阻尼參數(shù)的線性系統(tǒng)近似代替非線性系統(tǒng)，將線性系統(tǒng)的響應(yīng)帶入線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程中，得到兩方程之差，運(yùn)用兩系統(tǒng)響應(yīng)的均方差最小的原則，可以得到用來(lái)確定剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的矩陣方程，將該矩陣方程與線性系統(tǒng)動(dòng)力方程聯(lián)立，可以求解出剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，對(duì)于bouc－wen模型系數(shù)可以通過(guò)迭代方法來(lái)計(jì)算［5]。剛度參數(shù)和阻尼參數(shù)直接與反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩有關(guān)，對(duì)于非平穩(wěn)反應(yīng)的問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)矩是時(shí)間的函數(shù)，等價(jià)參數(shù)也是隨時(shí)間變化的，宜將時(shí)間區(qū)間分成若干子區(qū)間，等價(jià)參數(shù)和體系的反應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩需要從等于時(shí)間步長(zhǎng)大小的離散時(shí)刻起迭代求解［1]。

上述等價(jià)線性化方法可以稱為全局等價(jià)線性化方法，該類方法能夠較為簡(jiǎn)單地確定等價(jià)線性系統(tǒng)的參數(shù)，但等價(jià)響應(yīng)的概率分布，特別是尾部概率分布的誤差較大。為了解決這個(gè)問(wèn)題，人們提出了新的線性化準(zhǔn)則，主要包括局部等價(jià)線性化原則和無(wú)參數(shù)等價(jià)線性化準(zhǔn)則。

局部等價(jià)線性化準(zhǔn)則的一種典型方法是Casciati和Faravelli提出的原系統(tǒng)響應(yīng)與等價(jià)系統(tǒng)響應(yīng)的平均穿越率相等準(zhǔn)則方法［19]。對(duì)滯變結(jié)構(gòu)研究時(shí)雖然無(wú)法明確得到原系統(tǒng)位移和速度的概率密度分布，但在能量損耗很小的情況下，可以運(yùn)用隨機(jī)平均方法得到能量包線的Fokker－Planck方程，運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)獲得位移和速度反應(yīng)的聯(lián)合概率分布近似值，從而可以得到滯變結(jié)構(gòu)的穿越概率。利用等價(jià)線性化方法，將原來(lái)的滯變結(jié)構(gòu)用等價(jià)的線性結(jié)構(gòu)來(lái)替代，可以得到等價(jià)的線性結(jié)構(gòu)的穿越概率，這個(gè)穿越概率是有關(guān)等價(jià)線性參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。利用原系統(tǒng)響應(yīng)與等價(jià)系統(tǒng)響應(yīng)的平均穿越率相等的準(zhǔn)則，最終可得到等價(jià)參數(shù)。平均穿越率相等方法能針對(duì)特定的反應(yīng)水平值給出不同的等價(jià)線性系統(tǒng)參數(shù)，局限性在于需要知道原系統(tǒng)位移和速度反應(yīng)的聯(lián)合邊緣概率密度函數(shù)以便計(jì)算原系統(tǒng)反應(yīng)的平均穿越率，這對(duì)于非線性結(jié)構(gòu)特別是多自由度的非線性結(jié)構(gòu)而言比較困難，這限制了該方法的廣泛應(yīng)用。

無(wú)參數(shù)等價(jià)線性化準(zhǔn)則的一種典型方法是Kiureghian提出的尾部等價(jià)線性化方法［20]。其等價(jià)原則是等價(jià)線性系統(tǒng)的尾部概率與非線性系統(tǒng)的尾部概率相等。具體過(guò)程是先把隨機(jī)激勵(lì)離散成有限個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，然后考察一般線性系統(tǒng)在這個(gè)離散化的隨機(jī)激勵(lì)作用下的響應(yīng)情況，從而定義出一個(gè)與非線性系統(tǒng)響應(yīng)的尾部概率相等的尾部等價(jià)線性系統(tǒng)。獲得等價(jià)的線性系統(tǒng)后，非線性系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值可以由對(duì)等價(jià)的線性系統(tǒng)響應(yīng)的分析得到，包括在某一時(shí)刻下的概率密度函數(shù)和累計(jì)概率分布函數(shù)、平均穿越率、在一定時(shí)間間隔內(nèi)的最大響應(yīng)分布等。尾部等價(jià)線性化方法無(wú)需計(jì)算等價(jià)系統(tǒng)的阻尼和剛度參數(shù)，也不需要解決最優(yōu)化的問(wèn)題，只需要保證在相同的時(shí)間設(shè)計(jì)點(diǎn)，非線性系統(tǒng)響應(yīng)的切平面與等價(jià)的線性系統(tǒng)響應(yīng)的超平面重合。

