李紹春，初永玲，王 枚

（煙臺職業(yè)學(xué)院，山東 煙臺 264003）

三維旋轉(zhuǎn)運(yùn)動模糊圖像的復(fù)原方法研究

李紹春，初永玲，王 枚

（煙臺職業(yè)學(xué)院，山東 煙臺 264003）

針對相機(jī)在曝光過程中易受手持者無規(guī)則抖動而導(dǎo)致成像模糊降質(zhì)的問題，分別利用混合高斯模型和混合指數(shù)模型擬合自然圖像梯度與運(yùn)動模糊核的先驗(yàn)信息，并基于變分貝葉斯理論得到三維旋轉(zhuǎn)空間變化運(yùn)動模糊核的估計值，進(jìn)而在貝葉斯框架下構(gòu)建了該空間變化運(yùn)動模糊圖像的改進(jìn)復(fù)原模型.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，文章提出的復(fù)原方法在有效去除因相機(jī)持有者抖動而產(chǎn)生的模糊現(xiàn)象時，能夠保留圖像中的邊緣輪廓與紋理細(xì)節(jié)等結(jié)構(gòu)信息，從而達(dá)到較好的復(fù)原效果.

圖像復(fù)原；空間變化；運(yùn)動模糊；正則化

1 引言

隨著便攜式成像設(shè)備的日趨普及，運(yùn)動模糊圖像在日常生活中隨處可見，使得有必要從軟件角度來解決這一問題，以降低硬件成本并從模糊圖像中獲取有價值信息[1].Fergus等[2]基于變分貝葉斯估計和自然圖像梯度的統(tǒng)計特性構(gòu)建了模糊圖像的盲復(fù)原算法[3].Shan等將文獻(xiàn)[4]中的混合高斯模型(Gaussian Mixture Model,GMM)簡化為一個分段函數(shù)來擬合自然圖像的梯度分布，基于此構(gòu)建了估計復(fù)雜運(yùn)動模糊核與圖像復(fù)原的最大后驗(yàn)概率(Maximum A Posteriori,MAP)方程.2009年Cho和Lee構(gòu)建了運(yùn)動模糊圖像的快速復(fù)原算法，已初步加載于最新商用產(chǎn)品Photoshop CS6[5].這些方法針對空間不變運(yùn)動(Space-invariant Motion)模糊圖像均取得了很好的圖像復(fù)原效果，但對于更具普遍性的空間變化運(yùn)動(Space-variant Motion)情形卻無能為力.

作為兩類特殊的空間變化運(yùn)動模糊情形，旋轉(zhuǎn)與徑向運(yùn)動模糊圖像已得到令人滿意的研究成果[6-8].對于一般情形下的空間變化運(yùn)動模糊圖像的復(fù)原已吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注.本文主要研究相機(jī)繞其三個軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動而產(chǎn)生的空間變化運(yùn)動模糊情形，基于變分貝葉斯理論和自然圖像的先驗(yàn)統(tǒng)計特性得到了三維(Three-Dimensional,3D)旋轉(zhuǎn)空間變化運(yùn)動模糊圖像的改進(jìn)復(fù)原模型，在保留圖像邊緣和細(xì)節(jié)信息的同時，能夠有效地降低振鈴效應(yīng)對圖像復(fù)原質(zhì)量的影響.

2 三維旋轉(zhuǎn)運(yùn)動模糊核的構(gòu)建

數(shù)碼相機(jī)的成像過程其實(shí)是真實(shí)環(huán)境中的三維場景（世界坐標(biāo)系）到二維平面（數(shù)字化圖像坐標(biāo)系）的投影變換.此時，世界坐標(biāo)系與數(shù)字化圖像坐標(biāo)間的對應(yīng)關(guān)系為：

根據(jù)文獻(xiàn)[9]對數(shù)碼相機(jī)成像質(zhì)量主要影響因素的分析，在室外成像環(huán)境中，特別是對于較遠(yuǎn)距離下的景物成像，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動是導(dǎo)致圖像模糊的最主要影響因素.對于絕大多數(shù)的普通用戶來說，相片拍攝均是在室外完成的，此時有tx,ty,tz≈0，則清晰圖像f中的坐標(biāo)點(diǎn)[uf,vf]T與運(yùn)動模糊圖像g中對應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)[ug,vg]T間的函數(shù)關(guān)系可等效為：

根據(jù)上式（2），可得到清晰圖像f與模糊圖像g中任一點(diǎn)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即

假設(shè)圖像大小為J=mf×nf，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動模糊核大小為 K=mθ×nθ×hθ.我們采用雙線性插值計算x)，此時模糊圖像g有

其中，Cijk為雙線性插值矩陣中的插值系數(shù).

