趙子龍，唐守政，郭 歡，耿 佳

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

軍事科技的發(fā)展使得傳統(tǒng)的軍事防御工事由地面轉(zhuǎn)入地下，這也就促使著深層侵徹彈的發(fā)展，為了更好的打擊地下防御工事，對(duì)旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)桿侵徹彈的研究也就成了必然。這項(xiàng)研究對(duì)國(guó)防工業(yè)的發(fā)展具有重要的理論與實(shí)用的參考價(jià)值。

在彈體侵徹厚土或混凝土靶方面的研究已有了大量的成熟的理論和實(shí)際研究成果。高世橋等對(duì)長(zhǎng)桿彈侵徹混凝土靶的問(wèn)題做了相關(guān)研究[1-3];對(duì)鎢桿斜侵徹金屬靶的問(wèn)題李大紅等作了深入探討[4];在圓柱桿侵徹土壤及水泥靶時(shí)的應(yīng)力波傳播特性方面趙子龍等[5-6]已做了相關(guān)研究，在此基礎(chǔ)上對(duì)旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)桿侵徹半無(wú)限厚土的動(dòng)力特性做了進(jìn)一步研究[7]。在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，本文利用波動(dòng)理論建立了縱波的波動(dòng)方程和扭轉(zhuǎn)波的波動(dòng)方程，并利用有限差分法對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行了數(shù)值求解，討論了彈體內(nèi)部應(yīng)力波的傳播特性，重點(diǎn)研究了初始旋轉(zhuǎn)角速度對(duì)長(zhǎng)桿彈內(nèi)應(yīng)力波傳播特性的影響。

1 基本假設(shè)

由于長(zhǎng)桿彈侵徹混凝土靶的實(shí)際問(wèn)題是非常復(fù)雜不便進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的，這里為了簡(jiǎn)化長(zhǎng)桿彈侵徹混凝土靶的問(wèn)題，本文做了如下基本假設(shè):

(1)在計(jì)算撞擊力和侵徹位移時(shí)，將長(zhǎng)桿彈視為剛體，將靶視為流體;

(2)靶響應(yīng)區(qū)介質(zhì)位移方向與合力方向相同;

(3)對(duì)長(zhǎng)桿彈侵徹過(guò)程的分析與長(zhǎng)桿彈中應(yīng)力波傳播的分析分開(kāi);

(4)研究應(yīng)力波的傳播的過(guò)程中，將長(zhǎng)桿彈的塑性力學(xué)本構(gòu)關(guān)系作線(xiàn)性硬化處理且將應(yīng)力看作應(yīng)變的單值函數(shù)。

2 侵徹過(guò)程

為了研究方便起見(jiàn)，建立兩組坐標(biāo)系。一組為定坐標(biāo)系oy，o點(diǎn)為撞擊初始接觸點(diǎn)，y軸沿長(zhǎng)桿彈的軸線(xiàn)向下;另一組為動(dòng)坐標(biāo)系Crβz，其中C為長(zhǎng)桿彈的質(zhì)心，z沿長(zhǎng)桿彈軸線(xiàn)向下，r為極坐標(biāo)，β為角坐標(biāo)，r和β一起構(gòu)成垂直于z的極坐標(biāo)系統(tǒng)，如圖1所示。取長(zhǎng)桿彈與混凝土靶開(kāi)始接觸時(shí)刻作為初始時(shí)刻，下面討論長(zhǎng)桿彈的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

2.1 受力分析

如圖1所示，在長(zhǎng)桿彈與混凝土靶的接觸表面上任一點(diǎn)A處取一微元dS，該表面上的有法向作用力dFd和摩擦力df，其中df為df1(沿圓周切向摩擦力)和df2(沿母線(xiàn)方向摩擦力)的合力，同時(shí)在混凝土靶微表面上作用有等值、反向的力-dF.考慮到高速撞擊過(guò)程的特點(diǎn)，將混凝土靶對(duì)長(zhǎng)桿彈的反作用力看作dFd與df的疊加。

圖1 垂直侵徹示意圖Fig.1 The vertical penetration

圖2 靶微元的受力及變形示意圖Fig.2 The force and deformation of target element

文獻(xiàn)[4]已得到:

其中，ct為微柱介質(zhì)的法向擴(kuò)散速度，vF為微柱介質(zhì)的合速度。

2.2 靶響應(yīng)區(qū)介質(zhì)法向擴(kuò)散速度

擴(kuò)散速度ct是一個(gè)較難確定的參數(shù)，根據(jù)靶材料質(zhì)量守恒來(lái)確定ct.