尾部等價(jià)線性化方法適用于各類具有有理譜密度的隨機(jī)地震荷載和各類滯變恢復(fù)力模型，且在時(shí)域分析和頻域分析中都可使用。例如在海洋結(jié)構(gòu)問(wèn)題中［21]，波浪激勵(lì)通常用頻域形式表示，為了便于進(jìn)行頻域隨機(jī)振動(dòng)分析，用頻率響應(yīng)函數(shù)來(lái)定義尾部等價(jià)線性系統(tǒng)，在計(jì)算過(guò)程中需要對(duì)激勵(lì)進(jìn)行頻域離散化，頻率響應(yīng)函數(shù)可以直接由非線性響應(yīng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)運(yùn)算得到。采用尾部等價(jià)線性化方法進(jìn)行頻域分析的一大優(yōu)點(diǎn)就是尾部等價(jià)線性系統(tǒng)不受激勵(lì)大小的影響，即不同的浪高有相同的等價(jià)線性系統(tǒng)，這大大簡(jiǎn)化了對(duì)海洋結(jié)構(gòu)的運(yùn)算分析。尾部等價(jià)線性化方法在工程方面可以運(yùn)用在地震分析中［22]，進(jìn)行非線性結(jié)構(gòu)地震易損性計(jì)算。因?yàn)閷?duì)尾部等價(jià)線性系統(tǒng)進(jìn)行線性隨機(jī)振動(dòng)分析即可產(chǎn)生非線性結(jié)構(gòu)的易損性曲線，所以避免了反復(fù)的時(shí)程分析，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。

隨機(jī)等價(jià)線性化方法的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面。一方面，有些學(xué)者將等價(jià)線性化方法與其它方法進(jìn)行結(jié)合，來(lái)提高分析的效率和精度。Spanos、Sofi和Paola綜合利用等價(jià)線性化方法和Fokker－Planck方程進(jìn)行非線性振子的非平穩(wěn)響應(yīng)包絡(luò)概率密度分析，在范德波振子和杜芬振子的應(yīng)用中，取得了良好效果［23]。Pradlwarter、Schueller和Schenk將等價(jià)線性化方法嵌入有限元方法中，對(duì)有上千個(gè)自由度的大型有限元模型進(jìn)行了非線性隨機(jī)振動(dòng)分析［24]。另一方面，等價(jià)線性方法已廣泛應(yīng)用于建筑、橋梁、離岸平臺(tái)和車輛的非線性隨機(jī)振動(dòng)分析以及隨機(jī)荷載建模、結(jié)構(gòu)可靠度和自動(dòng)化控制等領(lǐng)域，特別是對(duì)于大型混凝土結(jié)構(gòu)的地震可靠度問(wèn)題，等價(jià)線性化是目前唯一有效的分析方法。Schueller運(yùn)用這種方法來(lái)研究八層辦公樓在雙向地震激勵(lì)作用下的反應(yīng)［25]，Emam將這種方法運(yùn)用在了六層建筑一維滯回以及三層建筑二維滯回情況下的反應(yīng)分析之中［26]。朱東生將等價(jià)線性化方法運(yùn)用到鉛芯橡膠支座(LRB)隔震橋梁的設(shè)計(jì)中［27]，孔德怡針對(duì)系統(tǒng)阻尼對(duì)橋梁設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的影響，以一座實(shí)橋?yàn)槔?，通過(guò)與非線性時(shí)程分析比較，對(duì)各個(gè)等價(jià)線性化方法進(jìn)行了評(píng)價(jià)［28]。Qian計(jì)算波浪力對(duì)結(jié)構(gòu)的作用，考慮了一個(gè)三維的離岸平臺(tái)模型，利用等價(jià)線性化方法獲得響應(yīng)特性［29]。Zhang研究了車輛的隨機(jī)概率響應(yīng)曲線，提出了一種用來(lái)獲得線性化系數(shù)和響應(yīng)特性的逐步線性化方法［30]。