3 三維旋轉(zhuǎn)運(yùn)動模糊圖像的復(fù)原算法

3.1 三維旋轉(zhuǎn)運(yùn)動模糊核的估計

針對運(yùn)動模糊核所表現(xiàn)出的不同類型的稀疏特性，本文利用混合指數(shù)模型（EMM）來擬合運(yùn)動模糊核的核元素分布.在對自然圖像和運(yùn)動模糊核的稀疏性作出假設(shè)后，采用變分貝葉斯理論來估計三維旋轉(zhuǎn)空間變化運(yùn)動模糊核.

為有效地估計運(yùn)動模糊核，變分貝葉斯方法提供了一種有效的解決思路，此時通過最小化近似分布 q(w,塄f,σ2)和后驗(yàn)概率分布 p(w,塄f|塄g)之間的KL散度來實(shí)現(xiàn)運(yùn)動模糊核的估計.利用變分貝葉斯期望最大化定理，得到三維旋轉(zhuǎn)空間變化運(yùn)動模糊核的估計值.

3.2 運(yùn)動模糊圖像的復(fù)原算法

在估計三維旋轉(zhuǎn)運(yùn)動模糊核的基礎(chǔ)上，我們在貝葉斯框架下構(gòu)建圖像復(fù)原的最大后驗(yàn)概率(MAP)方程.

同時，假設(shè)加性噪聲在圖像的像素域與梯度域中均服從高斯分布，則

并利用超拉普拉斯（Hyper-Laplacian）先驗(yàn)?zāi)Ｐ?p(f)∝exp{-τ|塄f|α}來擬合自然圖像的梯度分布，其中廣義系數(shù)α的取值一般為0.8.結(jié)合式（5），得到空間變化運(yùn)動模糊圖像復(fù)原的數(shù)學(xué)模型為

其中，λ1,λ2>0 均為正則化參數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[4]對自然圖像與梯度圖像統(tǒng)計特性的研究，有λ1=2λ2.此時，求解圖像復(fù)原模型（7）歸結(jié)為求解對應(yīng)的Euler-Lagrange偏微分方程，則利用變分法有：

其中，正則化參數(shù)β=λ1-1.此時需引入一個時間輔助變量t，將該靜態(tài)非線性PDEs的求解問題（8）轉(zhuǎn)換成一個動態(tài)PDEs的演化迭代問題，那么該P(yáng)DEs演化終止時的穩(wěn)態(tài)解即為模型（7）的解.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為驗(yàn)證本文算法在三維旋轉(zhuǎn)空間變化運(yùn)動模糊圖像復(fù)原中的有效性，現(xiàn)以“城堡”圖像為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并分別與2006年SIGGRAPH[2]和2010年CVPR[9]上兩篇經(jīng)典文獻(xiàn)中的圖像復(fù)原結(jié)果進(jìn)行比較分析，具體的模糊圖像復(fù)原結(jié)果如圖1和表1所示.

圖1 局部放大的“城堡”圖像復(fù)原結(jié)果及估計的運(yùn)動模糊核

如圖1所示，通過局部放大的“城堡”圖像，可以觀察到Fergus復(fù)原圖像中存在明顯的振鈴效應(yīng)，且復(fù)原效果不明顯.Whyte的復(fù)原圖像雖無明顯的振鈴現(xiàn)象，但未有效地復(fù)原出圖像的邊緣輪廓.而本文方法在有效抑制振鈴現(xiàn)象的同時，能夠有效地復(fù)原出圖像的邊緣輪廓.

表1 三維旋轉(zhuǎn)運(yùn)動模糊圖像的復(fù)原結(jié)果比較

5 總結(jié)

本文借助于變分貝葉斯理論估計得到三維旋轉(zhuǎn)空間變化運(yùn)動模糊核，同時在貝葉斯框架下構(gòu)建了改進(jìn)的空間變化運(yùn)動模糊圖像的復(fù)原模型.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法在保證復(fù)原效果時，能夠有效地抑制振鈴效應(yīng)的產(chǎn)生.但在復(fù)原空間變化運(yùn)動模糊圖像時，依然會面臨計算復(fù)雜度很高的問題，因此在保證圖像復(fù)原質(zhì)量的前提下，如何有效地簡化估計運(yùn)動模糊核和復(fù)原模糊圖像的數(shù)學(xué)模型將是值得我們思考的問題，以期能夠真正地應(yīng)用于模糊圖像的在線實(shí)時盲復(fù)原.

〔1〕劉文.空間變化運(yùn)動模糊圖像的復(fù)原算法研究[D].武漢:武漢理工大學(xué),2011.

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〔3〕孫韶杰,吳瓊,李國輝.基于變分貝葉斯估計的相機(jī)抖動模糊圖像的盲復(fù)原算法[J].電子與信息學(xué)報,2010,32(11):2674-2679.

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TP391.41

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1673-260X（2012）10-0022-03

山東省教育廳科技計劃項(xiàng)目(No.J11LG87)；山東省高等學(xué)?？萍加媱濏?xiàng)目（NO：J10LG65）；煙臺市科技規(guī)劃項(xiàng)目基金資助(NO:2010114)