由文獻(xiàn)[7]可得到:

其中，ρ為未響應(yīng)區(qū)介質(zhì)的密度，ρ*響應(yīng)區(qū)介質(zhì)的密度。

2.3 長(zhǎng)桿彈的動(dòng)力學(xué)方程

設(shè)長(zhǎng)桿彈的質(zhì)量和繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為mp和Ip，則剛體運(yùn)動(dòng)的微分方程為:

其中，SA為長(zhǎng)桿彈侵入混凝土靶的表面(是一曲面)，α為長(zhǎng)桿彈錐頭部分半頂角，zc表示長(zhǎng)桿彈在定坐標(biāo)系oz中的坐標(biāo)，符號(hào)表示對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)。

由文獻(xiàn)[7]可得到:

其中，θ為dFd與dF的方向夾角，φ為z與合力dF的夾角，φ為df2與df的夾角。

3 應(yīng)力波傳播

3.1 波動(dòng)方程的推導(dǎo)

建立如圖3所示的新的坐標(biāo)系o1x1.原點(diǎn)o1位于長(zhǎng)桿彈的頂部，由于長(zhǎng)桿彈在運(yùn)動(dòng)，故選取動(dòng)坐標(biāo)系o1x1，o1位于長(zhǎng)桿彈的錐頂，o1x1軸與軸線(xiàn)重合，隨其一起運(yùn)動(dòng)。設(shè)長(zhǎng)桿彈任一點(diǎn)在縱向變形為u(x，t)，切向變形為 ψ(x，t).

圖3 長(zhǎng)桿彈坐標(biāo)系示意圖Fig.3 The coordinate system of long rod

由位移單值連續(xù)條件可以得到連續(xù)方程為:

其中v為質(zhì)點(diǎn)縱向速度，ε為軸向線(xiàn)應(yīng)變，ω為質(zhì)點(diǎn)繞軸線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)角速度，γ為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)變。

在圖3所示長(zhǎng)桿彈中取微元體，其受力如圖4所示。

建立運(yùn)動(dòng)微分方程:

圖4 長(zhǎng)桿彈微元受力分析Fig.4 Force analysis of long rod element

其中，N表示軸力，q(x1)表示沿長(zhǎng)度分布的慣性力(由長(zhǎng)桿彈的縱向剛體位移引起)，T表示扭矩，M(x1)為沿長(zhǎng)度分布的慣性力偶矩(由長(zhǎng)桿彈的角位移引起)，ρ為長(zhǎng)桿彈的材料密度。由材料力學(xué)知識(shí)可得:

其中，σ為應(yīng)力，Ip為極慣性矩。將上式代入(12)、(13)式可得到:

長(zhǎng)桿彈轟擊混凝土靶的速度大多在1000～2000 m/s之間，也就說(shuō)是高速撞擊過(guò)程。由于長(zhǎng)桿彈接觸到混凝土靶的瞬間應(yīng)力便遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了屈服極限，因此可以只考慮塑性變形。應(yīng)力與應(yīng)變、應(yīng)變率等許多因素有關(guān)，長(zhǎng)桿彈的塑性動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系非常復(fù)雜。在此，假設(shè)應(yīng)力只是應(yīng)變的單值函數(shù)，且對(duì)塑性階段作線(xiàn)性硬化處理，即:

其中，E、G分別為彈體材料的線(xiàn)性硬化模量和切變模量，C為塑性縱波波速，C1為塑性扭轉(zhuǎn)波波速。

方程(22)和(23)由于增加了運(yùn)動(dòng)慣性項(xiàng)，變成了非齊次偏微分方程組，這使得解析求解非常困難。

3.2 波動(dòng)方程的數(shù)值求解

對(duì)波動(dòng)方程(22)和(23)，利用有限差分法進(jìn)行數(shù)值求解。

初始條件和邊界條件:

(1)初始條件

求得軸向正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一系列數(shù)值解，分析和研究在長(zhǎng)桿彈中的應(yīng)力波傳播規(guī)律。