4 等價(jià)線性化的誤差及修正

目前只有很少的文獻(xiàn)研究了近似誤差的問(wèn)題。大多數(shù)學(xué)者選用特殊系統(tǒng)進(jìn)行研究而后采用與確定解或數(shù)值模擬結(jié)果相比較的方法獲得近似誤差，尚不存在等價(jià)線性化誤差修正的理論方法。

一般而言，等價(jià)線性化方法的數(shù)值誤差存在于用線性系統(tǒng)代替非線性系統(tǒng)的等價(jià)近似過(guò)程中，主要分為平穩(wěn)誤差和非平穩(wěn)誤差兩個(gè)部分。平穩(wěn)誤差通常是由對(duì)位移、速度、滯回位移等各種響應(yīng)變量的高斯假定產(chǎn)生的，非平穩(wěn)誤差主要體現(xiàn)在永久塑性變形的積聚方面。Young J.Park通過(guò)誤差分析量化了數(shù)值誤差，并在大量的Monte Carlo數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)實(shí)用的誤差修正方法［31]。

在平穩(wěn)誤差方面，誤差大小和后屈服剛度比有著重要關(guān)系。后屈服剛度比如果較大，平穩(wěn)誤差則較小，同時(shí)表明在這種情況下高斯假定對(duì)結(jié)果的影響較小;但當(dāng)后屈服剛度比非常小時(shí)，平穩(wěn)誤差受后屈服剛度比影響的敏感性也會(huì)非常小。Young J.Park的平穩(wěn)誤差修正方法是，當(dāng)?shù)葍r(jià)線性化方法計(jì)算出的位移與屈服位移的比值小于0.5時(shí)，平穩(wěn)誤差很小可以視為零;比值在0.5到1之間時(shí)，誤差是關(guān)于位移和后屈服剛度比的函數(shù);當(dāng)比值大于1后，誤差基本呈現(xiàn)出的是有關(guān)后屈服剛度比的一個(gè)常數(shù)。

在非平穩(wěn)誤差方面，后屈服剛度比對(duì)非平穩(wěn)誤差的影響要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于對(duì)平穩(wěn)誤差的影響，其他參數(shù)如粘性阻尼系數(shù)等對(duì)誤差的影響十分微小;當(dāng)后屈服剛度比大于0.05時(shí)，非平穩(wěn)誤差十分微小。Young J.Park得到的非平穩(wěn)誤差修正方法是當(dāng)位移與屈服位移的比值小于0.5時(shí)，非平穩(wěn)誤差可以忽略不計(jì);比值大于0.5時(shí)，由數(shù)值模擬得到的非平穩(wěn)誤差是有關(guān)后屈服剛度比、位移和標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)間的關(guān)系式。

通過(guò)分別對(duì)平穩(wěn)誤差部分和非平穩(wěn)誤差部分進(jìn)行修正，最終歸結(jié)為總的數(shù)值誤差修正，總的誤差修正值可以綜合平穩(wěn)誤差和非平穩(wěn)誤差來(lái)得到。

5 結(jié)語(yǔ)

與常用的滯變結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析方法，如擴(kuò)散理論方法、隨機(jī)平均法、攝動(dòng)法、矩截?cái)喾椒ê蛿?shù)字模擬方法等相比，等價(jià)線性化方法因概念簡(jiǎn)單，計(jì)算量較少，具有良好的實(shí)用性。尤其是近年來(lái)發(fā)展出來(lái)的局部等價(jià)線性化方法和無(wú)參數(shù)等價(jià)線性化方法，既提高了預(yù)測(cè)原系統(tǒng)反應(yīng)尾概率的精確性和計(jì)算效率，又適用于分段和光滑的滯變恢復(fù)力模型。面對(duì)未來(lái)可能發(fā)生的地震，陳舊混凝土結(jié)構(gòu)具有潛在的巨大災(zāi)害，將等價(jià)線性化方法運(yùn)用到結(jié)構(gòu)的地震安全性評(píng)估之中，對(duì)城市的抗震減災(zāi)工作具有重要意義。

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