3.3 計(jì)算結(jié)果和分析

進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，所選參數(shù)如下。

初始條件:

混凝土的密度:ρ=2.13 ×103kg·m－3

混凝土極限密度:ρ*=2.13 × 103kg·m－3

混凝土擠壓極限:σc=80 MPa

長(zhǎng)桿彈密度:ρ0=7.8 × 103kg·m－3

長(zhǎng)桿彈長(zhǎng)度和半徑:L=2000 mm;

Rc=0.1 m

長(zhǎng)桿彈材料模量:E=1.26 GPa;

G=0.42 GPa

摩擦系數(shù):μ=0.2

彈頭半頂角:α=30°

彈質(zhì)心到錐體底面球心距離:

長(zhǎng)桿彈的質(zhì)量:

長(zhǎng)桿彈繞軸線(xiàn)oy的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:

初始速度:v0=1000 m/s

初始旋轉(zhuǎn)角速度:ω=1 rad/s，10 rad/s，20 rad/s

侵徹位移時(shí)程曲線(xiàn):

撞擊力時(shí)程曲線(xiàn):

應(yīng)用 MATLAB程序，對(duì)式(16)、式(17)、式(22)和式(23)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，算出不同ω時(shí)的位移、力和應(yīng)力的數(shù)值，進(jìn)而得到撞擊力、侵徹位移和應(yīng)力時(shí)程曲線(xiàn)如圖5-圖12所示。

圖5 侵徹位移時(shí)程曲線(xiàn)(v0=1000 m/s)Fig.5 The history curve of the penetration displacement

由圖5可看出，長(zhǎng)桿彈的侵徹位移隨初始旋轉(zhuǎn)角速度的增加而增大。

圖6 撞擊力時(shí)程曲線(xiàn)(v0=1000 m/s)Fig.6 The history curve of force

由圖6可看出:長(zhǎng)桿彈的撞擊力幅值隨旋轉(zhuǎn)角速度的增加反而減小。

圖7 縱向應(yīng)力時(shí)程曲線(xiàn)(ω=1 rad/s，v0=1000 m/s)Fig.7 The normal stress history curve

圖8 縱向應(yīng)力時(shí)程曲線(xiàn)(ω=10 rad/s，v0=1000 m/s)Fig.8 The normal stress history curve

圖9 縱向應(yīng)力時(shí)程曲線(xiàn)(ω=20 rad/s，v0=1000 m/s)Fig.9 The normal stress history curve

由圖(7)-(9)可看出:長(zhǎng)桿彈的縱向應(yīng)力隨旋轉(zhuǎn)角速度的增加反而減小，且變化較顯著。

圖10 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力時(shí)程曲線(xiàn)(ω=1 rad/s，v0=1000 m/s)Fig.10 The shear stress history curve

由圖(10)-(12)與圖(7)-(9)的比較可以看出，扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力遠(yuǎn)小于縱向正應(yīng)力。

圖11 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力時(shí)程曲線(xiàn)(ω=10 rad/s，v0=1000 m/s)Fig.11 The shear stress history curve

圖12 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力時(shí)程曲線(xiàn)(ω=20 rad/s，v0=1000 m/s)Fig.12 The shear stress history curve

4 結(jié)論

本文主要研究了在旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)桿彈撞擊過(guò)程中，初始旋轉(zhuǎn)角速度對(duì)撞擊力和侵徹位移的影響，以及對(duì)彈體內(nèi)部應(yīng)力波的傳播特性的影響。通過(guò)研究得到以下結(jié)論:

(1)隨著初始旋轉(zhuǎn)角速度的增大，長(zhǎng)桿彈的侵徹位移幅值增大，說(shuō)明旋轉(zhuǎn)角速度對(duì)侵徹位移有影響。

(2)隨著初始旋轉(zhuǎn)角速度的增大，長(zhǎng)桿彈的撞擊力幅值反而減小。

(3)隨著初始旋轉(zhuǎn)角速度的出現(xiàn)，縱向正應(yīng)力明顯減小;隨著旋轉(zhuǎn)角速度的增大，影響逐漸減小。

(4)扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力遠(yuǎn)小于縱向正應(yīng)力，在研究應(yīng)力波傳播時(shí)，可以忽略扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的影響。

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